Nombre carré

“ Un nombre carré est celui auquel on peut trouver deux facteurs égaux. Ainsi, 36 est un carré, parce que 6X6 donne 36 au produit. Et en général on obtient le carré d'un nombre en le multipliant par lui-même. Le nombre qui est multiplié s'appelle racine. ”

“ THÉORÈME III. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre entier soit le carré d'un autre nombre entier est que tous ses facteurs premiers aient des exposants pairs.
1° Cette condition est nécessaire ; car, un nombre étant décomposé en facteurs premiers, on forme son carré en doublant les exposants de ses facteurs, qui, par là, deviennent tous pairs. ”

“ D'après cette idée, il divise les nombres en trois espèces : 1° Nombres entiers, ceux qui contiennent l'unité un certain nombre de fois exactement, et sans reste, comme 2, 3, 4, etc.; 2° Nombres rompus, ou fractions ; 3° Nombres sourds ou incommensurables, seux qui ne peuvent être mesurés, deux quantités qui n'ont point de mesure commune. En géométrie, le côté d'un carré est incommensurable avec sa diagonale, angle qui passe d'un angle à l'autre.
Les mathématiciens considèrent les nombres sous
différens rapports, ce qui produit chez eux différentes sortes de nombres. ”

“ Si donc tous ces nombres sont espacés de manière à conserver entr'eux la même distance , il est évident que leur ensemble formera un carré (i) A B D C que nous nommerons Table d'Addition. Il n'y aura donc, pour s'en servir, qu'à considérer les deux nombres qu'on se propose d'ajouter , l'un dans la ligne A C , et l'autre dans la ligne A B, et à descendre perpendiculairement à cette dernière jusqu'à la rencontre du nombre placé vis-à-vis de celui considéré dans la ligne A C, et suivant la seconde ligne.
(i) Un carré est une figure de quatre côtés, qui a tous ses angles et ses côtés égaux. ”

“ La formation du carré étant, comme toutes les autres puissances, un cas de la multiplication, il est clair que l'extraction de sa racine sera elle-même un cas de la division : car elle a pour but, connaissant un carré, de trouver le nombre qui l'a produit, ou plus généralement, de chercher un nombre qui multiplié par lui-même, produise un nombre donné. ”

“ La racine carrée d'un nombre qui n'est point un carré parfait, s'appelle un nombre sourd, ou irrationnel, ou incommensurable.
153. Venons aux nombres qui ont plus de deux chiffres.
C'est en observant ce qui se passe dans la formation du carré, que nous trouverons la méthode qu'on doit suivre pour revenir à la racine.
Pour carrer un nombre tel que 54, par exemple
après avoir écrit le multiplicande et le multiplicateur, comme on le voit ici, nous multiplions comme à l'ordinaire, le 4 supérieur par le 4 inférieur, ce qui fait évidemment le carré des unités. ”

“ Lorsqu'un nombre N, n'est le carré d'aucun nombre entier ou fractionnaire, la définition de sa racine carrée exige quelques développements.
On dit qu'un nombre est plus grand ou plus petit que y/N suivant que son carré est plus grand ou plus petit que N; d'après cela, pour définir les grandeurs dont s/N est la mesure, supposons par exemple, qu'après avoir adopté une certaine unité de longueur on regarde tous les nombres comme exprimant des longueurs -portées sur une même ligne droite à partir d'une origine donnée. ”

“ La seconde puissance d'un nombre a reçu le nom de carré parce que c'est de ce nom qu'est qualifiée la figure géométrique ci-dessous, dont les quatre côtés sont égaux, et dont l'aire ou la surface, ou si l'on veut la superficie, qui porte encore le même nom de carré, s'obtient en multipliant le côté par lui-même. ”

“ Les différentes parties qui entrent dans le carré de tout nombre, composé d'unités et de dixaines, sont mises à découvert, an moyen d'un exemple qui fait connaître en outre à partir de quel rang chacune d'elles commence à compter dans le carré total. ”

“ C'est ainsi que, dans notre numération, on est convenu que de dix unités d'un certain ordre , on formerait une unité d'un autre ordre. De même, deux fois deux font quatre, par exemple , n'est qu'une vérité de convention.
Les identités sont des propositions tacitement renfermées dans une définition , ou qui sont la conséquence nécessaire d'un principe convenu.
Par exemple, une quantité est la moitié de son double; le tiers de son triple ; etc. De même, tout nombre est le carré de sa racine carrée ; le cube de sa racine cubique ”

“ REMARQUE. Un nombre entier qui admet un diviseur premier p, sans être divisible par son carré p2, ne peut pas être un carré; car, si on le décomposait en facteurs premiers, le facteur p y entrerait évidemment à la première puissance, et, par conséquent, avec un exposant impair.
Par exemple, un carré ne peut être divisible par 2 sans l'être par 4, par 3 sans l'être par 9, par 5 sans l'être par 25.
2GG. THÉORÈME IV. Aucune fraction n'a pour carré un nombre entier. ”

“ Remarquons que le carré reste magique si l’on ajoute un même nombre à tous ses nombres ou si on les multiplie par un même nombre.
On a donné dans l’Antiquité une importance symbolique à ces combinaisons qu’on retrouve dans presque tous les talismans.
Les carrés magiques deviennent diaboliques, s’ils sont tels que si on divise le carré en deux rectangles égaux ou inégaux et qu’on échange les deux parties, le carré reste magique.
Exemple :
CHARLES XII Quelques personnes ont voulu faire passer ce prince pour un bon mathématicien ”