Square

“ Autour on a planté un square. La table a 3m,25 de long sur 1m,65 de large, et une épaisseur de 40 centimètres. Ces dimensions donnent un volume de 2 mètres cubes et un poids de 5,500 kilogrammes. Les supports, profondément enfoncés en terre, ont 2 mètres de hauteur au-dessus du sol. ”

“ QUADRATURE, s. f. terme de Géométrie ; maniere de quarrer ou de réduire une figure en un quarré, ou de trouver un quarré égal à une figure proposée.
Ainsi la quadrature d’un cercle, d’une parabole, d’une ellipse, d’un triangle, ou autre figure semblable, consiste à faire un quarré égal en surface à l’une ou à l’autre de ces figures. Voyez Cercle. &c.
La quadrature des figures rectilignes est du ressort de la Géométrie élémentaire ; il ne s’agit que de trouver leurs airs ou superficie, & de la transformer en un parallelogramme rectangle. ”

“ Mais comment détermine-t-on la place des points de concours en général; comment apprécier à vue leur position dans le dessin d'après nature ?
Il suffit d'imaginer par l'œil une droite parallèle géométrale à la ligne ou aux lignes dont on cherche le point de concours. Cette droite qui n'est autre chose qu'un rayon visuel ira rencontrer le tableau ou son prolongement au point cherché sur la ligne d'horizon.
Qu'entend-on par parallèle géométrale? C'est une ligne réelle ou imaginaire qui, étant située dans un même plan qu'une autre droite, conserve constamment avec elle la même distance. ”

“ Évidemment, si le côté est double, la surface est double ; si le côté est triple, la surface est triple. Si notre idée du carré était aussi confuse que l’idée d’Infini, ou de Tout, ou de Dieu, un tel raisonnement passerait pour bon. Je pourrais même le fortifier en disant : la cause qui fait que la surface augmente, c’est que le côté augmente ; il ne peut y avoir plus ni moins dans l’effet que dans la cause ; donc le carré de côté double a une surface double. ”

“ PERSPECTIVE DES LIGNES ET SURFACES COURBES.
T. 20. — Pour obtenir rigoureusement la perspective du cercle, il faut avoir celle du carré qui lui est circonscrit. Soit ABC D, un carré perspectif dans lequel on veut tracer un cercle, construisez géométralement avec AB comme côté le carré AB 1 M, menez les deux diagonales, par leur intersection comme centre, avec un rayon égal à la moitié de AB tracez le cercle. A la rencontre de la courbe avec les diagonales, élevez sur AB des perpendiculaires, et par les points R et S menez des lignes au point de vue. ”

“ RECTANGULAIRE, adj. ou plus communément RECTANGLE, terme de Géométrie, qui se dit des figures & des solides, qui ont un ou plusieurs angles droits. Voyez Angle.
Tels sont les quarrés, les rectangles & les triangles rectangles parmi les figures planes ; les cubes, les parallélepipédes, &c. parmi les solides. Voyez Figure & Solide. ”

“ La longueur, la largeur et l’épaisseur, domaine mathématique, doivent s’entendre pour réaliser l’harmonie complète, s’entendre jusqu’au miracle, et, bloc sans couleur, devenir le royaume même de la nuance. ”

“ Un cercle court autour d'un centre comme une roue ; un oval est un rond allongé, il- a la forme d'un oeuf. Un triangle est formé de trois lignes droites. Un carré consiste en 4 lignes, Un hexa- gon consiste en 6 lignes droites. Efforce-toi de dessiner ces lignes, comme je te les trace.
Cela va bien, dit la mère, et si tu fais bien attention, tu pourras bientôt dessiner une belle maison; tire d'abord une ligne horizontale, sur laquelle devra reposer la maison; ensuite 2 lignes verticales éloignées l'une de l'autre, elles formeront les murailles de côté. ”

“ Une surface rectiligne est celle qui est comprise entre des lignes droites.
La curvi-ligne est comprise entre des lignes courbes. Voyez Courbe.
Une surface plane est la même chose qu’un plan. Voyez Plan.
L’aire d’une surface est l’étendue ou le contenu de cette surface. Voyez Aire & Mesure ; & sa quadrature consiste à déterminer cette aire. Voyez Quadrature.
Pour la mesure des surfaces des différentes especes de corps, comme les spheres, les cubes, les paralélipipedes, les pyramides, les prismes, les cônes, &c. Voyez Sphere, Cube, &c. ”

“ Il est facile ensuite d’avoir un quarré égal à ce rectangle, puisqu’il ne faut pour cela que trouver une moyenne proportionnelle entre les deux côtés du rectangle. Voyez Aire, Quarré. Voyez aussi les méthodes particulieres de trouver les superficies de ces figures aux mots Triangle, Parallelogramme, Trapese, &c.
La quadrature des courbes, c’est-à-dire la maniere de mesurer leur surface, ou de trouver un espace rectiligne égal à un espace curviligne, est une matiere d’une spéculation plus profonde, & qui fait partie de la Géométrie sublime. ”

“ La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.
3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan. ”

“ Cependant, si tu es placé en A et que tu examines cette tour, ses étages viennent se peindre dans ton œil, lequel n'est qu'un point, centre d'une sphère dont je trace en B C un segment; admets que ce segment soit divisé en parties égales a b, b c, c d, etc., ces étages si différents de hauteur se peindront dans ton œil comme s'ils étaient égaux, les divisions ab, bc, cd, etc., étant égales entre elles. ”

“ Ainsi dans la géométrie descriptive, pour exprimer la forme et la position d’une surface courbe, il suffit, pour un point quelconque de cette surface, et dont une des projections peut être prise à volonté, de donner la manière de construire les projections horizontales et verticales de deux génératrices différentes qui passent par ce point.
13. Appliquons actuellement ces généralités au plan, qui, de toutes les surfaces, est la plus simple, et celle dont l’emploi est le plus fréquent. ”

“ QUADRATRICE, s. f. en Géométrie, est une courbe méchanique, par le moyen de laquelle on peut trouver des rectangles ou quarrés égaux à des portions de cercle, ou en général à des portions d’espaces curvilignes. Voyez Cercle, Quadrature, &c. ”

“ On connoît l’aire d’un carré parfait en multipliant un de ses côtés par lui-même. Si un des côtés contient 10, son aire en contiendra 100.
☞ On connoît l’aire d’un carré long, en multipliant sa longueur par sa hauteur.
☞ On connoît l’aire d’un triangle en multipliant sa base par la moitié de sa hauteur. La hauteur d’un triangle se mesure par la ligne perpendiculaire tirée du sommet du triangle sur la base.
☞ On connoît enfin l’aire d’un cercle en multipliant sa circonférence par le quart de son diamètre. On sait que la circonférence d’un cercle est sensiblement triple de son diamètre. ”

“ I. Des arcs de cercles, en nombre infini, de même longueur, mais de différens rayons, situés dans un même plan, touchant d’un même côté, par leur milieu, une même droite, en un même point ; déterminer l’équation de la courbe qui contient les extrémités de ces arcs ? ”

“ Le carré est une figure ou polygone qui a ses quatre côtés égaux et ses angles droits.
Le rectangle a ses angles droits mais seulement deux côtés égaux ; il est plus long que large. Une surface courbe est celle qui n'est ni plane ni composée de surfaces planes. On ne peut tirer une ligne droite d'un point à un autre sur une surface courbe.
Tout solide a trois mesures d'étendue : longueur, largeur, hauteur ou épaisseur. Les solides ou corps sont terminés par des surfaces, des plans ou faces planes. ”

“ Le polygone abcdef sera la perspective demandée.
3° EXERCICE. — Mettre en perspective un cercle placé sur un plan horizontal (fig. 20) .
Partagez la circonférence du cercle en un nombre quelconque de parties égales, cherchez la perspective de chacun des points de division, et faites passer une courbe par toutes ces perspectives. Cette courbe qui devra être une ellipse sera la perspective demandée.
lt. ° EXERCICE. — Mettre en perspective un parquet composé de carrés (fig. 21) ayant chacun un côté parallèle à la ligne de terre. ”

“ Triangle dont l'un des angles est droit. — Dans un triangle il ne peut y avoir qu'un angle droit. 23. — VERTICALE : Ligne droite qui est dans la direction du fil-à-plomb. — La verticale est perpendiculaire à l'horizontale.
— Dans un dessin, les lignes des côtés du cadre qui vont de bas en haut, sont, ainsi que leurs parallèles, considérées comme verticales. — En dessin comme en géométrie, toutes les verticales sont considérées comme étant parallèles entre elles. ”

“ Les droites qui passent par le centre d'une sphère et se terminent aux points où elles rencontrent sa surface s'appellent diamètres.— Tous les diamètres sont égaux, car chacun d'eux est le double d'un rayon.
2. Un plan est tangent à une sphère, lorsqu'il n'a qu'un point commun avec elle. Ce point est appelé point de contact.
3. Deux sphères sont tangentes en un point, lorsqu'elles ont le même plan tangent en ce point.
THÉORÈME I.
Toute section faite dans une sphère par un plan est un cercle. ”

“ Si quelqu'un dit, j'ai un jardin qui est clos par un mur , dont tous les côtés sont de 40 mètres de longueur, chacun comprend que ce terrain forme un plan carré , et que l'on peut en trouver la superficie ou le contenu , en multipliant un des côtés par un autre. ”

“ Tout ce qui est rond y devient carré, tout ce qui est carré y devient rond. Je veux dire que rien n’y est rond, ni carré, ni ovale, ni oblong, ni triangulaire, ni vertical, ni horizontal. Tout tourne, se bistourne, se chantourne, se maltourne ; tout roule, s’enroule, se déroule, et brusquement s’écroule, on ne sait pourquoi ni comment. ”

“ Considérons maintenant un rectangle : voilà un fait idéal, abstrait, universel. Des lignes identiques à elles-mêmes dans toutes leurs parties enferment, dans des conditions déterminées, une surface dont toutes les parties sont superposables les unes aux autres, ou, si l’on veut, dont on peut transposer n’importe comment les parties sans que la nature du rectangle soit modifiée. ”

“ Pour arpenter un jardin, un champ ou trouver la surface d'un plancher, d'un toit, d'un mur, etc., il suffit de connaître comment on trouve la surface des triangles et des quadrilatères ; car, toutes les surfaces, moins le cercle, peuvent se réduire en triangles et quadrilatères. ”

“ Solution. Du centre de l’un quelconque des deux cercles donnés, abaissez, sur la droite donnée, une perpendiculaire, que vous prolongerez au-delà de cette droite, d’une quantité égale à elle-même ; de son extrémité comme centre, et avec le rayon de ce même cercle, décrivez-en un nouveau ; le cercle cherché devra aussi lui être tangent ; vous aurez donc à décrire un cercle qui touche trois cercles donnés ; problème qu’on sait résoudre.
PROBLÈME XXII. Décrire un cercle qui, ayant son centré sur une circonférence donnée, touche deux cercles donnés ? ”

“ Construire la projection verticale d'une droite dont on connaît les projections d'un de ses points, la projection horizontale d'un autre de ses points, et l'angle qu'elle fait, soit avec le plan horizontal, soit avec le plan vertical. ”

“ Un cercle est donné par deux de ses points, l'inclinaison de son plan sur l'horizon, et un plan auquel il doit être tangent : trouver ses points d'intersection avec une surface de révolution dont l'axe est vertical. ”

“ Objet dont on considère l'ensemble de la longueur et de la largeur, sans se préoccuper de l'épaisseur. SURFACE PLANE : Surface sur laquelle on peut faire toucher tous les points d'une règle droite en l'appliquant n'importe dans quel sens.
19. — SEGMENT : Partie de ligne. — On dit le segment d'un arc tout comme on dit le segment d'une ligne droite.
20. — TANGENTE : Ligne qui en touche une autre en un seul point, sans pouvoir la couper quel que soit leur prolongement.
21. — TRIANGLE : Surface entourée par trois lignes qui, en se rencontrant deux à deux, forment trois angles. ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”

“ Plan coupant dans un solide. — A ce sujet, nous dirons pour fixer les idées plus exactement sur le sens du mot plan, que cette expression, en géométrie, veut dire une superficie plate terminée par une ou plusieurs lignes; ainsi l'étendue renfermée parla circonférence d'un cercle est un plan aussi bien que toute portion de mon papier figurant l'espace compris sous trois, quatre ou un nombre quelconque de lignes droites ou courbes. On appelle également plan une superficie mathématique, qu'on imagine couper les solides de la géométrie, comme le ferait une lame de couteau. ”

“ On peut rapporter aussi à la Géométrie élémentaire la solution des problèmes du second degré par la ligne droite & par le cercle. Voyez Construction, Courbe, & Équation
La Géométrie transcendante est proprement celle qui a pour objet toutes les courbes différentes du cercle, comme les sections coniques & les courbes d’un genre plus élevé. Voyez Courbe. ”

“ Il approche du but à des millionnièmes.
L'autre, vous le savez, est les vingt-deux septièmes;
Multipliez par lui le quarré du rayon,
Vous aurez, sur-le-champ, tout cercle en question.
Vous savez comment sont deux semblables surfaces:
Leur rapport est celui des quarrés de leurs faces. ”