Carl Friedrich Gauss

“ Ainsi, il faut appliquer à des réductions inégales, quand ils ne sont pas sur une surface sphérique, pour que les sinus des angles dans lesquels ils ont été changés soient proportionnels aux côtés opposés. L’inégalité, généralement parlant, sera du troisième ordre ; mais, si la surface diffère peu de la sphère, cette inégalité se rapportera à un ordre supérieur. Dans les triangles même les plus grands sur la surface de la terre, dont on peut mesurer les angles, la différence peut toujours être regardée comme insensible. ”

“ D’ailleurs, pour ce qui regarde l’intégration même des équations (5) , (6) , on sait qu’elle peut se réduire à l’intégration d’équations aux différentielles partielles ordinaires, qui cependant sont la plupart des temps si compliquées, qu’il y a peu d’avantage à en tirer. Au contraire, le développement en séries qui suffisent abondamment aux besoins de la pratique, tant qu’il ne s’agit que de parties médiocres de la surface, n’est sujet à aucunes difficultés, et les formules rapportées ouvrent ainsi une source féconde pour la solution d’un grand nombre de problèmes très-importants. ”

“ Savoir, à chaque partie de la surface courbe enfermée dans des limites déterminées, nous assignons une courbure totale ou entière, qui est exprimée par l’aire de la figure qui lui correspond sur la surface sphérique. ”

“ Cela compris ainsi, si nous considérons un autre point, infiniment peu distant du premier, auquel correspondent les valeurs des variables, avec un peu d’attention nous reconnaîtrons qu’on a en général, c’est-à-dire indépendamment des valeurs des variations
puisque chacune de ces expressions n’est autre chose que la distance du nouveau point à la ligne à partir de laquelle commencent les angles des directions. ”

“ Commençons par l’intégration suivant laquelle, à cause de donne pour la courbure totale de l’aire située entre les lignes du premier système auxquelles correspondent les valeurs de la seconde indéterminée Comme cette courbure doit devenir nulle pour la quantité constante introduite par l’intégration doit être égale à la valeur de pour c’est-à-dire à l’unité. ”

“ Soient deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément avec les lignes , diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. ”

“ XVIII montre que, dans une ligne quelconque de plus courte distance, on doit avoir désignant l’angle compris entre l’élément de cette ligne et l’élément de la ligne pour laquelle est constant. Comme déjà la ligne des abscisses est une ligne de plus courte distance, et que, pour elle, partout , on voit que, pour on doit avoir partout . ”

“ La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.
3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan. ”

“ De là nous tirons, pour la ligue la plus courte, l’équation de condition suivante :
qu’on peut aussi écrire ainsi :
Du reste, à l’aide de l’équation
on peut éliminer, de la précédente équation, l’angle et développer ainsi l’équation différentielle du second ordre entre et qui se trouverait cependant plus compliquée et moins utile pour les applications que la précédente. ”

“ Les recherches dans lesquelles on s’occupe des directions de diverses droites dans l’espace sont, la plupart du temps, portées à leur plus haut point d’évidence et de simplicité, si l’on se sert, comme auxiliaire, d’une surface sphérique d’un rayon égal à , décrite autour d’un centre arbitraire, et dont les différents points seront censés représenter les directions des droites parallèles aux rayons terminés à cette surface. ”

“ Si l’on suppose que la position de la ligne courbe éprouve une variation infiniment petite, de façon quelea coordonnées des divers points reçoivent les variations on trouve la variation de toute la longueur
expression que nous changeons en cette forme ,
Dans le cas où la ligne est la plus courte entre ses points extrêmes, on sait que tout ce qui se trouve sous le signe intégral doit s’évanouir. ”

“ Les deux solutions trouvées dans l’article précédent se rapportent, évidemment, à des points opposés de la surface sphérique, ou à des directions opposées ; ce qui est dans la nature même des choses, puisque l’on peut mener une normale aux deux faces (plagæ) d’une surface courbe. Si l’on veut distinguer entre elles ces deux régions, contiguës à sa surface, et appeler l’une extérieure et l’autre intérieure, nous pourrons attribuer à l’une et à l’autre normale sa solution convenable, au moyen du théorème développé dans le no 7 de l’art. ”

“ Du reste, cet autre théorème est plus général que le précédent, qu’il peut aussi être censé comprendre, si pour ligne donnée nous adoptons un cercle infiniment petit décrit autour de comme centre. Enfin, nous avertissons qu’ici encore des considérations géométriques peuvent tenir lieu de l’analyse. Comme elles se présentent assez naturellement, nous ne nous y arrêterons pas. ”

“ Toutes les fois que les trois lignes suivantes, savoir, la branche de la ligne du premier système qui partant de croît avec la branche du second système partant de et croissant avec et la normale menée vers le côté extérieur, sont placées d’une manière semblable à celle des axes des à partir de l’origine des abscisses (par exemple, si, tant pour ces trois lignes que pour les trois autres, on peut concevoir la première dirigée vers la gauche, la deuxième vers la droite, et la troisième de bas en haut) , la première solution doit être adoptée ”

“ La considération du triangle plan rectiligne, dont l.es côtés sont égaux à est d’une grande utilité ; les angles de ce triangle, que nous désignerons par différent des angles du triangle sur la surface courbe, savoir, de de quantités du second ordre, et il sera essentiel de développer avec soin ces différences. ”

“ Dans la troisième méthode il faut voir si, quand prend un accroissement positif, et ne changeant point, le passage se fait vers la région extérieure ou intérieure. Dans le premier cas, pour la normale dirigée vers l’extérieur, la première solution aura lieu ”

“ L’intégration générale des équations (5) , (6) doit nécessairement introduire deux fonctions arbitraires, et nous comprendrons facilement leur signification, si nous faisons attention que ces équations ne sont pas limitées au cas que nous considérons ici, mais qu’elles ont encore lieu, si l’on prend et dans la signification générale de l’art. ”