Barthélémy Aoust

“ Dans ces différentes questions, on déduit du principe de la courbure inclinée des formules simples relatives à la tangente, au rayon de courbure, à la rectification et à la quadrature de la courbe, ainsi que des constructions faciles des éléments dont il s'agit. La plupart de ces formules sont nouvelles. ”

“ Les formules relatives à la surface , à sa courbure propre, à sa courbe sphérique, à l'angle de deux normales infiniment voisines , etc., revêtent aussi un caractère de simplicité lorsqu'on y introduit les courbures inclinées des lignes coordonnées : nous exposons ces différentes expressions, qui jouent un certain rôle dans nos transformations. ”

“ Cette théorie repose sur un théorème, analogue à celui de M. Poncelet, sur l'existence de quatre cônes du second degré passant par l'intersection de deux surfaces du même degré. Ce second théorème n'est qu'un cas tout particulier du premier, lequel, à cause d'un certain paramètre, pouvant prendre toutes les valeurs possibles , donne naissance, pour chaque valeur de ce paramètre, à un système de quatre surfaces du second degré, passant par l'intersection de deux surfaces du même degré , la valeur nulle de ce paramètre donnant le système des quatre surfaces coniques. ”

“ Lagrange, dans sa Mécanique analytique, donne une méthode remarquable pour l'intégration des équations simultanées, aux différences mêlées, c'est-à-dire contenant les différences et les différentielles des fonctions.
Pour déterminer la forme des intégrales, il suppose que les équations aux limites sont finies. Or, la nature des questions de mécanique et de physique conduit à des équations aux limites, complexes. Ce sont des équations différentielles simultanées. ”

“ L'auteur a résolu le problème dans toute sa généralité, après l'avoir posé de la manière suivante : « Une courbe G' roule sans glissement sur une autre courbe G, de telle sorte, qu'au point de contact, les plans osculateurs des deux courbes coïncident; un point A' lie invariablement avecla courbe G' engendre une courbe qui est appelée Roulette; nature de cette courbe. » L'auteur donne les équations de la roulette , celles de la tangente et du rayon de courbure. Ces équations sont simples et expressives, et conduisent à des théorèmes importants sur la rectification des roulettes de cet ordre. ”

“ Le théorème dont il s'agit donne, non-seulement toutes les équations propres à une solution, mais encore toutes les solutions que l'on puisse imaginer. Il se traduit analytiquement par une équation générale de forme binôme dans laquelle se trouvent condensées toutes les. équations de la solution que l'on veut obtenir d'après le choix que l'on fait des inconnues.
L'auteur en fait l'application aux diverses solutions qu'il a données du problème des coordonnées curvilignes et aux solutions données par les autres géomètres, postérieures en date à celles qu'il a publiées lui-même en 1859 et 1862. ”

“ Par suite des formules établies dans la première partie, ces applications se présentent dans un ordre méthodique qui permet de systématiser les questions en les graduant, et d'établir rapidement les équations différentielles propres à chaque problème. Un des plus précieux avantages de cette analyse est qu'elle met en pleine évidence les cas où les équations différentielles deviennent intégrables , si elles sont du premier ordre, ou bien conduisent à des intégrales premières si elles sont du second ordre. ”

“ L'auteur déduit intuitivement de ses formules quatre systèmes généraux d'équations fondamentales. Le plus simple est celui dans lequel les inconnues du problème sont précisément les composantes normales des courbures inclinées des lignes coordonnées, c'est ce système qui contient, comme cas particulier, les équations de Bour. ”

“ Dans ce système, la droite se transforme en conique ayant son foyer au centre de transformation ; le plan, en surface de révolution du second degré. On donne la construction par la règle , du point, de la tangente, du rayon de courbure de la figure transformée ; ainsi que les applications les - plus intéressantes propres à ce système. ”

“ Un élément nouveau, introduit dans ces recherches, que l'auteur appelle puissance d'un point par rapport à une surface, donne une interprétation facile de l'analyse employée.
23° Théorie géométrique des coordonnées curvilignes quelconque. Deuxième partie.
(Annali di Matématica, 2me série, tom. I, 1867.)
Elle renferme des applications des équations établies dans la première partie, savoir : les théories des lignes de courbure, des ligues asymptotiques , des lignes géodésiques, des lignes à aire maxima, des lignes dont la cour-
bure propre, normale ou tangentielle, est une fonction donnée. ”

“ Ces publications, malgré quelques imperfections de détail, ont été accueillies avec faveur par les géomètres. L'auteur espère qu'il lui sera tenu compte de l'impossibilité où il est, dans les circonstances présentes, de faire connaître les deux premiers par des analyses suffisamment développées. ”