Mécanique analytique

“ I. — L’analyse et la mécanique. La forme sous laquelle s’énoncent, depuis Newton, les lois de la Physique et de la Mécanique conduit à exprimer par des équations différentielles le résultat de leur application à tout problème concret. Une intégration poussée jusqu’à donner des nombres s’introduit ainsi entre chaque théorie et sa vérification expérimentale. On n’y parvient le plus souvent qu’au moyen de développements en série qui convergent plus ou moins rapidement et seulement entre certaines valeurs de la variable. ”

“ Cette analyse décompose successivement tous les phénomènes complexes en des phénomènes de plus en plus simples jusqu’à leur réduction à deux seules conditions élémentaires, si c’est possible. En effet, la science expérimentale ne considère dans un phénomène que les seules conditions définies qui sont nécessaires à sa production. Le physicien cherche à se représenter ces conditions en quelque sorte idéalement dans la mécanique et dans la physique mathématique. ”

“ Pour la physique moderne, telle que nous l'avons définie dans le troisième chapitre, l'étude scientifique de l'univers purement matériel se réduit théoriquement à la solution d'un vaste problème de mécanique rationnelle. ”

“ L’analyse chimique est la résolution des mixtes par le moyen du feu, comme lorsqu’on tire & qu’on sépare de quelque substance par la distillation, l’esprit, l’eau, l’huile, le sel & la terre. L’analyse mécanique est une simple séparation des différentes parties d’un mixte, sans l’aide du feu. ”

“ Chaque théorème doit être traité, en soi, par un procédé différant plus ou moins de tout autre. L’invention de ces procédés de démonstration est un exercice intellectuel beaucoup plus puissant que l’application mécanique de quelque méthode générale telle que le calcul différentiel et intégral. ”

“ Il ne semble pas douteux à l’examen que ces principes ne soient autre chose qu’une généralisation de faits expérimentaux, généralisation dont la commodité réside dans le fait qu’elle permet de donner à la science mécanique une figure mathématique et de la faire profiter de tous les progrès de l’analyse. ”

“ La comparaison des éléments matériels, c’est-à-dire la définition de la masse, peut se déduire de l’expérience fondamentale d’après laquelle tous les corps tombent de la même manière dans un même champ constant et des mesures statiques des forces. ”

“ Les procédés de la Physique mathématique, leur est-il dit [8] , sont défectueux dans l’enseignement secondaire ; ils consistent à partir d’hypothèses ou de définitions posées a priori pour en tirer des déductions qui seront soumises au contrôle de l’expérience. Cette méthode peut convenir à la classe de Mathématiques spéciales ; on a le tort de l’appliquer actuellement dans les cours élémentaires, à la Mécanique, à l’Hydrostatique, à l’Optique. Remplaçons-la par la méthode inductive. ”

“ La Mécanique est et doit être, pour ainsi dire, notre domaine propre. Cornu aimait à répéter que la Mécanique doit être dans l’enseignement de l’École le ciment qui en lie entre elles les différentes parties, et il avait bien raison : par un côté elle touche à la Physique, par un autre aux applications pratiques, par un autre à l’Analyse.
Eh bien, la voilà, cette marque de fabrique que je cherchais ; nos physiciens, nos mathématiciens sont tous un peu mécaniciens. ”

“ Dans les cas douteux, nos machines et nos ouvrages ne peuvent pas attendre que la science ait fait un pas en avant, et si les données existantes ne suffisent pas pour résoudre la question d'une façon exacte, il faudra prendre la solution approchée qui semble le plus probable. ”

“ L’artifice de ces preuves consiste à établir d’abord que, tout fût-il explicable mécaniquement dans la nature, les lois de la mécanique ne pourraient elles-mêmes s’expliquer que par des principes métaphysiques, connus ou inconnus, dont la physique seule ne peut rendre compte. ”

“ Ici, Monsieur, vous prenez la Philosophie positive non seulement pour un traité de Mécanique rationnelle, mais pour un traité de Mécanique industrielle, et vous vous êtes l'appelé les expériences de Meyer, ou peut-être celles de Hirn, sur la détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur par la percussion. ”

“ Dans cet exposé l'auteur s'est servi des méthodes les plus élémentaires, pour résoudre les questions de physique et de mécanique dont la connaissance exacte est indispensable à l'intelligence de certains détails.
Puissent les physiciens, pour qui le calcul est un moyen et non le but de leurs études, ne pas refuser un examen sérieux à celle partie de l'écrit. ”

“ Lorsqu'au contraire la question qu'on se propose est de telle nature que le temps et la force y entrent ensemble, la masse ne peut rester en dehors, et les quatre éléments de la mécanique figurent à la fois dans les calculs. On les retrouve toujours dans la dynamique, qui, en ce sens, est la mécanique complète ou totale, tandis que chacune des autres branches est pour ainsi dire une science partielle, pouvant servir d'introduction à la science la plus étendue. ”

“ Nous énonçons donc dès le début ces fameux principes que le monde a mis des siècles à découvrir et qui ont fait de la mécanique une science rationnelle qui, comme la géométrie, édifie sur ces principes comme base une succession non interrompue de syllogismes, qui finissent par ne plus laisser aucune de ses profondeurs inexplorées. ”

“ Ce qu'il y a de réellement nouveau et de réellement utile à la science, c'est d'avoir réuni en un corps spécial de doctrines des théories éparses dans les ouvrages des géomètres, théories qui s'isolent très-nettement des recherches de mécanique proprement dite, et qui familiarisent l'esprit avec les phénomènes du mouvement. ”

“ De sorte que, sachant seulement le principe fondamental des mécaniques, on peut découvrir avec évidence toutes les vérités qui en dépendent en appliquant la géométrie à la mécanique, c’est-à-dire en exprimant sensiblement par des lignes toutes les choses que l’on considère dans les mécaniques. ”

“ Par exemple, un professeur qui a posé l’ensemble des hypothèses sur lesquelles reposent la Mécanique générale et la Mécanique céleste, qui en a déduit un certain nombre de chapitres de ces deux sciences, n’attendra pas d’avoir traité la Thermodynamique, l’Optique, la théorie de l’électricité et du magnétisme, pour comparer ses théorèmes à diverses lois expérimentales. ”

“ Tous ceux qui ont eu à enseigner les débuts de la Mécanique, pour peu qu’ils aient réfléchi par eux-mêmes, ont senti combien les expositions plus ou moins traditionnelles des principes sont incohérentes. ”

“ La première et la plus importante division naturelle de la mécanique consiste à distinguer deux ordres de questions, suivant qu'on se propose la recherche des conditions de l'équilibre, ou l'étude des lois du mouvement, d'où la statique, et la dynamique. ”

“ Toute la dynamique du point matériel s'achève avant d'aborder les questions d'équilibre. La statique des systèmes, partie si importante et si délicate de la mécanique, est traitée en faisant usage des notions données sur le travail des forces à l'occasion du théorème des forces vives; le théorème du travail virtuel intervient dans cette théorie comme un moyen rapide d'opérer des compositions de forces. Une triple démonstration est nécessaire pour établir ce théorème dans les trois cas principaux, d'un corps solide, d'un système quelconque sans liaisons, enfin d'un système à liaisons. ”

“ Nous citerons comme exemple parmi celles-ci la mécanique physique, qui procède de la mécanique rationnelle, mais dans laquelle on fait entrer les propriétés physiques des corps, non plus telles que nous les concevons abstraitement, mais telles qu'on les déduit des résultats d'expériences nombreuses. ”

“ De tous les grands théorèmes de mécanique rationnelle, celui que nous venons d'envisager est sans contredit le plus important pour les applications à la mécanique industrielle; c'est-à-dire en ce qui concerne la théorie du mouvement des machines, en tant qu'elle est susceptible d'être établie d'une manière exacte et précise. ”

“ Dans quelle mesure maintenant est-il exact de dire, comme on l’a fait quelquefois, qu’une explication mécanique n’est autre chose qu’un système d’équations différentielles ? On peut, une fois celui-ci obtenu, rejeter l’échafaudage qui a servi à former le système et chercher à tirer de ce système, avec les ressources de l’Analyse mathématique, la coordination des faits connus et à faire des prévisions qui sont le but suprême de la théorie et la marque de sa fécondité. Mais il arrive maintes fois que quelque fait nouveau vient montrer l’insuffisance de l’explication adoptée ”

“ La mécanique dont nous venons de parler est la mécanique pure, considérée en elle-même. Si nous appliquons maintenant cette science à la physique, la justesse des observations qui précèdent apparaîtra plus nettement encore.
En effet, pour expliquer mécaniquement les phénomènes physiques, on admet qu’ils sont liés aux mouvements de molécules que nous ne voyons pas. ”

“ De l’explication mécanique des phénomènes physiques. — Dans tout phénomène physique, il y a un certain nombre de paramètres que l’expérience atteint directement et qu’elle permet de mesurer. Je les appellerai les paramètres q.
L’observation nous fait connaître ensuite les lois des variations de ces paramètres et ces lois peuvent généralement se mettre sous la forme d’équations différentielles qui lient entre eux les paramètres q et le temps. ”

“ La mécanique des machines usuelles, la physique et ses nombreuses branches, la chimie théorique et pratique, l'astronomie et ses mille applications, la géodésie, la trigonométrie, la statistique, l'économie politique, enfin les calculs de tête, où souvent un résultat obtenu au vingtième ou même au dixième est suffisant, toutes les sciences de faits et d'observation trouvent d'utiles et indispensables auxiliaires dans les calculs pratiques. ”

“ La Mécanique, comme toutes les sciences qui ont pour objet les faits sensibles, est avant tout expérimentale et inductive, et c'est ce caractère qu'elle possède naturellement dans un Traité classique. ”

“ MÉTHODE DE COMPOSITION. — Remarquons maintenant que dans un système quelconque lié à un point fixe, les actions des forces se transmettent à tous les points et y produisent le même effet que de simples forces appliquées directement en ces points et dont nous savons déterminer la valeur ; que de plus, à cause des liaisons invariables et connues des systèmes, le mouvement d'un point quelconque fait connaître celui de tous les autres ”

“ Lorsqu'au contraire la machine rentre dans les cas usuels des bielles simples ou doubles, à simple ou à double effet, et qu'on suppose la puissance et la résistance constantes, lé calcul conduit à des résultats d'une grande simplicité. ”

“ Aujourd'hui, on entend par Métaphysique la science qui embrasse toutes les recherches dont l'objet est de ramener les différentes connaissances humaines à leurs sources premières, c'est-à-dire , à notre nature. ”

“ La résultante d'un certain nombre de forces données appliquées à un même corps, est une force unique qui peut faire équilibre à la force unique qui fait équilibre aux forces données; c'est-à-dire que la résultante des forces données est égale et directement opposée à la force qui fait équilibre aux forces données; et elle est équivalente à ces forces en ce qui concerne l'équilibre du corps. Les forces données sont appelées les composantes de leur résultante. ”

“ Certes, dans la grande majorité des cas, en raisonnant ainsi, nous arrivons à des conclusions justes; mais observons toutefois qu'il ne faut pas considérer exclusivement les corps animés comme des machines dont on peut calculer mathématiquement les effets; qu'il faut tenir compte de leurs forces motrices, forces inhérentes à la nature organisée, qui ne se manifestent à l'extérieur que par des signes bien fugaces, et qui modifient étrangement les résultats qui paraissent dépendre le plus des fois de la mécanique. ”

“ Les Mathématiques mixtes ont autant de divisions et de subdivisions qu’il y a d’être réels dans lesquels la quantité peut être considérée. La quantité considérée dans les corps en tant que mobiles, ou tendant à se mouvoir, est l’objet de la Mécanique. La Mécanique a deux branches, la Statique et la Dynamique. La Statique a pour objet la quantité considérée dans les corps en équilibre, et tendant seulement à se mouvoir. La Dynamique a pour objet la quantité considérée dans les corps actuellement mus. ”

“ Au fond, la mécanique qui semble la science la plus précise et la plus étrangère à la métaphysique, est celle contenant le plus de notions métaphysiques visibles ou cachées. Elles recouvrent évidemment des causes profondes, mais tout à fait ignorées. ”

“ Le mathématicien peut facilement démontrer qu'une force déterminée, en agissant sur un certain système de leviers et de poulies, suffira pour élever un certain poids Mais sa démonstration est basée sur l'hypothèse que sa machine est telle qu'il n'y a pas de charge qui puisse la faire fléchir ou la briser. ”

“ Au contraire, la mécanique, quoique plus importante encore que la géométrie, sous le rapport scientifique, n'a point, à beaucoup près, la même valeur logique, en vertu de sa complication supérieure, qui n'y saurait permettre autant de facilité aux déductions sans altérer gravement la réalité du sujet: l'analyse en a souvent reçu d'utiles impulsions secondaires, mais jamais des lumières directes. ”

“ Il a été nécessaire pour cet objet, de perfectionner à-la-fois, la mécanique, l’optique, et l’analyse, qui sont principalement redevables de leurs accroissemens rapides, aux besoins de la physique céleste. On pourra la rendre encore plus exacte et plus simple ”