François Cosserat

“ Les coefficients dans les fonctions linéaires qui expriment la loi de Hooke sont les modules de déformation de la ligne déformable, dans son état infiniment voisin de l'état naturel; ils sont invariables en un point donné de la ligne. Cette notion de module peut être généralisée, en envisageant les dérivées premières et secondes de la fonction W ”

“ La distinction que nous avons faite entre la partie dynamique et la partie statique de la force et du moment extérieurs, qui revient à grouper d'une part les termes qui seuls contiennent l'accélération dynamique, et d'autre part les termes qui seuls contiennent ce qu'on pourrait appeler l'accélération cinéma-
tigue, exprime évidemment une extension du principe de d'Alembert. ”

“ L'état naturel vient d'être considéré comme l'état initial d'une suite d'états déformés; la force extérieure et les éléments analogues qui lui sont relatifs ne sont pas nécessairement nuls. Il importe de remarquer, en outre, qu'il ne se distingue pas essentiellement des autres états et que l'on peut faire jouer à un état déformé quelconque le rôle d'état naturel ”

“ Nous.ferons encore remarquer que la voie déductive que nous suivons écarte l'objection que Carnot élevait déjà il y a un siècle contre la marche inverse de la Mécanique classique. Dans celle-ci la force et les quantités analogues sont des notions a priori; la force dynamique peut recevoir, il est vrai, une définition telle que celle qu'exprime la seconde loi du mouvement posée par Newton dans ses Principes; de même la force statique peut; si l'on veut, être regardée comme définie par la loi de Hooke, quand la déformation est infiniment petite, ainsi, que Reech l'a proposé ”

“ La Mécanique, comme toutes les sciences qui ont pour objet les faits sensibles, est avant tout expérimentale et inductive, et c'est ce caractère qu'elle possède naturellement dans un Traité classique. ”

“ Ces résultats s'obtiennent aussi en transformant directement les formules du n° 19, au moyen des relations indiquées plus haut entre les arguments lagrangiens et les arguments eulériens.
Nous pouvons également, par l'une ou l'autre des voies que nous venons d'indiquer, obtenir la densité de l'énergie qui correspond à la notion d'action lagrangienne. ”

“ Il est facile de déduire de ce qui précède une dynamique des systèmes établie sur le même plan que la théorie classique, sans se borner, comme dans cette dernière, à envisager des forces centrales. L'exposition actuelle présente. d'ailleurs, cet avantage de rattacher à leur véritable origine les diverses lois de force à distance étudiées par Gauss Riemann, Weber et Clausius, qui introduisent toutes uniquement les arguments r0, <\i0-, a;jk. Nous n'insisterons pas sur ce point, qui sort du cadre traditionnel de la Mécanique et qui intéresse surtout la Physique théorique. ”

“ Nous avons vu que cette densité, quand elle est rapportée il l'espace xo, ya, Zo, est
cette même densité, rapportée à l'espace .x, et exprimée au moyen de la fonction 52 des arguments eulériens est
Nous avons trouvé au n° 19, pour le travail élémentaire des forces et moments extérieurs et des efforts et moments de déformation extérieurs s'exerçant sur la portion (M) du milieu qu'occupe à l'instant t la portion (Mo) de l'état naturel, l'expression
W étant supposé indépendant de t. Le même résultat subsiste, si l'on considère une région jîxe (M) de l'espace ”

“ En conservant nos autres notations habituelles, nous supposerons que x, y, z, arguments cinématiques 1;i, y) ,, Ç/i Ph Çi> O 2, 3) donnés par les formules (i) et (2) , où les dérivées ordinaires par rapport à so devront être remplacées par des dérivées partielles par rapport à x0, y0, z0, ou encore si l'on veut par rapport à p, L'élément linéaire du milieu déformé (M) , rapporté aux variables indépendantes a ”

“ Au lieu de faire correspondre simplement à la notion d'état naturel l'idée d'un état particulier, nous pouvons donc, d'une façon plus générale, lui faire correspondre l'idée d'un état quelconque à partir duquel nous étudions la déformation.
Forme normale dés équations de la ligne déformable. Principe du travail minimum de Castigliano. Nous pouvons considérer les équations (10) du n° 2 comme des équations différentielles relatives aux inconnues x, y, z et à trois paramètres X,, X2, X3, au moyen desquels on exprime a, a', y". Admettons que Xo, Yo, Zo ”

“ B étant une constante, et nous trouvons
(pétant une fonction de qi+r2=– en supposant du premier degré par rapport à q*-i- r2, nous retrouvons l'action envisagée plus haut.
7. Ligne déformable où le plan Mx'y est osculateur en M à (M) ; ligne de Lagrange généralisée par Binet et étudiée par Poisson. Au lieu de supposer simplement que Mx' est la tangente à la courbe (M) , nous pouvons envisager le cas où le plan M.x' y' est le plan osculateur de cette courbe ”

“ Une distinction analogue à la précédente doit être faite entre les dérivées par rapport au temps de la fonction V la dérivée eulérienne est ce qu'on désigne habituellement par le symbole quant à la dérivée totale ou lagrangienne, elle s'exprime par la formule
Le signe <5 s'intervertit avec 3– et te signe (S) avec ~dx d Uz' d même, dans une intégrale lagrangienne, dont .le domaine varie avec le temps, on ne peut pas intervertir l'intégration par rapport à t et le système d'intégrations relatives à x, y, z ”

“ Zi) et (L, Mt, Ni) sont respectivement la force extérieure et le moment extérieur sur le trièdre d'indice i; il reste, dans ce calcul, ce qui est facile, à mettre en évidence les arguments r (y, ipy, liJk. Remarquons que l'expression. de la force extérieure se trouve, décomposée en deux parties; la première, qui dépend des segments (A,, Bt, Ci) , (P, Q,, R;) et de leurs dérivées, est la partie proprement dynamique ”

“ Dans cette déformation continue, le travail total, effectué par les forces et les moments extérieurs appliqués aux différents éléments de la ligne et par les efforts et les moments de déformation appliqués aux extrémités, s'obtient en intégrant de o à A la différentielle obtenue en substituant dans d&e aux variations de x, y, z, a, a', lies différentielles partielles correspondant 3 l'accroissement dh de h,
le travail considéré est indépendant des états intermédiaires et ne dépend que des états extrêmes (Mo) et (M) ”

“ Nous avons ainsi
8Ee étant pris entre A et M. Comme 8W doit être identiquement nul, en vertu de l'invariance de W dans le groupe des déplacements euclidiens, quand les variations dx, ày, os sont données par les formules (g) et quand di=^ui8t, ôy =ro2ô£, dk = w3dl, et cela quelles que soient les valeurs des constantes a,, a2, a3, u,, to2, to,, nous en concluons que l'on a
et deux formules analogues dams ces relations, on peut concevoir M comme variable, et elles sont ainsi équivalentes aux équations (12) . ”

“ Les formules (i5) et (i5') nous permettent de calculer les développements de F, G, H, et, J, JK; Xo, Yo, Zo, ̃do.. 3K0, suivant les puissances de h; les termes indépendants de h sont nuls et les termes F,, G,, H,, 3,, 3l, 3C, Xo" Yol, Zoi, 3ïl0U SC0l sont donnés par les formules
on l'on pose
Si nous considérons, sous le nom d'état de déformation infiniment voisin de l'état naturel, l'état (M) où le point M a pour coordonnées x (l>, J (1) , z (l) , et où les paramètres relatifs au trièdre adjoint ont
pour valeurs Xe, Xl2", X'3" ”