“ On en conclut qu’un fluide pesant et homogène intérieur ou extérieur à un polygone dont le plan est parallèle à celui de la surface supérieure du fluide ne saurait y engendrer aucun mouvement, et par suite que les pressions horizontales exercées par un fluide pesant, soit sur le vase qui le contient, soit sur un corps qui y est plongé, se détruisent réciproquement [1] . On en pourrait conclure également que, si l’on tend sur un polygone invariable une membrane homogène tendante à se contracter ou à se dilater, l’élasticité de cette membrane ne fera naître aucun mouvement dans le polygone. ”

“ Solution. Soit le rayon du miroir, et soit la distance de sa surface au point lumineux. Considérons ce miroir, que nous supposons une très-petite portion de la sphère dont il fait partie, comme un miroir hyperbolique ; le paramètre de l’hyperbole génératrice sera et la distance de son sommet au foyer de l’hyperbole opposée sera en désignant donc par la distance du même sommet à l’autre foyer, qui est le foyer cherché, on aura, par les propriétés connues de la courbe,
d’où
et ensuite
éliminant entre ces deux équations, il viendra
formule qui résout le problème. ”

“ Le philosophe anglais, armé du prisme, nous apprit enfin à interroger la nature par des expériences bien conduites, et à substituer ses réponses aux rêves de notre imagination ; il nous montra le premier, par des faits incontestables, que la lumière blanche, qui émane soit du soleil, soit de tout autre corps lumineux, soit enfin d’un corps simplement éclairé n’est point une substance simple, mais qu’elle résulte du mélange ou de la combinaison de diverses autres substances jouissant de différens degrés de réfrangibilité. ”

“ Le problème se trouvera ainsi réduit au suivant :
Pendant qu’un corps terminé par une surface donnée, tourne autour d’un axe fixe dans ce corps, mais mobile dans l’espace, avec une vitesse donnée quelconque, constante ou variable, cet axe lui-même tourne autour d’un autre axe absolument fixe dans l’espace, situé ou non dans le même plan avec lui, et auquel on le suppose invariablement lié, avec une autre vitesse donnée quelconque, également constante ou variable ; on demande quelle est la surface à laquelle, dans ce double mouvement, la surface sera continuellement tangente ? ”

“ L’équation (1) n’est point, en général, susceptible d’abaissement, et ne peut conséquemment fournir une construction graphique rigoureuse, exécutée avec la règle et le compas seulement ; mais si la relation entre les données était telle que le problème n’eût que trois solutions, ou, ce qui revient au même, que cette équation eût deux racines égales, le problème pourrait fort bien se résoudre alors géométriquement. ”

“ Je réponds qu’après un certain nombre de transformées, la dernière n’aura plus de variations. En effet, les valeurs de ne peuvent devenir nulles que lorsque peut le devenir et ne peut le devenir dans l’hypothèse où l’équation n’a aucune racine réelle positive, puisque l’axe ne rencontre aucune branche du côté des positifs. En appelant la limite supérieure positive ; il arrivera un point où l’on aura ou et alors la transformée n’aura plus que des permanences. ”

“ Remarque I. La comparaison des résultats que nous venons d’obtenir avec celui où nous a conduit le Problème III donne lieu à un rapprochement très-remarquable : il consiste en ce que l’attraction exercée par un angle solide dièdre homogène et indéfini sur un point de son arête croit et décroit exactement comme celle qu’exercerait sur le même point le plan de la section faite perpendiculairement à l’angle solide par le même point ; de sorte qu’il n’y a absolument entre l’une et l’autre forces qu’une simple différence d’intensité. ”

“ Concevons de plus qu’au centre de gravité de l’aire de chacun des plans diagonaux qui divisent la pyramide en tétraèdre, on applique, perpendiculairement à la direction de ce plan, deux forces égales et contraires, proportionnelles à l’étendue de ce plan ; ces dernières forces se trouvant deux à deux en équilibre, leur introduction ne changera absolument rien à l’état du système. ”

“ Et par là on voit aussi que, dans le cas où l’intensité de la force attractive dépendrait de la masse des molécules attirantes, il n’y aurait encore rien de changé si le corps attirant, au lieu d’être homogène, était d’une densité variable, pourvu seulement que sa densité fût constante, pour chacune des couches sphériques concentriques y avant le point attiré pour centre commun. ”

“ Peut-on admettre qu’un problème, lors même qu’il est question seulement de le résoudre par approximation, soit possible ou impossible, à volonté, et soit susceptible aussi à volonté, tantôt d’un plus grand et tantôt d’un moindre nombre de solutions ? ”

“ Admettons que la réfrangibilité, indépendante de la figure, soit plus grande pour les molécules qui ont moins de masse et moindre pour celles qui en ont davantage.
Admettons encore que la coloration, ou l’impression sur l’organe, tout-à-fait indépendante de la masse, ne soit produite que par la figure seule ; et que les molécules de la lumière n’affectent que trois formes différentes. Pour fixer les idées, supposons que ces formes soient le tétraèdre, l’octaèdre et l’icosaèdre réguliers ; que le tétraèdre produise la sensation du rouge, l’octaèdre celle du jaune, et l’icosaèdre celle du bleu. ”

“ N’est-ce pas seulement depuis que la philosophie naturelle a cessé d’être purement spéculative et conjecturale, et qu’elle a pris l’expérience pour base, qu’elle a fait de véritables progrès ou, pour mieux dire, qu’elle est devenue une véritable science, et, si les anciens nous ont légué en physique une si grande multitude d’erreurs, n’est-ce pas précisément parce qu’au lieu d’observer la nature, parce qu’au lieu de lui arracher ses secrets par la voie de l’expérience, ils ont mieux aimé chercher à la deviner ? ”

“ Il est presque superflu d’observer qu’en enseignant à mener graphiquement une tangente à une courbe plane, par un quelconque de ses points, nous avons aussi enseigné implicitement à lui mener une normale par le même point. ”

“ Mais il y a, entre ce cas et le précédent, cette différence essentielle que, tandis que, dans le premier, le nombre et la nature des systèmes de valeurs des inconnues se trouvent tout-à-fait limités et déterminés, ici, au contraire, un système de valeur peut fort bien être remplacé par un autre, qu’on pourra regarder comme lui étant équivalent, en ce sens qu’il aura comme lui la propriété de faire devenir les premiers membres très-petits, par sa substitution à la place des inconnues ”

“ Je sais bien qu’on m’objectera que l’oranger, le vert et le violet que nous formons par le mélange de deux des trois couleurs bleue rouge et jaune, ne ressemble pas parfaitement aux couleurs de même nom que présente le spectre ; mais je demanderai à mon tour si notre bleu, notre rouge ou notre jaune ressemblent davantage à celui qu’on obtient par le prisme, et s’il est bien surprenant que l’art ne parvienne à imiter la nature que d’une manière imparfaite ? ”

“ On a, de cette manière, l’équation du second degré
laquelle donne, pour les valeurs approchées des deux autres racines,
Ce que nous venons de dire du troisième degré s’étend, comme l’on sait, à tous les autres ; avec cette seule différence qu’on n’y trouve plus les mêmes facilités pour résoudre l’équation privée de la racine déjà obtenue. Mais, dans tous les cas, ce procédé a l’avantage de réduire d’une unité le degré de l’équation à résoudre ”

“ Que l’on conçoive, en effet, l’angle polyèdre attirant partagé en une infinité d’autres infiniment petits, de même sommet que lui et équivalens en capacité ; c’est-à-dire, de nature à intercepter des portions équivalentes d’une sphère d’un rayon quelconque, ayant son centre à leur sommet commun. Ces angles polyèdres partiels exerceront sur le point attiré, et chacun d’eux suivant sa direction, une infinité d’actions infiniment petites, d’une même intensité ”

“ Si l’on suppose que les droites données sont perpendiculaires entre elles, on aura et l’équation (1) deviendra
les équations (2) deviendront, dans le même cas,
ou bien
et il n’en résultera aucune simplification notable dans la solution du problème.
Il n’en sera pas de même, si l’on suppose que le point donné est situé sur la droite qui divise en deux parties égales l’angle dans lequel il se trouve situé ; on aura alors, en effet, et l’équation (1) deviendra
équation réciproque qui conséquemment ne présente que la difficulté du second degré. ”

“ Désignant par la grandeur de l’orifice et par le temps, est le volume d’eau qui s’écoule pendant le temps et dont le plan reçoit le choc. Donc, la densité de l’eau étant prise pour unité, est la quantité de mouvement infiniment petite que le fluide vient perdre contre le plan, pendant le temps et à laquelle doit faire équilibre celle que le poids tend à communiquer au même plan dans le même temps. Or, cette dernière est désignant la vitesse qu’acquiert un corps pesant, au bout d’une seconde de chute ”

“ Solution, De quelque manière que soient mus les différens corps d’un système, lorsqu’on n’a à s’occuper que de leur mouvement relatif, il est toujours permis de supposer l’un d’eux immobile, pourvu que l’on transporte aux autres son mouvement en sens contraire. ”

“ Comme, dans le cas où l’équation (1) se trouverait d’un degré un peu élevé, l’équation (7) , renfermant alors des puissances des coefficiens pourrait être incommode pour la détermination de ces coefficiens ; on ferait bien de différentier une ou plusieurs fois l’équation (1) , et de combiner ses différentielles tant entre elles qu’avec elle-même, de manière à obtenir l’équation la plus simple possible, laquelle serait alors substituée à cette équation (1) . ”

“ Cette force, dirigée vers le milieu de l’arc de l’équateur intercepté entre les deux méridiens qui bornent le fuseau, est donc proportionnelle à la corde de cet arc ; elle est donc la même pour un fuseau quelconque que pour son complément à la sphère, ainsi que cela doit être ; elle est donc la plus grande possible pour la surface de l’hémisphère. ”

“ Ainsi, en résumé, lorsqu’il n’y a que deux fonctions données seulement, que ces fonctions ne renferment qu’une seule variable, qu’elles sont rationnelles et entières, et qu’enfin elles n’excèdent pas le second degré, nous savons résoudre le problème, 1.o lorsque les derniers termes de nos deux fonctions sont des nombres triangulaires ; 2.o lorsque les coefficiens de leurs premiers termes sont les doubles de deux quarrés ; 3.o lorsque chacune de ces fonctions est décomposable en deux facteurs rationnels du premier degré ; 4.o enfin, lorsque nous connaissons déjà une solution du problème ”

“ Il paraît que Newton lui-même ne fut pas peu surpris des résultats auxquels il parvint ; et l’on en peut juger par la multitude des expériences qu’il tenta, dans la vue sans doute de confirmer ou de détruire les conséquences paradoxales que ces résultats paraissaient entraîner.
Une expérience constante nous a appris, en effet, que toutes les fois que nous sommes assez heureux pour arracher à la nature quelqu’un de ses nombreux secrets, nous la voyons toujours parvenir à son but par les voies les plus simples ”

“ THÉORÈME. Si aux centres de gravité des aires de toutes les faces d’un polyèdre quelconque, non pesant, convexe ou non, on applique des puissances respectivement perpendiculaires aux plans de ces faces, et proportionnelles à leur étendue, agissant toutes du dedans au dehors ou toutes du dehors au dedans, le polyèdre demeurera en équilibre. ”

“ Afin donc de lever cette difficulté qui, comme on le sent bien, doit croître avec le degré de l’équation, nous remarquerons d’abord que, comme en augmentant les racines d’une équation proposée d’une quantité égale à la limite de ses racines négatives, prise en plus ; on rend toutes ses racines réelles positives, il nous sera toujours permis de supposer que, comme dans les exemples ci-dessus, la proposée n’a que des variations de signes, et conséquemment des racines imaginaires et des racines réelles positives seulement. ”

“ La courbe parabolique n’a donc ici qu’un seul sommet, situé sur l’axe des à une distance de l’origine ; puis donc que (I) ses deux branches doivent s’étendre à l’infini, du côté des positives, dans les deux régions des positifs et des négatifs ; il est clair que cette courbe coupera l’axe des de part et d’autre de l’origine. Nous parvenons donc ainsi, sans résoudre l’équation à découvrir que cette équation a deux racines réelles de signes contraires ; et il en serait exactement de même pour toute autre équation du même degré. ”

“ Les mêmes considérations prouvent que, dans ce cas, la plus courte ligne qu’on puisse mener par le point dans l’angle qui le contient est la perpendiculaire à celle qui joint ce point à l’origine ; car en pliant la figure comme il vient d’être dit, cette perpendiculaire se confondra avec elle-même. On voit par là que, dans le même cas, le problème aura quatre, trois ou deux solutions, suivant que la longueur donnée sera plus grande que cette perpendiculaire, égale à cette perpendiculaire ou moindre qu’elle. ”

“ En effet, on sait que deux substitutions qui donnent pour des résultats de signes contraires peuvent intercepter un nombre impair de racines réelles ou imaginaires ; or, par la méthode vulgaire des substitutions, on ne peut point discerner le nombre des racines interceptées, tandis que, par la nôtre, la diminution de et les variations perdues, font toujours connaître le nombre des branches dépassées par la translation de l’origine des abscisses : c’est un fanal qui est là pour éclairer tous les écueils. ”

“ Ainsi, pour ne pas sortir du second degré, s’il n’est question seulement que de résoudre, d’une manière approximative, l’équation
on le pourra également soit en donnant à ces deux valeurs réelles et inégales
soit, en admettant ces deux valeurs imaginaires
car, si les unes et les autres ne réduisent pas le premier membre à zéro, elles le rendent du moins très-petit. ”

“ Soit pris le rayon de la sphère pour unité de longueur. Soit l’arc de l’équateur compris entre les deux méridiens qui terminent le trapèze, et dont nous adoptons les plus à gauche pour premier méridien ; soient les distances polaires des deux parallèles. Soit l’intensité inconnue de l’attraction exercée par l’aire du trapèze sur le centre de la sphère ; cette force sera évidemment dirigée dans le plan d’un méridien également distant de ceux qui terminent le trapèze ”

“ Par un point donné dans l’intérieur d’un angle trièdre tri-rectangle, et également distant de ses trois faces, conduire un plan tellement dirigé que sa partie interceptée dans l’angle trièdre dont il s’agit soit un triangle semblable à un triangle donné ? ”