Joseph-Louis Lagrange

“ Pour cela, je considère d'abord l'équation générale du plan z = ax + by + c,
dont la position par rapport aux trois plans rectangulaires des x, y, des x, z et des y, z est déterminée par les constantes a, b, c. Car il est facile de prouver que a est la tangente de l'angle que l'intersection de ce plan avec le plan des x et z fait avec l'axe des x; que b est la tangente de l'angle que l'intersection du même plan avec l'autre plan des y et z fait avec l'axe de y; enfin que ce plan passe par le point de l'axe des z, qui est éloigné de l'origine commune des trois axes de la quantité c. ”

“ Et de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différences infiniment petites comme la limite du rapport des différences finies, et les équations différentielles comme les limites des équations aux différences finies.
Je ne disconviens pas qu'on ne puisse, de cette manière, démontrer la légitimité des résultats du Calcul différentiel; mais, quoique cette
marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l'infini exige toujours une espèce de saut, plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité et change la forme des fonctions. ”

“ Dans l'Algèbre ordinaire, on distingue simplement les quantités en connues et inconnues, et l'on a coutume de désigner les unes par les premières lettres de l'alphabet, et les autres par les dernières. L'application de l'Algèbre à la théorie des courbes a fait d'abord distinguer les quantités qui entrent dans l'équation d'une courbe en données, telles que les axes, les paramètres, etc., et en indéterminées, telles que les coordonnées. ”

“ On peut regarder Fermat comme le premier inventeur des nouveaux calculs. Dans sa méthode de maximis et minimis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum à l'expression de la même quantité, dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions s'il y en a, et, après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée par laquelle ils se trouvent multipliés ”

“ Il est évident que l'équation à l'ellipse, qui est sans constante arbitraire, n'est que l'équation primitive singulière de l'équation du premier ordre, donnée par les conditions du problème, puisqu'elle résulte du facteur du même ordre qui multiplie la dérivée de la même équation et que l'équation à la ligne droite, qui vient de l'autre facteur du second ordre, est donnée par l'équation primitive complète, avec une constante arbitraire, conformément à la théorie développée dans la Leçon seizième. ”

“ De même, en regardant l'espace parcouru comme fonction du temps, la vitesse en est la fonction prime et la force accélératrice en est la fonction seconde. Ce n'est peut-être pas un des moindres avantages du Calcul des fonctions de fournir, pour ces éléments de la Géométrie des courbes et de la Mécanique, des expressions aussi simples et intelligibles que le sont les expressions algébriques des puissances et des racines. ”

“ Jusqu'ici nous n'avons cherché que la ligne la plus courte parmi toutes les lignes possibles qu'on peut mener entre des points, ou des lignes, ou des surfaces données; problème que la simple Géométrie peut résoudre, parce qu'on sait que dans un plan la ligne la plus courte est la ligne droite. Mais, si l'on demande en général la ligne la plus courte sur une surface quelconque donnée, le problème dépend alors essentiellement de la méthode des variations, et les formules trouvées ci-dessus s'y appliquent avec la même facilité. ”

“ C'est proprement dans ce dernier Ouvrage qu'Euler a donné une solution générale et complète du problème des isopérimètres. Pour trouver les conditions du maximum ou minimum, il se contente de faire varier une seule ordonnée de la courbe, et il en déduit la valeur différentielle de la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, en substituant à la place des différentielles de l'ordonnée les différences successives des données consécutives, et à la place des expressions intégrales les sommes des éléments répondant à toute l'étendue de la courbe. ”

“ Le développement des fonctions, envisagé d'une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de différents ordres; et, l'algorithme de ces fonctions une fois trouvé, on peut les considérer en ellesmêmes et indépendamment des séries d'où elles résultent. Ainsi, une fonction donnée étant regardée comme primitive, on peut en déduire par des règles simples et uniformes d'autres fonctions que j'appelle dérivées; et, lorsqu'on a une équation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives. ”

“ Désignons par Ûo et Ù, les valeurs de U̇ qui répondent à la première et à la seconde limite, dans lesquelles x aura des valeurs données, et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites; on aura cette équation particulière aux limites U̇t — U̇0 = o,
savoir
à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de y en x pourra admettre. ”

“ Ainsi, dès qu'on aura trouvé, par la considération du premier terme du développement, des règles générales pour passer d'une fonction primitive à la fonction dérivée, on pourra faire abstraction de tout développement, et regarder la dérivation des fonctions comme une nouvelle opération d'Algèbre plus générale et d'une beaucoup plus grande étendue que l'élévation aux puissances. ”

“ Or, si l'on fait
et qu'on détermine a en fonction de x, y, z, de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si a ne variait pas, ce qui donne l'équation primitive générale, il est visible que cette équation représentera une surface tout à fait différente, mais qui aura, en chaque point, le même plan tangent que si la quantité a demeurait constante, puisque les expressions des quantités (z' x') et (z' y') restent les mêmes. ”

“ Quoiqu'il soit plus simple de déduire les fonctions dérivées des différents ordres les unes des autres, parce que de cette manière les mêmes règles et les mêmes opérations font trouver toutes les dérivées, et que ce soit même dans cette dérivation successive des fonctions que consistent l'essence et l'algorithme fondamental du Calcul des fonctions dérivées, il y a néanmoins des cas où la considération immédiate des termes successifs de la série peut donner les fonctions dérivées successives d'une même fonction d'une manière plus directe et plus générale ”

“ D'un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes, ni plus ni moins, qu'il y a d'unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a par conséquent autant de valeurs différentes qu'on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu'elle renferme. ”

“ Il est donc plus naturel et plus simple de considérer immédiatement le développement des fonctions, sans employer le circuit métaphysique des infiniment petits ou des limites; et c'est ramener le Calcul différentiel à une origine purement algébrique, que de le faire dépendre uniquement de ce développement. ”

“ Pour cela, on remarquera que la courbe formée par l'intersection continuelle d'une série de courbes infiniment peu différentes l'une de l'autre n'est autre chose que la courbe qui embrasserait ou toucherait toutes ces courbes, et qui aurait, par conséquent, dans chacun de ses points, une tangente commune avec une de ces mêmes courbes. Or, soit
l'équation générale des courbes dont il s'agit, a étant le paramètre, qui est constant dans chacune d'elles, mais qui varie de l'une à l'autre ”

“ En effet, si l'on fait successivement y = x, 2x, 3x, dans les
formules données ci-dessus pour sin (x + y) et cos (x + y) , et qu'on substitue à mesure les valeurs précédentes, on trouve
dont l'analogie avec les termes des puissances correspondantes du binôme est manifeste.
D'après cela, il est étonnant que Jean Bernoulli n'ait pas trouvé les expressions finies de sinmx et cosmx, et qu'il ait fallu encore vingt ans pour qu'on parvînt à la formule donnée par Moivre. Ainsi Jean Bernoulli a touché deux fois à la même découverte, et il en a laissé la gloire à ses successeurs. ”

“ Comme les dérivées de z ne paraissent dans cette équation que sous la forme linéaire, il est possible d'en déduire l'expression de z, en employant la méthode des multiplicateurs et prenant successivement les fonctions primitives; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et compliqués, et il est beaucoup plus simple d'employer les multiplicateurs, de la manière dont on a usé dans la Mécanique analytique, qui est toute fondée sur le calcul des variations. ”

“ Si toutes ces valeurs ou seulement quelques-unes sont indéterminées, ou s'il y a entre elles des relations données par la nature du problème, alors, après avoir effacé les variations qui doivent être nulles et réduit les autres au plus petit nombre possible, il faudra faire disparaître les variations restantes en égalant leurs coefficients à zéro ce qui donnera autant d'équations auxquelles on satisfera par le moyen des constantes arbitraires que les différentes intégrations introduiront dans l'équation du problème. ”

“ Tant que ce développement ne sert qu'à la génération des fonctions dérivées, il est indifférent que la série aille à l'infini ou non; il l'est aussi lorsqu'on ne considère le développement que comme une simple transformation analytique de la fonction ”

“ En éliminant ainsi les constantes qu'on veut faire disparaitre, on tombe souvent, comme on le voit, dans des équations où la plus haute fonction dérivée est élevée à des puissances; et ce n'est que par la résolution qu'on peut avoir la valeur de cette fonction en fonction des variables et des fonctions dérivées d'un ordre moindre. ”

“ La détermination des plus grandes et des plus petites ordonnées dans les lignes et dans les surfaces courbes avait donné naissance aux questions de maximis et minimis, dont nous venons de parler; mais on s'éleva bientôt à des problèmes d'un genre nouveau et beaucoup plus difficile. Il s'agissait de trouver les courbes mêmes dans lesquelles des quantités dépendantes de toute l'étendue de la courbe cherchée, prise entre des limites données, fussent un maximum ou un minimum par rapport à toutes les autres courbes possibles ”

“ Mais, en Algèbre, on ne considère les fonctions qu'autant qu'elles résultent des opérations de l'Arithmétique, généralisées et transportées aux lettres, au lieu que, dans le Calcul des fonctions proprement dit, on considère les fonctions qui résultent de l'opération algébrique du développement en série lorsqu'on attribue à une ou à plusieurs quantités de la fonction des accroissements indéterminés. ”