Primitive (mathématiques)

“ Mais l’infini n’est-il pas cette région élevée où se trouve le principe de la génération des quantités, la véritable source des lois mathématiques ? Non certainement, à moins que vous ne soyez bien décidé à rester sous l’influence de l’illusion que vous avez signalée. J’ajoute, relativement au calcul différentiel, que l’introduction de l’idée d’infini n’y est pas même utile.
L’idée d’infiniment petit n’abrège point l’exposition. ”

“ Mais, bien différentes des abstractions métaphysiques, celles de la mathématique sont extraites des propriétés sensibles et mesurables des corps ; elles constituent une philosophie physique. Il en résulte que les vérités mathématiques, bien qu’intangibles par elles-mêmes, peuvent être comparées sans cesse à la nature qui, sans jamais les dégager entièrement, laisse paraître qu’elles sont toutes en elles. ”

“ Les Mathématiques pures se bornent à spéculer sur les grandeurs abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de notions primitives, d’axiomes, sans rien emprunter à l’expérience. Ses branches sont l’arithmétique, la géométrie et l’analyse (algèbre et calcul infinitésimal) . ”

“ Lorsqu’en effet, faisant volontairement abstraction de toutes les nuances et différences qui nous paraissent secondaires, nous suivons à travers les âges, les conceptions directrices des mathématiciens, nous voyons se dessiner une courbe d’évolution dont la figure générale est extrêmement simple. Trois grandes divisions, seulement, ressortent dans cette vue d’ensemble, trois grandes vagues dont le soulèvement principal se produit aux trois époques les plus marquantes de l’histoire des mathématiques : la grande époque de la science hellénique, la fin du xviie siècle, l’époque contemporaine. ”

“ En présentant cette comparaison sous un nouveau point de vue, on peut dire que la mathématique concrète a un caractère philosophique essentiellement expérimental, physique, phénoménal; tandis que celui de la mathématique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est pas ici le lieu de discuter exactement les procédés qu'emploie l'esprit humain pour découvrir les lois mathématiques des phénomènes. ”

“ C’est à un certain esprit pratique, à un désir d’avancer rapidement dans la conquête de provinces nouvelles que l’on doit l’importance illégitime attribuée aux résultats dans l’enseignement des mathématiques. Il vaut bien mieux offrir comme objet à examiner — en géométrie, une figure ayant des propriétés importantes ; en analyse, une fonction dont l’étude est caractéristique, et ainsi de suite. Lorsque la démonstration ne dépend que de quelques-uns seulement des caractères qui ont servi à définir l’objet que l’on étudie, il est bon d’isoler ceux-ci et de les examiner séparément. ”

“ Les modernes ont enfin, depuis quelque temps, rejeté les forces essentielles et les qualités occultes, pour rappeler les phénomènes naturels à des lois mathématiques. Je me suis proposé dans ce traité de contribuer à cet objet, en cultivant les Mathématiques en ce qu'elles ont de rapport avec la philosophie naturelle. ”

“ Mais, si quelque reproche de ce genre pouvait être aujourd'hui formulé, ce n'est pas à la Géométrie, c'est à l'Analyse qu'il conviendrait, je crois, de l'adresser. Le cercle dans lequel paraissaient renfermées les études mathématiques au commencement du XIX" siècle a été brisé de tous côtés. Les problèmes anciens se présentent à nous sous une forme renouvelée, des problèmes nouveaux se posent, dont l'étude occupe des légions de travailleurs. Le nombre de ceux qui cultivent la Géométrie pure est devenu prodigieusement restreint. Il y a là un danger contre lequel il importe de se prémunir. ”

“ Bien que, comme toutes les sciences, la mathématique ait été précédée d'une période d'empirisme, de tâtonnements et d'inductions accompagnées et suivies de constantes vérifications, sa perfection est devenue telle que certains logiciens ont perdu de vue ces caractères primitifs; en réalité les mathématiques doivent tout à l'observation et à l'expérience comme toutes les autres sciences. L'étendue et le nombre sont les phénomènes et les rapports les plus simples et les plus généraux que nous puissions atteindre. ”

“ Le mode le plus simple et le plus universel de l'existence inorganique consiste nécessairement dans l'existence mathématique, d'abord géométrique, puis mécanique, seule appréciable en chacun des cas, très-nombreux et fort importans, où notre investigation ne peut reposer que sur l'exploration visuelle. Tel est le 790 motif scientifique qui, indépendamment des motifs logiques déjà examinés, érige spontanément l'ensemble des études mathématiques en premier élément fondamental de la philosophie positive. ”

“ Ses principes mathématiques, où règne une physique toute nouvelle et toute vraie, sont fondés sur la découverte du calcul qu’on appelle mal à propos de l’infini, dernier effort de la géométrie, et effort qu’il avait fait à vingt-quatre ans. ”

“ Selon la manière de parler ordinaire, les principes mathématiques sont ceux qui consistent dans les mathématiques pures, comme nombres, arithmétique, géométrie. Mais les principes métaphysiques regardent des notions plus générales, comme la cause et l’effet. ”

“ Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s’aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits. ”

“ Mais lorsqu’on les a enfin découverts on constate qu’ils sont en petit nombre et qu’ils sont la seule source de tout ce que contiennent les mathématiques pures. Cette constatation, que les mathématiques tout entières découlent nécessairement d’un petit nombre de lois fondamentales, est de nature à rehausser considérablement la beauté intellectuelle de l’ensemble ”

“ Ceci nous rappelle d’avoir un jour entendu un jeune homme que l’on interrogeait sur la division logique, répondre que, par exemple, les mathématiques se divisent en mathématiques élémentaires, mathématiques spéciales et mathématiques transcendantes. ”

“ Lorsqu’on a voulu exprimer ces théorèmes et ceux qui concernent les nombres, quelques signes, dont la signification ne pouvait être équivoque, ont suffi pour représenter avec précision des idées d’une exactitude parfaite. Dès leur naissance, les sciences mathématiques ont offert à l’esprit humain l’entière réalisation de ce type du vrai, objet de ses plus chères affections. ”

“ Entre la substance donnée et la substance résultant du changement qualitatif, il y a le rapport de la puissance à l’acte.
X. Mathématiques. — Les mathématiques considèrent les rapports de grandeur, la quantité et le continu, en faisant abstraction des autres qualités physiques. Elles traitent ainsi des choses qui sont immobiles sans exister à part, essences intermédiaires entre le monde et Dieu. Le mathématicien isole par abstraction, dans les choses sensibles, la forme de la matière. La mathématique est pure ou appliquée. La géométrie et l’arithmétique constituent la mathématique pure. ”

“ Le XIXC siècle a vu surgir, en mathémathiques pures, de nombreuses branches nouvelles. Notamment la théorie des nombres ou arithmétique supérieure ; la théorie des formes et des groupes ; la théorie des fonctions de périodicité multiple ou trigonométrie supérieure; enfin la théorie générale des fonctions, embrassant les vastes régions de l'analyse supérieure. Les développements de la géométrie analytique et synthétique ont également engendré de nouveaux sujets d'études. ”

“ Non que les mathématiques aient rien perdu, à nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d’ailleurs, la possibilité d’une mesure exacte avec la réduction à une formule mathématique est de plus en plus le signe d’une théorie scientifique faite ; mais nous regardons moins volontiers du côté de la géométrie pure. ”

“ Sous les noms divers de jugements synthétiques a priori, postulats, définitions, axiomes, faits fondamentaux, les mathématiciens philosophes admettent, soit comme venant de l’expérience, soit comme venant de l’esprit, des principes bruts et impénétrables. En fait, les mathématiques se sont constituées et se perfectionnent par un travail de généralisation qui consiste à imaginer des axiomes et des définitions permettant de développer les démonstrations avec le plus de continuité, le moins de lacunes possible. ”

“ Dans la géométrie élémentaire, l’arithmétique, la statique et plus généralement dans toutes les sciences où l’on fait usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on s’élève de proche en proche, jusqu’aux propositions les plus complexes... ”

“ Vu l'infinie diversité qui doit nécessairement exister à cet égard dans le monde extérieur, on comprend sans peine combien nos conceptions doivent se trouver fréquemment au-dessous de la véritable difficulté; surtout si l'on ajoute que, ces élémens de notre analyse nous ayant été fournis primitivement par la considération mathématique des phénomènes les plus simples, puisqu'ils ont tous, directement ou indirectement, une origine géométrique, nous n'avons à priori aucune garantie rationnelle de leur aptitude nécessaire à représenter les lois mathématiques de toute autre classe de phénomènes. ”

“ Nous concevons la possibilité d'un enseignement gradué de la géométrie élémentaire, conduit, à tous ses degrés, d'après un plan unique et invariable, toujours soumis aux règles de la plus sévère logique, et où les difficultés ne se montreraient qu'à mesure que les esprits seraient préparés à les aborder. ”

“ La perfection des formes mathématiques, résultant de l’élimination des propriétés relativement accidentelles, est, comme on l’a fort bien dit, un caractère négatif et non positif ; car élimination, c’est négation. ”

“ Les théorèmes et les formules mathématiques sont rarement susceptibles d'une application complète à l'étude effective des phénomènes naturels, quand on veut dépasser la plus extrême simplicité dans les conditions réelles des problèmes. Mais le véritable esprit mathématique, si distinct de l'esprit algébrique, avec lequel on le confond trop souvent 20, est, au contraire, constamment applicable; et sa connaissance approfondie constitue, à mes yeux, le plus intéressant résultat que les physiciens puissent retirer d'une étude philosophique de la science mathématique. ”

“ On peut, naturellement, en dresser beaucoup plus à la connaissance suffisante des mathématiques élémentaires, mais cette petite proportion possède seule la faculté naturelle leur rendant possible de s'élever à un bon rang comme mathématiciens, d'y prendre plaisir, ou de faire un ouvrage original de mathématiques. ”

“ En formant les équations différentielles d'un phénomène quelconque, il est bien rare qu'on se borne à introduire différentiellement les seules grandeurs dont on cherche les relations. S'imposer cette condition, ce serait diminuer inutilement les ressources que présente l'analyse transcendante pour l'expression des lois mathématiques des phénomènes. ”

“ Au contraire, les occasions qui peuvent faire naître les concepts dont les modes de détermination forment une variété continue sont si rares dans la vie ordinaire, que les lieux des objets sensibles et les couleurs sont à peu près les seuls concepts simples dont les modes de détermination forment une variété de plusieurs dimensions. C’est seulement dans les hautes Mathématiques que les occasions pour la formation et le développement de ces concepts deviennent plus fréquentes. ”

“ Tandis que les vraies théories mathématiques ont fait, depuis un siècle, de si grands et si utiles progrès, cette absurde doctrine, sauf les occasions de calcul abstrait qu'elle a pu susciter, n'a véritablement subi, pendant le même temps, malgré de nombreux et importans essais, aucune amélioration essentielle, et se retrouve aujourd'hui placée dans le même cercle d'erreurs primitives, quoique la fécondité des conceptions constitue certainement, à l'égard d'une science quelconque, le symptôme le moins équivoque de la réalité des spéculations. ”

“ Les mathématiques pures, qui sont surtout une science du raisonnement, ne sont donc, pas plus que la dialectique, le développement du principe d'identité, comme l'a dit un élégant, écrivain, qui me paraît avoir été injuste envers elles. Il leur donne, à mon avis, trop et trop peu. Il leur accorde trop quand il voit, dans ce que les mathématiciens appellent des infinis de divers ordres, ce la seule image qui " jette quelque jour sur cette situation de l'esprit humain, " placé entre la nécessité de supposer un commencement à " l'univers et l'impossibilité de l'admettre. ”

“ Le développement des sciences mathématiques, en donnant à une partie essentielle des pensées suivies une rigueur et une impersonnalité étonnantes, a bien pu amener les premiers métaphysiciens de l’âge moderne à concevoir toute méditation sur ce modèle, à croire que les décisions portant sur les valeurs non scientifiques devaient imiter les découvertes de la science la plus exacte. Une généralisation imprudente conduisit à l’illusion de la raison éternelle et à l’amour de la pureté mathématique. ”

“ Enfin l'application des mathématiques aux problèmes de la physique a révolutionné les fondements et l'exposition de cette science.
Une pareille extension peut, à juste titre, être considérée comme ouvrant une nouvelle période dans l'histoire, ; un futur écrivain, qui envisagerait l'histoire comme nous l'avons fait, aurait tout lieu de traiter les mathématiques des XVIIe et XVIIIC siècles comme formant une période distincte, et de considérer le XIX siècle comme l'origine d'une nouvelle période. ”

“ S’ils voulaient s’en interdire une seule à raison de sa singularité apparente, comme elle est toujours susceptible de se présenter d’après certaines suppositions particulières sur les valeurs des quantités considérées, ils seraient contraints d’altérer la généralité de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans chaque raisonnement, une suite de distinctions vraiment étrangères, ils feraient perdre à l’analyse mathématique son principal avantage caractéristique, la simplicité et l’uniformité des idées qu’elle combine. ”