Évariste Galois

“ Les lignes qui suivront, les quelques fragments ou notes que je pourrai publier n’ajouteront rien à la gloire de Galois : elles ne sont qu’un hommage rendu à cette gloire dont l’éclat n’a fait que grandir depuis la publication de Liouville.
Cette publication a été faite de la façon la plus judicieuse ; mais, soixante ans plus tard, on est tenu à moins de réserve. Les mathématiciens s’intéresseront toujours à Galois, à l’homme et à ses écrits : il est de ceux dont on voudrait tout savoir.
Je m’occuperai tout d’abord des œuvres posthumes et des papiers qui s’y rapportent. ”

“ Mais quand les coefficients d’une équation ne seront pas tous numériques et rationnels, alors il faudra entendre par diviseur rationnel un diviseur dont les coefficients s’exprimeraient en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.
Il y a plus : on pourra convenir de regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle d’un certain nombre de quantités déterminées, supposées connues a priori. Par exemple, on pourra choisir une certaine racine d’un nombre entier, et regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle de ce radical. ”

“ On traite à la fois toutes les intégrales dont la différentielle est une fonction de la variable et d’une même fonction irrationnelle de la variable, que cette irrationnelle soit ou ne soit pas un radical, qu’elle s’exprime ou ne s’exprime pas par des radicaux.
On trouve que le nombre des périodes distinctes de l’intégrale la plus générale relative à une irrationnelle donnée est toujours un nombre pair. ”

“ Lorsqu’une fonction des racines ne change pas de valeur numériques par une certaine substitution opérée entre les racines, elle est dite invariable par cette substitution. On voit qu’une fonction peut très bien être invariable par telle ou telle substitution entre les racines, sans que sa forme l’indique. Ainsi, si est l’équation proposée, la fonction , ( étant une fonction quelconque, ... les racines) sera une fonction de ces racines invariable par toute substitution entre les racines, sans que sa forme l’indique généralement. ”

“ On peut prouver que, réciproquement, si l’une des deux racines d’une équation du second degré est positive et plus grande que l’unité, et que l’autre soit comprise entre et , ces racines seront exprimables en fractions continues immédiatement périodiques. En effet, soit toujours une fraction continue immédiatement périodique quelconque, positive et plus grande que l’unité, et la fraction continue immédiatement périodique qu’on en déduit, en renversant la période, laquelle sera aussi, comme elle, positive et plus grande que l’unité. ”

“ Parmi les permutations d’un groupe, il y en a toujours une où une lettre donnée occupe une place donnée, et, si l’on ne considère dans un groupe irréductible que les permutations où une même lettre occupe une même place et qu’on fasse abstraction de cette lettre, les permutations qu’on obtiendra ainsi formeront un groupe. ”

“ Ainsi, quand on adjoint à l’équation
où est premier, une racine d’une des équations auxiliaires de M. Gauss, cette équation se décompose en facteurs et devient, par conséquent, réductible.
Les substitutions sont le passage d’une permutation à l’autre.
La permutation d’où l’on part pour indiquer les substitutions est toute arbitraire, quand il s’agit de fonctions ; car il n’y a aucune raison pour que, dans une fonction de plusieurs lettres, une lettre occupe un rang plutôt qu’un autre. ”

“ Si maintenant vous me donnez une équation que vous aurez choisie à votre gré et que vous desiriez connaître si elle est ou non soluble par radicaux, je n’aurai rien à y faire que de vous indiquer le moyen de répondre à votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot les calculs sont impraticables. ”

“ J’observerai d’abord que, pour résoudre une équation, il faut successivement abaisser son groupe jusqu’à ne contenir plus qu’une seule permutation. Car, quand une équation est résolue, une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand elle n’est invariable par aucune permutation. ”

“ Les calculs algébriques ont d’abord été peu nécessaires au progrès des Mathématiques, les théorèmes fort simples gagnaient à peine à être traduits dans la langue de l’analyse. Ce n’est guère que depuis Euler que cette langue plus brève est devenue indispensable à la nouvelle extension que ce grand géomètre a donnée à la Science. Depuis Euler les calculs sont devenus de plus en plus nécessaires et aussi [4] de plus en plus difficiles à mesure qu’ils s’appliquaient à des objets de science plus avancés. ”

“ Il est aisé de voir que, quand le groupe d’une équation n’est susceptible d’aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le même nombre de permutations. ”

“ Mais, la plupart du tems, dans les applications de l’analyse algébrique, on est conduit à des équations dont on connaît d’avance toutes les propriétés : propriétés au moyen desquelles il sera toujours aisé de répondre à la question par les règles que nous exposerons. Il existe, en effet, pour ces sortes d’équations, un certain ordre de considérations Métaphysiques qui planent sur tous les calculs, et qui souvent les rendent inutiles. Je citerai, par exemple, les équations qui donnent la division des fonctions Elliptiques et que le célèbre Abel a résolues. ”

“ C’est surtout dans la théorie des permutations, où l’on a sans cesse besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux, comme je vais essayer d’en donner en deux mots une idée. ”

“ Nous les présenterons seules, sans complications d’exemples et de hors-d’œuvre, qui chez les analystes noyent d’ordinaire les conceptions générales. Nous les exposerons surtout avec bonne foi, indiquant sans détour la voie qui nous y a conduit, et les obstacles qui nous ont arrêté. Car nous voulons que le lecteur soit aussi instruit que nous des matières que nous aurons traitées. Quand ce but aura été rempli, nous aurons conscience d’avoir bien fait, sinon par le profit qu’en retirera directement la science, du moins par l’exemple donné, d’une bonne loi qu’on n’a pas trouvé jusqu’à ce jour. ”

“ Par exemple, si est une équation, est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes. ”

“ Un homme qui a une idée peut choisir entre, avoir, sa vie durant, une réputation colossale d’homme savant, ou bien se faire une école, se taire et laisser un grand nom dans l’avenir. Le premier cas a lieu s’il pratique son idée sans l’émettre, le second s’il la publie. Il y a un troisième moyen juste milieu entre les deux autres. C’est de publier et de pratiquer, alors on est ridicule.
↑ Ce qui suit est un fragment du discours préliminaire destiné par Galois à être placé en tête du Mémoire sur la théorie des équations qu’il avait résolu de publier. ”

“ La forme générale des lettres sera
étant des indices qui peuvent prendre chacun les valeurs .
On voit aussi, par la manière dont nous avons procédé, que, dans le groupe , toutes les substitutions seront de la forme
puisque chaque indice correspond à un système de lettres conjointes.
Si n’est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe de permutations de l’un quelconque des systèmes de lettres conjointes, comme sur le groupe , en remplaçant chaque indice par un certain nombre de nouveaux indices, et l’on trouvera , et ainsi de suite ; d’où enfin , étant un nombre premier. ”

“ Le but que l’on s’est proposé est de déterminer des caractères pour la résolubilité des équations par radicaux. Nous pouvons affirmer qu’il n’existe pas dans l’analyse pure de matière plus obscure et peut-être plus isolée de tout le reste. ”

“ La fonction qui, dans le cas des équations solubles par radicaux, doit avoir une valeur rationnelle, dépendra, en général, d’une équation de degré , à laquelle il faudra, par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles. ”

“ Ce qu’on entend par l’ensemble des permutations d’une équation.
Du cas où cet ensemble constitue un groupe.
Il n’y a qu’une circonstance où nous ayons reconnu que cela doit nécessairement avoir lieu. C’est celui où toutes les racines sont des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles. Démonstration.
C’est improprement, etc. Du reste, tout ce que nous avons dit est applicable à ce changement près. 1o. théorème. Si une équation jouit de la propriété énoncée, toute fonction des racines invariable par les substitutions conjuguées sera connue, et réciproquement. ”

“ En présence d’une vie si courte et si tourmentée, l’admiration redouble pour le génie prodigieux qui a laissé dans la Science une trace aussi profonde ; les exemples de productions précoces ne sont pas rares chez les grands géomètres, mais celui de Galois est remarquable entre tous. Il semble, hélas ! que le malheureux jeune homme ait tristement payé la rançon de son génie. ”

“ Dans des sujets moins abstraits, dans les objets d’art, il y aurait un profond ridicule à faire précéder un ouvrage de critique par ses propres œuvres : ce serait avouer par trop naïvement ce qui est presque toujours vrai au fond, que l’on se prend pour le type auquel on rapporte les objets pour les juger : mais ici, il ne s’agit pas d’exécution, il s’agit des idées les plus abstraites qu’il soit donné à l’homme de concevoir ”

“ Et d’abord il ne peut s’abaisser plus bas que , puisqu’une équation de degré moindre que ne peut avoir pour facteur dans le nombre des permutations de son groupe.
Voyons donc si l’équation de degré , dont les racines s’indiquent en donnant à toutes les valeurs, y compris l’infini, et dont le groupe a pour substitutions
étant un carré, peut s’abaisser au degré . ”

“ Ainsi on n’a rien retrouvé concernant la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes ; on voit seulement qu’il s’était livré la plume à la main à une étude approfondie de vos Ouvrages. Quant à la théorie des équations, M. Liouville et d’autres géomètres que j’ai consultés affirment que son Mémoire, si durement repoussé par M. Poisson, contient les bases d’une doctrine très féconde et une première application importante de cette doctrine. « Ce travail, me disent-ils, assure pour toujours une place à votre frère dans l’histoire des Mathématiques. » ”

“ Dans plusieurs domaines, celles-ci ne sont pas toujours faciles à trouver, et l’on pourrait citer, dans les Mathématiques modernes, plus d’une théorie confinée, si j’ose le dire, dans sa trop grande généralité ; au point de vue artistique, qui joue un rôle capital dans les Mathématiques pures, rien n’est plus satisfaisant que le développement de ces grandes théories, cependant de bons esprits regrettent cette tendance, qui a peut-être ses dangers. On ne peut, pour Galois, émettre un pareil regret ”

“ La fin de la ligne est indéchiffrable : après suggéré, il y a des mots, l’un au-dessus de l’autre, qui sont biffés, peut-être cette surmonté de la pensée, puis, dans la partie la plus usée du papier, assertion ou analyse, ou autre chose, et enfin, plus bas, je crois lire que je dois. ”

“ Le rayon de courbure d’une courbe en l’un quelconque de ses points est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’intersection du plan normal au point avec le plan normal consécutif, comme il est aisé de s’en assurer par des considérations géométriques. ”

“ Quiconque n’est pas envieux ou a de l’ambition a besoin d’une hiérarchie factice pour vaincre l’envie ou les obstacles.
Jusqu’à ce qu’un homme ait dit : la science c’est moi, il doit avoir un nom à opposer à ceux qu’il combat. ”

“ On sait qu’après avoir cru trouver la résolution des équations (générales) du cinquième degré [3] , ce géomètre a démontré l’impossibilité de cette résolution. Mais, dans le mémoire allemand publié à cet effet, l’impossibilité en question n’est prouvée que par des raisonnements relatifs au degré des équations auxiliaires et à l’époque de cette publication, il est certain qu’Abel ignorait les circonstances particulières de la résolution par radicaux. ”

“ Ainsi, pour chaque nombre de la forme , on pourra former un groupe de permutations tel, que toute fonction des racines invariable par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle quand l’équation de degré sera primitive et soluble par radicaux. ”

“ Si l’équation en est de la forme , et que les racines de l’unité se trouvent au nombre des quantités précédemment adjointes, les groupes dont il est question dans le Théorème II jouiront, de plus, de cette propriété que les substitutions de lettres par lesquelles on passe d’une permutation à une autre dans chaque groupe soient les mêmes pour tous les groupes. ”

“ C’est à ce besoin de combattre un homme par un autre homme, un siècle par un autre siècle, qu’on doit attribuer les réactions littéraires ou scientifiques, qui ne sont pas de longue durée, Aristote, Ptolémée, Descartes, Laplace. ”

“ En effet on conçoit qu’un esprit qui aurait puissance pour percevoir d’un seul coup l’ensemble des vérités mathématiques non pas à nous connues, mais toutes les vérités possibles, pourrait les [10] déduire régulièrement et comme machinalement de quelques principes combinés par des méthodes uniformes ; alors plus d’obstacles, plus de ces difficultés que le savant [rencontre dans ses explorations [11] ] . ”

“ Le théorème relatif à l’inversion du paramètre et de l’argument dans les intégrales de troisième espèce est nettement indiqué, ainsi que les relations entre les périodes des intégrales abéliennes ; Galois parle aussi d’une généralisation de l’équation classique de Legendre, où figurent les périodes des intégrales elliptiques, généralisation qui l’avait probablement conduit aux importantes relations découvertes depuis par Weierstrass et par M. Fuchs. Nous en avons dit assez pour montrer l’étendue des découvertes de Galois en Analyse ”

“ Une concurrence fâcheuse, une rivalité dégradante en ont été les principaux fruits. Il n’est pourtant pas difficile de reconnaître dans ce fait la preuve que les savants ne sont pas plus que d’autres faits pour l’isolement, qu’eux aussi appartiennent à leur époque et que tôt ou tard ils décupleront leurs forces par l’association. Alors que de temps épargné pour la science !
Beaucoup de questions d’un genre nouveau occupent maintenant les analystes. C’est à découvrir [un lien entre ces questions que nous [16] ] attacherons
Tout voir, tout entendre, ne perdre aucune idée. ”

“ J’ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations qui dérivent de et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d’être du même degré. En faisant donc
,
on en conclura . Mais est premier et ; donc on a , d’où , et enfin
.
Ce qu’il fallait démontrer.
(J. Liouville.) Assurément, en rédigeant cette note, Liouville se conformait au précepte d’être « transcendantalement clair » qu’il a rappelé dans l’avertissement aux Œuvres mathématiques de Galois. ”