Évariste Galois

“ Parmi les permutations d’un groupe, il y en a toujours une où une lettre donnée occupe une place donnée, et, si l’on ne considère dans un groupe irréductible que les permutations où une même lettre occupe une même place et qu’on fasse abstraction de cette lettre, les permutations qu’on obtiendra ainsi formeront un groupe. ”

“ Nous les présenterons seules, sans complications d’exemples et de hors-d’œuvre, qui chez les analystes noyent d’ordinaire les conceptions générales. Nous les exposerons surtout avec bonne foi, indiquant sans détour la voie qui nous y a conduit, et les obstacles qui nous ont arrêté. Car nous voulons que le lecteur soit aussi instruit que nous des matières que nous aurons traitées. Quand ce but aura été rempli, nous aurons conscience d’avoir bien fait, sinon par le profit qu’en retirera directement la science, du moins par l’exemple donné, d’une bonne loi qu’on n’a pas trouvé jusqu’à ce jour. ”

“ Si maintenant vous me donnez une équation que vous aurez choisie à votre gré et que vous desiriez connaître si elle est ou non soluble par radicaux, je n’aurai rien à y faire que de vous indiquer le moyen de répondre à votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot les calculs sont impraticables. ”

“ Les calculs algébriques ont d’abord été peu nécessaires au progrès des Mathématiques, les théorèmes fort simples gagnaient à peine à être traduits dans la langue de l’analyse. Ce n’est guère que depuis Euler que cette langue plus brève est devenue indispensable à la nouvelle extension que ce grand géomètre a donnée à la Science. Depuis Euler les calculs sont devenus de plus en plus nécessaires et aussi [4] de plus en plus difficiles à mesure qu’ils s’appliquaient à des objets de science plus avancés. ”

“ Mais, la plupart du tems, dans les applications de l’analyse algébrique, on est conduit à des équations dont on connaît d’avance toutes les propriétés : propriétés au moyen desquelles il sera toujours aisé de répondre à la question par les règles que nous exposerons. Il existe, en effet, pour ces sortes d’équations, un certain ordre de considérations Métaphysiques qui planent sur tous les calculs, et qui souvent les rendent inutiles. Je citerai, par exemple, les équations qui donnent la division des fonctions Elliptiques et que le célèbre Abel a résolues. ”

“ Un homme qui a une idée peut choisir entre, avoir, sa vie durant, une réputation colossale d’homme savant, ou bien se faire une école, se taire et laisser un grand nom dans l’avenir. Le premier cas a lieu s’il pratique son idée sans l’émettre, le second s’il la publie. Il y a un troisième moyen juste milieu entre les deux autres. C’est de publier et de pratiquer, alors on est ridicule.
↑ Ce qui suit est un fragment du discours préliminaire destiné par Galois à être placé en tête du Mémoire sur la théorie des équations qu’il avait résolu de publier. ”

“ Ce qu’on entend par l’ensemble des permutations d’une équation.
Du cas où cet ensemble constitue un groupe.
Il n’y a qu’une circonstance où nous ayons reconnu que cela doit nécessairement avoir lieu. C’est celui où toutes les racines sont des fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles. Démonstration.
C’est improprement, etc. Du reste, tout ce que nous avons dit est applicable à ce changement près. 1o. théorème. Si une équation jouit de la propriété énoncée, toute fonction des racines invariable par les substitutions conjuguées sera connue, et réciproquement. ”

“ La fin de la ligne est indéchiffrable : après suggéré, il y a des mots, l’un au-dessus de l’autre, qui sont biffés, peut-être cette surmonté de la pensée, puis, dans la partie la plus usée du papier, assertion ou analyse, ou autre chose, et enfin, plus bas, je crois lire que je dois. ”

“ Quiconque n’est pas envieux ou a de l’ambition a besoin d’une hiérarchie factice pour vaincre l’envie ou les obstacles.
Jusqu’à ce qu’un homme ait dit : la science c’est moi, il doit avoir un nom à opposer à ceux qu’il combat. ”

“ Le but que l’on s’est proposé est de déterminer des caractères pour la résolubilité des équations par radicaux. Nous pouvons affirmer qu’il n’existe pas dans l’analyse pure de matière plus obscure et peut-être plus isolée de tout le reste. ”

“ Dans des sujets moins abstraits, dans les objets d’art, il y aurait un profond ridicule à faire précéder un ouvrage de critique par ses propres œuvres : ce serait avouer par trop naïvement ce qui est presque toujours vrai au fond, que l’on se prend pour le type auquel on rapporte les objets pour les juger : mais ici, il ne s’agit pas d’exécution, il s’agit des idées les plus abstraites qu’il soit donné à l’homme de concevoir ”

“ Ainsi on n’a rien retrouvé concernant la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes ; on voit seulement qu’il s’était livré la plume à la main à une étude approfondie de vos Ouvrages. Quant à la théorie des équations, M. Liouville et d’autres géomètres que j’ai consultés affirment que son Mémoire, si durement repoussé par M. Poisson, contient les bases d’une doctrine très féconde et une première application importante de cette doctrine. « Ce travail, me disent-ils, assure pour toujours une place à votre frère dans l’histoire des Mathématiques. » ”

“ Une concurrence fâcheuse, une rivalité dégradante en ont été les principaux fruits. Il n’est pourtant pas difficile de reconnaître dans ce fait la preuve que les savants ne sont pas plus que d’autres faits pour l’isolement, qu’eux aussi appartiennent à leur époque et que tôt ou tard ils décupleront leurs forces par l’association. Alors que de temps épargné pour la science !
Beaucoup de questions d’un genre nouveau occupent maintenant les analystes. C’est à découvrir [un lien entre ces questions que nous [16] ] attacherons
Tout voir, tout entendre, ne perdre aucune idée. ”

“ On sait qu’après avoir cru trouver la résolution des équations (générales) du cinquième degré [3] , ce géomètre a démontré l’impossibilité de cette résolution. Mais, dans le mémoire allemand publié à cet effet, l’impossibilité en question n’est prouvée que par des raisonnements relatifs au degré des équations auxiliaires et à l’époque de cette publication, il est certain qu’Abel ignorait les circonstances particulières de la résolution par radicaux. ”

“ En effet on conçoit qu’un esprit qui aurait puissance pour percevoir d’un seul coup l’ensemble des vérités mathématiques non pas à nous connues, mais toutes les vérités possibles, pourrait les [10] déduire régulièrement et comme machinalement de quelques principes combinés par des méthodes uniformes ; alors plus d’obstacles, plus de ces difficultés que le savant [rencontre dans ses explorations [11] ] . ”

“ Mais il n’en est pas ainsi ; si [12] la tâche du savant est plus pénible et partant plus belle, la marche de la science est moins régulière [ : ] la science progresse par une série de combinaisons où le hazard ne joue pas le moindre rôle ; sa vie est brute et ressemble à celle des minéraux qui croissent par juxtàposition. Cela s’applique non seulement à la science telle qu’elle résulte des travaux d’une série de savants, mais aussi aux recherches particulières à chacun d’eux. En vain les analystes voudraient-ils se le dissimuler [13] : ils ne déduisent pas, ils combinent, ils comparent [14] ”

“ Le cahier est du format 20 × 15 ; on lit sur la couverture : Notes de mathématiques, quatorze pages, seulement, sont utilisées. On trouve dans ce cahier et, parfois, sur la même page, deux sortes d’écriture : pour l’une, il n’y a pas de doute, c’est bien celle de Galois, avec son allure habituelle. L’autre, beaucoup moins lisible, est droite. Je me suis demandé si Galois ne s’était pas amusé à déformer son écriture ; mais M. Paul Dupuy, après un examen attentif des deux écritures, a constaté qu’elles révélaient des habitudes très différentes : elles ne sont pas de la même personne. ”

“ Il semble que les idées coûtent déjà trop à l’auteur pour qu’il se donne la peine de les lier et que son esprit épuisé par les conceptions qui sont la base de son ouvrage, ne puisse enfanter une même pensée qui préside à leur ensemble. ”

“ C’est à ce besoin de combattre un homme par un autre homme, un siècle par un autre siècle, qu’on doit attribuer les réactions littéraires ou scientifiques, qui ne sont pas de longue durée, Aristote, Ptolémée, Descartes, Laplace. ”

“ Ces trois lignes sont biffées avec un soin particulier, Galois est en possession de la démonstration générale, sous la forme simple et définitive ; il est joyeux ; il couvre de hachures les seize lignes puis les trois lignes dont il n’a plus besoin. Vient ensuite la vraie démonstration, les deux dernières lignes de la page 38 des Œuvres et le commencement de la page 39, jusqu’à : « je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriété énoncée ». Puis l’indication, en marge, à demi déchirée : mettre ici la partie sautée, et les lignes 24, 25 de la page 39 des Œuvres. ”

“ Ces brouillons sont disposés d’une façon assez singulière : ils comportent des phrases entières, puis des lignes, blanches au milieu avec un mot au commencement et un mot à la fin : ces mots sont souvent illisibles, tant parce qu’il est impossible de leur attribuer un sens que par suite des ratures : celles-ci vont de haut en bas ; il en est ainsi dans plusieurs des manuscrits de Galois ; ici, elles semblent faites avec une barbe de plume, ou un bout de bois, qu’il aurait trempé dans l’encre ”

“ Quand la concurrence c’est-à-dire l’égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s’associera pour étudier, au lieu d’envoyer aux académies des paquets cachetés, on s’empressera de publier les moindres observations, pour peu qu’elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». ”

“ J’ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations qui dérivent de et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d’être du même degré. En faisant donc
,
on en conclura . Mais est premier et ; donc on a , d’où , et enfin
.
Ce qu’il fallait démontrer.
(J. Liouville.) Assurément, en rédigeant cette note, Liouville se conformait au précepte d’être « transcendantalement clair » qu’il a rappelé dans l’avertissement aux Œuvres mathématiques de Galois. ”

“ On peut prouver 1o que s’il y a dans le groupe G et hors du groupe L, quelque substitution S qui transforme l’une dans l’autre quelques substitutions du groupe K, cette substitution sera de termes, étant un diviseur de .
D’après cela, comme le nombre de permutations du groupe G est
d’après le lemme I, on devra avoir [25]
D’où l’on voit que doit être un nombre premier [26] . (Lemme II)
On en déduit quand , puisque et sont premiers. ”

“ Du fait bien constaté que les efforts des géomètres les plus avancés ont pour objet l’élégance on peut donc conclure avec certitude qu’il devient de plus en plus nécessaire d’embrasser plusieurs opérations à la fois, parce que l’esprit n’a plus le tems de s’arrêter aux détails. ”

“ Nous pouvons donc passer à la solution du problème général de la section des transcendantes de première classe, puisque, toute fraction étant la somme de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de nombres premiers, il suffit d’apprendre à diviser ces transcendantes en parties égales. ”

“ Je dois, en passant, signaler, page 34 des Œuvres, l’omission de deux lignes, qui figurent dans le manuscrit et dans le texte de Liouville ; elles devraient terminer l’avant-dernier alinéa :
..., en général par quantité rationnelle une quantité qui s’exprime en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.
Dans la marge de la troisième page du manuscrit, en face du lemme III (page 36) , se trouve la note au crayon que voici :
La démonstration de ce lemme n’est pas suffisante ; mais il est vrai, d’après le no 100 du Mémoire de Lagrange, Berlin, 1775. ”

“ Si non étant infini et nul pour , en faisant croître depuis jusqu’à , les valeurs de pour devront être infinies à partir d’une certaine limite. Soit cette limite. ne sera pas infini pour mais le sera, quelque petite que soit la quantité . Donc ne saurait être nul pour . La proposition est donc démontrée.
De cette proposition ainsi « démontrée », Galois conclut qu’une fonction , qui ne devient pas infinie pour , peut se mettre sous la forme
,
où les exposants positifs vont en croissant, l’exposant étant aussi grand qu’on veut et la fonction n’étant ni nulle ni infinie pour . ”

“ Si est une des racines, il est clair que toutes les autres seront
Posons donc en général
en faisant , nous en déduirons généralement
d’où
Or il est aisé de tirer de cette égalité une expression rationnelle de en fonction de et de . Car si est l’arc correspondant à l’un quelconque des sinus qui satisfont à l’équation pour avoir en fonction de , il suffit de chercher le plus grand commun diviseur entre les équations et étant le cosinus de la transcendante fois plus grande que celle dont le cosinus est . On trouverait de même en fonction rationnelle de . ”