Cosinus

“ Jusqu'ici nous- avons développé les cosinus et les sinus des angles multiples en puissances des cosinus ou des sinus de l'angle simple. On peut chercher réciproquement à développer les puissances des cosinus ou sinus de l'angle simple en cosinus ou sinus des angles multiples, et cette transformation, qui est toujours possible, est un des plus grands avantages de l'algorithme des sinus et cosinus, par la facilité qu'elle donne de passer des fonctions primitives aux fonctions dérivées, et de revenir de celles-ci aux primitives. ”

“ Ce serait être injuste à l’égard d’un génie de premier ordre comme Laplace que d’indiquer un côté faible de ses œuvres sans mettre en lumière un grand nombre de traits de génie qui l’ont placé de pair avec Newton, sauf la priorité du génie anglais. C’est précisément des lois de cosinus, qui règlent le ciel entier, que Laplace a tiré les belles vérités qu’il nous a révélées relativement à la stabilité du système du monde. Le cosinus, cette transcendante régulatrice de l’univers nous offre, quand on l’étudie mathématiquement, une valeur qui ne dépasse jamais une certaine quantité fixe. ”

“ Ainsi l'on aura en général, pour un angle quelconque i,
formules connues, et dont la découverte est due à Newton. Nous venons de considérer les sinus et les cosinus comme fonctions des angles. On peut réciproquement considérer les angles comme fonctions de leurs sinus ou cosinus, et en cherchant les fonctions dérivées. On désigne communément cette fonction par les mots angle sin ou angle cos, placés avant le sinus ou le cosinus, comme caractéristiques. Soit
f (x) = angle sin x, on aura sin f (x) = x;
mettant x + i pour x, et supposant
par les formules trouvées plus haut ”

“ En soumettant celles-ci à l’analyse ; on trouve que les marées totales des sysigies des équinoxes, sont plus grandes que celles des sysigies des solstices, dans le rapport du rayon, au quarré du cosinus de la déclinaison du soleil ou de la lune vers les solstices : on trouve de plus, que les marées totales des quadratures des solstices surpassent celles des quadratures des équinoxes, dans un plus grand rapport que celui du rayon, au quarré du cosinus de la déclinaison de la lune, vers les quadratures des équinoxes. ”

“ Dans ce dernier cas, les paramètres différentiels étant censés connus, les Cosinus peuvent s'obtenir par l'intégration de systèmes successifs analogues à celui qui répond au problème de la rotation d'un corps. Il convient de noter une remarque permettant, moyennant une certaine intégration, de déduire d'un système particulier triplement orthogonal un nouveau système renfermant des fonctions arbitraires. Enfin la théorie de la déformation des surfaces est rattachée au même groupe fondamental. ”

“ Sommation de diverses séries de sinus et de cosinus d’arcs multiples ; par MM. Pagani Michel, M...s, Stein, C. G. et Querret.
Solution d’un paradoxe que présente le développement des puissances des cosinus en série ; par M. Crelle.
Sommation de diverses séries de sinus et de cosinus d’arcs multiples ; par M. Querret.
Essai sur la sommation d’une classe très-générale de séries de sinus et de cosinus d’arcs multiples ; par M. Querret.
Sur la sommation de deux séries de sinus et de cosinus d’arcs multiples ; par M. Querret. ”

“ On a inscrit les logarithmes des sinus en colonne vis-à-vis le nombre de degrés et de minutes de l’angle correspondant placé dans une autre colonne ; on a fait la même chose pour le cosinus, la tangente et la cotangente. ”

“ Les observations confirment avec une précision remarquable, ces divers résultats de la théorie.
Les marées de la seconde espèce, dont la période est d'un jour, sont proportionnelles, au produit du sinus, par le cosinus de la déclinaison des astres ; elles sont nulles, quand
les astres sont dans l'équateur, et elles croissent à mesure qu'ils s'en éloignent. ”

“ Lorsque le sinus d’un arc a est donné en même temps que l’arc, il n’y a plus qu’une des quatre solutions qui convienne pour le sinus et le cosinus de la moitié de cet arc. Le choix ne présente aucune difficulté. ”

“ Nous ne pousserons pas plus loin le calcul sans introduire une hypothèse restrictive. D'après une équation établie tout à l'heure, 1 — (jr—A2) est égal à dx c'est-à-dire au cosinus de l'angle que la tangente à la courbe fait avec l'horizontale. Si la courbe est assez surbaissée, le cosinus différera de très-peu de 1, et ITT (j2 - h2) sera une petite quantité dont il suffira de conserver la première puissance dans les calculs. ”

“ Maintenant nous observerons que, pour toutes les valeurs de qui donnent le même signe à la réalité, ou généralement la forme des racines différentes de est absolument indépendante de la valeur de même, de manière qu’on peut mettre une valeur quelconque pour par exemple, pour un cosinus positif et pour un cosinus négatif, sans passer d’une racine réelle a une racine imaginaire, ou généralement de la forme d’une racine quelconque, correspondant à une certaine valeur de à une autre forme. ”

“ Solution. D'un point quelconque pris au-dedans de la pyramide proposée, concevons une droite perpendiculaire sur chacune des faces. Il est évident que ces perpendiculaires formeront deux à deux des angles qui seront les supplémens de ceux que comprennent les faces sur lesquelles elles tombent. Or on sait que le cosinus d'un angle est toujours égal au cosinus de son supplément pris négativement. Donc, pour appliquer la formule trouvée dans le problème précédent aux six angles formés par les faces de la pyramide , il n'y a qu'à changer le signe de chacun des cosinus qui entrent dans la formule ”

“ TRIGONOMÉTRIE. Discussion des formules qui donnent les sinus et cosinus
de la moitié d’un angle en fonction soit du cosinus
soit du sinus de cet angle ;
Par M. L. C. Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique. ”

“ Quand une force se partage entre deux directions, la loi de la distribution de la force suivant les deux nouveaux chemins est encore celle du cosinus ou plutôt des cosinus des deux angles que font ces deux nouvelles directions avec la force primitive. ”

“ En séparant, en effet, sur la droite des deux facteurs un nombre de chiffres décimaux suffisant pour les rendre l’une et l’autre moindres que l’unité, on pourra les considérer comme les cosinus tabulaires des deux arcs que l’on trouvera dans les tables. Cherchant donc, dans les mêmes tables, les cosinus de et de leur demi-somme, en y rétablissant la virgule où il convient, sera le produit cherché.
Rien n’est plus facile que d’étendre cette méthode à la recherche immédiate du produit de trois ou d’un plus grand nombre de facteurs ; on a, en effet,
et ainsi de suite. ”

“ Ainsi le sinus et la tangente sont positifs au-dessus du diamètre AA' et négatifs au-dessous. Le cosinus' et la cotangente, positifs à droite du diamètre BB', sont négatifs à gauche. La sécante et la cosécante sont positives lorsqu'elles passent par l'extrémité de l'arc, et négatives dans le cas contraire.
Ceci posé, on reconnaît à l'inspection des figures 3, 4 et 5 que les seules lignes positives sont dans le second quadrant, le sinus et la cosécante dans le troisième quadrant, la tangente et la cotangente et
dans le quatrième, le cosinus et la sécante. ”

“ En effet, les forces perturbatrices se présentent sous cette forme (forme procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de la longitude vraie) ou du moins elles y sont facilement réductibles; pour les réduire à une autre forme, par exemple à des séries de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, il faudrait, à cause des inégalités considérables du mouvement lunaire provenant soit de sa partie elliptique, soit des perturbations, porter fort loin les approximations, ce qui compliquerait l'analyse et rendrait les approximations moins convergentes. ”

“ La démonstration a été donnée sur une figure où la somme des arcs a et b est moindre que 90°, et l’arc b plus petit que l’arc a. Elle se répéterait de la même manière si cette somme était supérieure à 90°, et si l’arc b était plus grand que l’arc a. Il est seulement nécessaire de bien faire attention au signe que doit prendre le cosinus. ”

“ L'arc continuant de croître, la sécante repasse périodiquement par les mêmes valeurs..
La remarque relative aux tangentes des arcs terminés en B et B' est applicable à leurs sécantes.
8. Cosinus, cotangente, cosécante. L'amplitude des variations de ces trois lignes est là même que pour les trois correspondantes,.sinus, tangente et sécante:
Ainsi, l'arc croissant: de Oà- de à nf de rcà de 32 à 2w et' au delà
Le cosinus varie de 1 à 0, de 0-1,'de-1 à à 0, de 0 à 1, etc. ̃
La cotangente varie de -œ à 0, de 0 à oo, de + oo au de 0 à oo, etc. ”

“ Jamais le crayon de Christophe n'a eu plus d'entrain, et ses légendes plus d'esprit uni à plus de bon sens.
L'Idée fixe du Savant Cosinus, texte et dessins par CURISTOPUE.
Le savant et distrait Cosinus, qui est le proche parent de l'illustre Fenouil/anl, est jaloux des admirables voyages qui ont fait la gloire de ce Globe-trotter malgré lui. Il rêve, lui aussi, de faire le tour du monde, ce qui lui sera bien plus facile qu'à son cousin, car il emploiera les dernières et les plus merveilleuses inventions de la science. ”

“ Au moyen de ces données, on trouvera facilement les logarithmes des sinus et cosinus pour chaque minute , en divisant la différence par quinze. Le quotient sera la différence pour chaque minute et en le Soit le triangle rectangle ABC fig. 7. Si du point B , comme centre et d'un rayon quelconque BG, supposé égal au rayon des tables, on décrit l'arc de cercle DG, que du point G on abaisse la perpendiculaire GE sur le côté AB , et qu'au point D , on élève la perpendiculaire DE , on aura GE qui sera le sinus de l'angle B. BE en sera le cosinus et FD en sera la tangente. ”

“ Il est clair que les angles du triangle pourraient être déterminés au moyen des formules qui donnent les sinus ouïes cosinus de leurs moitiés, mais les formules des tangentes sont préférables à un double titre. D'abord comme nous l'avons vu (40) un angle est mieux déterminé par sa tangente que par son sinus ou son cosinus ensuite les formules des tangentes n'exigent l'emploi que de quatre logarithmes, tandis qu'il faut en chercher six si l'on emploie les formules des sinus, et sept, celles des cosinus. ”

“ Dans chaque terme périodique, les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes ont pour coefficients des séries simples dont les termes s'expriment également sous forme finie et sont encore algébriques par rapport aux grands axes, mais deviennent transcendants par rapporl aux excentricités. ”

“ Son sinus est , sa tangente est , sa sécante est , son cosinus est , sa cotangente est , et sa cosécante est .
Si on désigne par a l’arc , l’arc sera égal à , et, d’après l’égalité des triangles rectangles de la figure, on trouve facilement
2o Soit l’arc et .
Son sinus est , sa tangente est , sa sécante est , son cosinus est , sa cotangente est , sa cosécante est .
Comme l’arc est égal à l’arc , l’arc est égal à , et on a
3o Si à un arc moindre que on ajoute un nombre entier de circonférences, le nouvel arc se terminera au même point que le premier ”

“ Le cosinus de l'inclinaison des tangentes à l'hélice décrite, dans le mouvement absolu, sur l'axe de rotation sera :
Or, à mesure que w2r2 se rapprochera de 2eH, la vitesse relative u s'approchera de o, la vitesse absolue s'approchera de wr; le cosinus de l'inclinaison de l'hélice décrite, dans le mouvement absolu sur l'axe, s'approchera de o, et cet angle de go". Ainsi donc, l'hélice décrite se raccourcira
de plus en plus, et se confondra , à la limite, avec la circonférence de rayon r. ”

“ Supposons par exemple que l'on donne cos a=m, on tirera des formules (1) , (2) , (3) , (4) , (5) les valeurs suivantes:
On obtient ainsi une seule valeur pour la sécante, et deux valeurs égales et de signes contraires pour chacune des autres lignes. Ceci s'explique aisément, car tous les arcs correspondants à un cosinus donné (15) ont même sécante, mais parmi eux les uns ont les sinus, tangente, cotangente et cosécante positifs, et les autres ces mêmes lignes négatives. ”

“ Si l’on veut que ce cône touche extérieurement les trois cônes donnés, il faudra que l’angle que fera son axe avec l’axe de chacun d’eux soit égal à la somme de leurs angles générateurs ; ce qui donnera
Telles sont les équations qu’il faudrait combiner avec l’équation (3) , pour obtenir l’angle générateur du cône cherché, et les cosinus des angles que forme son axe avec les axes des coordonnées ; et l’on voit évidemment que le problème aurait deux solutions. ”

“ La cotangente d'un arc = 1, trouver le sinus de cet arc (B) 2. L'arc de 75° peut se partager en deux arcs dont il est possible de déterminer le sinus et le cosinus au moyen de la Géométrie calculer ces quatre lignes et s'en servir pour déterminer les sinus, cosinus et tangente de 75°. (B) 3. Etant donnés sin a et sin 6, calculer sin (a b) .
4. Etant donnés sin (a + b) et sin (a b) , trouver sin a et sin b. 5. Etant donnés cos (a -f b) et cos (a b) , trouver cos a et cos b. 0. Connaissant tang a, calculer sin et cos la. (B)
7. Calculer sans le secours des tables tg 8. ”

“ On doit en conclure que, dans les développements (4) qui procèdent suivant les cosinus et les sinus de
la somme doit être paire dans le développement de
et impaire, au contraire, dans le développement de
155.Au no 152, j’ai employé pour simplifier l’exposition et les calculs un artifice dont j’avais déjà parlé à la fin du no 140 et que j’ai rappelé au commencement du no 152. Il consiste à regarder comme du second ordre des termes qui ne contiennent les masses qu’au premier degré. ”

“ Soient désignés respectivement par les angles que forment, avec l’axe des , les droites menées du point aux points ; à l’aide de ces notations, les équations auxquelles nous venons de parvenir prendront cette forme très-simple
ce qui nous apprend que la somme des cosinus des angles formés sur une même droite quelconque, par les droites doit être zéro.
De là est facile de conclure [1] que les droites doivent être respectivement parallèles aux côtés d’un certain polygone de côtés, qui aurait tous ses côtés égaux entre eux ”