Jules Dufailly

“ Les relations fondamentales ont été obtenues en considérant un arc ayant son extrémité sur le premier quadrant. Pour prouver qu'elles sont générales, nous ferons d'abord remarquer qu'elles' sont vraies quel que soit l'arc considéré, lorsqu'on n'a pas égard aux signes des lignes trigonométriques, puisqu'il existe dans le premier quadrant un arc ayant en valeur absolue les mêmes lignes qu'un arc donné quelconque. ”

“ Ainsi le sinus et la tangente sont positifs au-dessus du diamètre AA' et négatifs au-dessous. Le cosinus' et la cotangente, positifs à droite du diamètre BB', sont négatifs à gauche. La sécante et la cosécante sont positives lorsqu'elles passent par l'extrémité de l'arc, et négatives dans le cas contraire.
Ceci posé, on reconnaît à l'inspection des figures 3, 4 et 5 que les seules lignes positives sont dans le second quadrant, le sinus et la cosécante dans le troisième quadrant, la tangente et la cotangente et
dans le quatrième, le cosinus et la sécante. ”

“ Dans un cercle dont le diamètre est égal à 2, on prend à partir du centre sur un rayon sur une longueur égale à puis par l'extrémité on.mène une corde sous quel angle doit être menée cette corde pour 'qu'elle soit égale au. rayon du cercle ? (B)
163. Un cercle a pour rayon 2m; on prolonge un rayon d'une longueur égale à 3m et l'on demande sous quel angle il faut mener' une sécante au cercle par l'extrémité du prolongement pour que la corde interceptée soit égale à 3m. ”

“ Dans le triangle BAC on connaît un côté et les deux angles adjacents, on peut donc calculer AB. On a ainsi dans le triangle rectangle ADR, l'hypoténuse et un angle aigu, ce qui permet de déterminer AD. En ajoutant la hauteur du graphomètre, on a ,là hau-
teur demandée. Le même procédé s'èmploie pour trouver la hauteur d'un édifice dont le pied est inaccessible mais se trouve de niveau avec un point à partir duquel une base peut être tracée. ”

“ PROCÉDÉS POUR RENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHMES. 41. Expressions binômes. 1° Soit proposé de rendre calculable par logarithmes l'expression
x = a -f- b
dans laquelle a et b représentent des nombres positifs. L'expression peut s'écrire
Imaginons maintenant un arc auxiliaire tel que l'on ait
cet arc auxiliaire pourra être calculé à l'aide des tables puisqu'on aura log tg log b log a, et l'expression deviendra x a (1 + tg ?) . ”

“ Déterminer la graduation d'un arc de cercle-sachant que la zone qu'il engendre en tournant autour d'un diamètre qui le divise en deux parties égales est égale à la moitié de l'aire du cercle auquel appartient l'arc. (B)
176. A un cercle de 5? de rayon on mène d'un point extérieur deux tangentes formant entre elles un angle de 38° 42' 35" on demande de calculer à un décimètre carré près l'aire de la figure formée .par les deux tangentes et la portion de circonférence (la plus petite) comprise entre les points de contact. ”

“ Divisant membre à membre on trouve
formulé calculable par logarithmes.. On trouverait de même pour l'angle du quadrilatère la formule
2° Calcul des diagonales. Les diagonales peuvent être calculées comme éléments de triangles daiis lesquels on connaît actuellement un angle et les deux côtés qui le comprennent. On peut aussi les obtenir directement en fonction des côtés. ”

“ Lorsque l'on connaît les sinus et cosinus des arcs se succédant de 10" en 10", de 0 à 90°, on en déduit aisément l'aide des relations fondamentales (17) les autres lignes trigono- métriques de ces arcs. Comme dans les applications, on opère ordinairement au moyen des logarithmes, on. inscrit dans les -tables, non pas les lignes trigonométriques elles- mêmes, mais bien leurs .logarithmes. On ne s'est occupé que des quatre lignes sinus, cosinus, tangente et cotan-
gente qui sont les seules employées, dans les calculs numériques. ”

“ Enfin si l'angle A est aigu, la somme des racines de l'équation en c est positive, car cos A est positif èlles seront donc, toutes deux positives et par suite acceptables si leur produit b% a2 est positif, c'est-à-dire-si l'on a b > a tandis que- si ce produit est négatif, c'est-à-dire si l'on a a > b, l'une' seulement sera positive et il n'y aura qu'une solution. Lorsque A étant aigu, on a a b sin A, le radical s'annule et o prend une seule valeur b cos A qui est positive..Le triangle est alors rectangle. ”

“ Relations qui ne sont autres que les formules (1) dans lesquelles l'arc a a été augmenté d'un quadrant.
3° Les formules (1) sont -vraies pour tous les arcs positifs quelle que soit leur grandeur.
En effet, d'après ce qu'on vient d'établir, elles, restent vraies lorsqu'on ajoute à l'arc a' un quadrant, c'est-à-dire à l'arc a deux quadrants il en .serait de même si l'on ajoutait à cet arc trois,. quatre quadrants. ”

“ La cotangente d'un arc = 1, trouver le sinus de cet arc (B) 2. L'arc de 75° peut se partager en deux arcs dont il est possible de déterminer le sinus et le cosinus au moyen de la Géométrie calculer ces quatre lignes et s'en servir pour déterminer les sinus, cosinus et tangente de 75°. (B) 3. Etant donnés sin a et sin 6, calculer sin (a b) .
4. Etant donnés sin (a + b) et sin (a b) , trouver sin a et sin b. 5. Etant donnés cos (a -f b) et cos (a b) , trouver cos a et cos b. 0. Connaissant tang a, calculer sin et cos la. (B)
7. Calculer sans le secours des tables tg 8. ”

“ Trouver le maximum et le minimum de l'expression 'tg x + cotg x.
105. Pour quelle valeur de l'arc a; comprise entre 0° et 90° l'expression
• tg x + 3 cotg
est-elle minimum ? (B)
106. Calculer le sinus de l'angle formé par deux des diagonales d'un cube. (B)
107. Calculer le sinus de l'angle formé par une arête d'un tétraèdre régulier avec l'une des faces à laquelle elle n'appartient pas. ”

“ Ainsi, soit par exemple l'arc a ̃==. 300° a vaut alors 150° sin -j- a est positif et cos a est négatif. De plus en.valeur absolue on a cos a > sin– a, car en ramenant 150° au premier quadrant, on trouve 30° dont le sinus est moindre que le cosinus. (Dans le premier quadrant, le sinus est inférieur au cosinus de 0° à– ou 45° et il est plus grand que lui de _4. à –I. Enfin sin a (sin 300°) 'est négatif, de sorte que le radical V 1 sin a donne son signe. ”

“ L'arc continuant de croître, la sécante repasse périodiquement par les mêmes valeurs..
La remarque relative aux tangentes des arcs terminés en B et B' est applicable à leurs sécantes.
8. Cosinus, cotangente, cosécante. L'amplitude des variations de ces trois lignes est là même que pour les trois correspondantes,.sinus, tangente et sécante:
Ainsi, l'arc croissant: de Oà- de à nf de rcà de 32 à 2w et' au delà
Le cosinus varie de 1 à 0, de 0-1,'de-1 à à 0, de 0 à 1, etc. ̃
La cotangente varie de -œ à 0, de 0 à oo, de + oo au de 0 à oo, etc. ”

“ Tous les arcs terminés en M et M', et ceux-là seuls, ont -pour sinus OP. Nous allons déterminer les moitiés de ces.arcs. Pour cela, ayant pris le point N milie,u de l'arc positif AM, menons le diamètres NN': les points N, N' sont les extrémités des moitiés de tous les arcs terminés en M. D'un autre côté, l'arc positif AM'
vaut une demi-circonférence moins A'M' ou AM, sa moitié vaut donc un quart de circonférence moins AN. Prenant BN, = AN et menant le diamètre N, NI,, nous aurons en N,, NI, les extrémités des moitiés de tous les arcs terminés en' M'. ”

“ REMARQUE I. Lorsque l'on connaît la valeur de l'arc a dont le cosinus est donné, l'arc a est déterminé et l'on se trouve alors fixé sur les valeurs- qu'il convient de prendre pour sin et cos a. Ainsi, a valant par exemple 200°, –a vaut 100°, par suite on doit prendre pour sin a la valeur S cos a et pour cos –a la valeur S Li_îi2ÎJL REMARQUE Il. Des formules
On déduit
La double valeur de tg a en fonction de cos -a peut s'expliquér par les mêmes procédés que ceux qui viennent d'être employés pour les valeurs de sin et cos 1 a.
27. Expression de sin– a et de cos– a en fonction de sin a. En. ”

“ Divisant membre à membre les valeurs trouvées pour 1 4- tg a et 1 tg a, on trouve en remplaçant sin (45° a) par cos (45° + a) ,
T^fr^'+r
p. l-tg"
t+tga*
On trouve en opérant comme ci-dessus
ÉVALUATION DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES DE CERTAINS ARCS. 31. Si l'on se reporte à la définition du sinus, d'un arc (3) , il est aisé de reconnaître que, pour un arc compris entre 0 et it, cette ligne est égale à la moitié de la. corde qui sonstend
un arc double. ”

“ Résoudre un triângle connaissant un côtc l'angle opposé A et le rapport C des deux autres côtés.
132. Résoudre un triangle connaissant deux côtés b, c et la bissectrice de l'angle compris A.
133. Résoudre un triangle connaissant une hauteur et les angles qu'elle fait avec les côtés entre lesquels elle est comprise..
134. Résoudre un triangle connaissant une hauteur et les seg-ments qu'elle détermine sur la base.
135. Résoudre un triangle connaissant un côté a, l'angle opposé 'A et le rayon du cercle inscrit. ”

“ CD un anglé égal au supplément de >̃ la somme, des angles BCD, CBD. Le second côté DE de cet angle est le prolongement de AB. 69. Problème IV. Déterminer. le rayon d'un bassin circulaire inaccessible,
Soit (fig. 32) 0 le centre du bassin. On mène une base. horizontale AB et l'on mesure au graphomètre les angles CAB, DAB formés avec la base AB par deux directions AC, AD tangentes au bassin. Si l'on imagine menée la droite AO, on reconnaît aisément que l'angle OAC est là demi-' différence et l'angle. OAB la demi-somme des angles qu'on a
mesuyés. ”

“ Remarque II Des formules (2) on déduit que pour que deux arcs aient.même cosinus (ou même sécante) , il faut et il suffit que- leur somme ou bien leur différence soit un nombre pair de demi-circonférences.
Ce principe se démontre comme celui relatif aux arcs ayant même sinus (14. Remarque II) .
16: Tangente. Soit donnée.une tangente, positive par
Fig.il.
exemple. Menons en A au- dessus de AA' (fig. 11) la tangente AT que nous prendrons égale à la tangente donnée et traçons le diamètre MM' passant par l'extrémité T de cette tangente. ”

“ Remplaçant siu A, sin B, sin C par les quantités proportion- ne!les a, b, Ci ce qui est permis puisque la formule est homogène par ra'pport aux sinus, on a
a2 = 62+cs 2bccos A.
Un calcul semblable donnerait les deux autres relations du groupe (2) . • 48. Théorème III. Dans tout triangle rectiligne, un côté est. égal à la somme des produits des deux autres multipliés chacune par le cosinus de l'angle qu'il forme avec le premier côté. ”

“ Remarque L- On peut calculer directement a au moyen delà relation a= V 62 + c2, mais on devra alors rendre cette expression calculable par logarithmes en employant un angle auxiliaire. Le calcul de «.étant subordonné à celui de cet angle
(lequel n'est autre qu'un des angles du triangle) (*) , il.est plus simple de faire usage, comme nous. l'avons indiqué, de la formule »==̃– r– z~-
Remarque II. L'expression de la surface du triangle en fonction des données est S = RÉSOLUTION DES TRIANGLES OBLIQUANGLES. ̃ 54. Prèmier cas. ”

“ En effet, s'il en existait seulement une sixième, ces lignes pourraient être déterminées, indépendamment de l'arc auquel elles appartiennent, ce qui est contre leur définition.
18. Relations déduites des précédentes. En multipliant membre à membre les relations (2) et (4) , on obtient tg a cotg a =
d'où
De même si l'on élimine sin à et cos a dans les relations (I) , (2) , (3) , il. vient
sec2 a = 1 + tg2 a.
La même opération effectuée dans les formules (1) , (4) et (5) donne
coséc2 a = 1 -f- cotg2 a. ”

“ Il suffira d'ailleurs de s'arrêter à l'arc de 90°, car on sait qu'un arc quelconque peut toujours être ramené au premier quadrant.
33. Théorème I. Tout arc compris entre 0 et 90° est plus grand que son sinus et plus petit que sa tangente.
̃ Fig. t9.
Soit (fig. 19) AM = a un arc compris entre et 90°.
Construisons son sinus MP et sa tan- gente AT, puis joignons MA. Nous avons triangle OMA < secteur OMA '< triangle OAT ou
MPxioA < arc.MA x-OA < AT x-OA donc
sin a < a < tg a Ce qu'il fallait démontrer. ”