Charles Pierre Housel

“ Cherchons maintenant, par un développement d'une nature un peu différente, la variation du rayon de la terre suivant les diverses latitudes.
Soit R le rayon équatorial qui est maximum, comme on le sait, et soit r le rayon de la terre à une latitude quelconque λ, je dis que l'on peut, pour une première approximation, poser
formule empirique déterminée d'après l'aplatissement connu de la terre, qui est égal à 30 au pôle, pour lequel À = 90° : on prend le carré du sinus, parce que cet aplatissement est le même pour zh 90°, puisque la terre est une surface de révolution. ”

“ Mais nous devons surtout, au point de vue des calculs pratiques, nous préoccuper d'une autre espèce de difficulté qui se présente bien plus souvent et qui consiste dans la divergence des séries. Quand les termes vont en croissant, il est évidemment impossible que leur somme converge vers une quantité finie ; c'est
ce qui arrive, par exemple, dans les progressions géométriques dont la raison est plus grande que l'unité. ”

“ Seulement, pour qu'une expression algébrique ait une signification géométrique, il faut qu'elle soit homogène, c'est-à-dire que les quantités contenues, par exemple, dans le numérateur ou le dénominateur d'une fraction soient de même nature, telles que des lignes, des surfaces, des solides, ou, plus généralement, toutes ces quantités doivent être telles, que si dans chacune d'elles on fait la somme des exposants de toutes les lettres, toutes ces sommes soient égales. ”

“ Aussi le milieu du rayon de la sphère parallèle à la direction commune des rayons lumineux s'appelle foyer, parce que c'est là que se concentrent, pour les rayons voisins, la chaleur et la lumière émanées du soleil dont chaque point nous envoie des faisceaux parallèles, à cause du grand éloignement où nous en sommes. ”

“ V. Nous devons cependant observer, comme restriction à ce principe, que le calcul par logarithmes donne plus de précision quand on cherche la racine au moyen de la puissance, que si l'on cherche la puissance au moyen de sa racine. En effet, dans le premier cas, on divise le logarithme par l'indice de la puissance, ce qui diminue l'erreur, tandis que, dans le second, on multiplie par cet indice, ce qui augmente l'erreur.
VI. Dans toutes ces théories d'approximation, nous n'avons presque jamais distingué le cas où l'erreur est, soit en défaut, soit
en excès ”

“ De même, si l'on tient seulement à connaître les premiers chiffres du quotient d'une division, il pourra se faire que les derniers chiffres du dividende et du diviseur n'aient pas d'influence sur les chiffres que l'on veut obtenir, et nous sommes conduits à chercher un procédé de division abrégée qui nous dispense de considérer ces chiffres inutiles au résultat. ”

“ En général, pour reconnaîtresi une sécante réelle donne des points réels ou imaginaires, il faudra combiner son équation avec celle de l'une des coniques et voir si la droite et la courbe se rencontrent. ”

“ Du reste, on conçoit qu'on cherchera le logarithme des sinus et des cosinus naturels comme ceux des nombres ordinaires; ainsi les logarithmes des nombres étant calculés, par exemple, avec sept décimales, on aura aussi sept décimales pour les logarithmes des lignes trigonométriques.
On peut d'ailleurs développer directement en série les logarithmes des sinus et des cosinus. Pour cela, rappelons-nous que la série
est convergente, non pas seulement quand x est contenu dans le
premier quadrant, mais aussi quand x augmente ou diminue d'une ou de plusieurs circonférences. ”

“ IV. Nous rappellerons encore que le procédé de la multiplication abrégée n'empêche nullement l'usage de la simplification employée dans les calculs où l'on a beaucoup de nombres à multiplier successivement par un même facteur, et qui consiste à former d'avance le produit de ce multiplicande constant par les neuf chiffres : il suffira de prendre pour chaque chiffre multiplicateur la partie seule qui lui correspond d'après son rang , sauf à tenir compte du reste du produit pour la retenue supplémentaire. ”

“ Lorsqu'un rayon lumineux tombe sur un milieu à faces parallèles, il se dévie entre ces deux faces ; mais l'on sait que le rayon émergent est parallèle au rayon incident. Or il existe dans une lentille de forme quelconque un point tel, que tout rayon réfracté qui y passe correspond à deux rayons, l'un incident, l'autre émergent, qui sont parallèles entre eux. ”

“ Il faut donc,, en général, vérifier chaque approximation après l'avoir obtenue, c'est-à-dire reconnaître par des substitutions convenables si la racine est comprise dans les nouvelles limites que l'on a déterminées : ce qui altère beaucoup la simplicité de la méthode ; mais l'habitude du calcul peut faire éviter ces substitutions en dirigeant convenablement les approximations, et observant que les corrections sont, tantôt positives, tantôt négatives. ”

“ Si l'unité était trop petite relativement à une quantité, cette quantité aurait dans son expression un trop grand nombre de chiffres entiers : si, au contraire, l'unité était trop grande, cette quantité aurait trop de zéros avant ses chiffres significatifs. Ainsi, il vaudra mieux exprimer le diamètre de la terre en kilomètres qu'en mètres.
III. L'arithmétique parvient à donner, comme nous le verrons bientôt, une approximation absolue en fractions décimales de l'unité que l'on a choisie ”

“ Ce lieu est une surface; mais quand le milieu réfringent ou le corps réflecteur sont terminés par des surfaces de révolution, et que le point lumineux est situé sur l'axe de révolution , il est clair que la caustique sera elle-même une surface de révolution engendrée par la ligne caustique que détermine un méridien quelconque passant par l'axe; il suffira donc d'étudier cette caustique linéaire.
Chaque point de la caustique recevant au moins deux rayons
lumineux, est plus brillant que l'espace environnant, et le foyer où la caustique passe évidemment est encore plus lumineux ”

“ Les coefficients a, b, c,. peuvent être en nombre ,n + 1, et se trouveront au moyen des n + 1 valeurs connues de γ; mais cette méthode ne sera véritablement avantageuse que si l'on peut se contenter d'un petit nombre de termes. C'est ce que l'on reconnaît quand les coefficients décroissent rapidement et quand on arrive promptement à un coefficient aïsez petit pour que l'on puisse négliger les termes suivants. ”

“ D'après cela, on calculera le coefficient
dans l'équation Y = 1Jl X du nouvel axe des abscisses; on aura de même, dans l'équation Y = m' X du nouvel axe des ordonnées, le coefficient
III. Après avoir obtenu la direction des axes, il faut trouver leur grandeur. Posons
nous remarquerons d'abord que, si l'on change le signe de tous les termes de l'équation (2) , on change aussi ceux de λ et de V, mais non ceux de A2 et de B2. Si donc les valeurs que nous trouvons pour A2 et B2 sont positives, la courbe sera une ellipse; si elles sont négatives, la courbe sera imaginaire ”

“ Supposons, pour fixer les idées, que l'on demande de représenter par une courbe empirique la marche des températures pendant une journée. Les abscisses représenteront le temps, c'est-à-dire les heures de la journée depuis le moment le plus froid ( entre trois et quatre heures du matin) jusqu'à la même heure du lendemain, et les ordonnées perpendiculaires seront l'excès de la température sur cette température minimum. ”

“ Cependant comme la méthode de Newton tombe quelquefois en défaut de manière que le calculateur ne puisse en faire usage qu'avec de longs tâtonnements, il est important de la perfectionner de telle façon , que, sans rien perdre de la simplicité, elle
donne une approximation certaine, et que l'on parvienne même à resserrer la racine entre deux valeurs, l'une supérieure et toujours décroissante, l'autre inférieure et toujours croissante. ”

“ Ainsi, pour l'exemple déjà traité (I et II) , la disposition la plus avantageuse aurait consisté à avancer d'un rang vers la droite le multiplicateur renversé, ce qui aurait permis de calculer les millionièmes. On peut donc établir le principe fondamental suivant : L'erreur du produit est le plus grand des deux produits obtenus en multipliant les plus hautes unités de l'un des facteurs par les plus basses unités de l'autre. ”

“ Il est facile de construire la courbe par points. Nous avons pris OB'= 27-a; divisons la circonférence et OB' en un même nombre de parties égales, en 12 par exemple. Soit H le second point de division de la circonférence, et G le second point de division de la droite CL == OB' ; du centre G et du rayon GM = a décrivons une portion de cercle qui rencontre en M la parallèle HM à OD et à CL, je dis que M est un point de la courbe, car l'arc ME, de centre G, est évidemment égal à l'arc HO de centre C : on trouvera de même d'autres points de la courbe. ”

“ Il peut se faire que l'erreur soit assez considérable pour que le carré, le cube même-e cette correction, étant multipliés d'ailleurs par des coefficients qui peuvent être considérables, soient trop grands pour être négligés; on doit alors se servir de cette première approximation pour substituer dans l'équation une valeur déjà corrigée, afin d'avoir une seconde correction, puis une troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait obtenu l'approximation désirée. ”

“ La disposition du calcul fait voir qu'il n'est pas toujours nécessaire de déterminer théoriquement la limite de l'erreur dans une série convergente, et que l'on reconnaît combien de termes il faut calculer pour arriver à l'approximation que l'on désire, en remarquant quel est le terme qui ne donne plus de décimales de cette espèce ”

“ A quoi bon donner avec cinq ou six décimales la densité du cristal de roche ou du diamant, tandis que deux échantillons de ces minéraux diffèrent déjà l'un de l'autre dans les centièmes ? A quoi bon dans un budget de un ou deux milliards mentionner les centimes, et dans une population de trente à quarante millions d'individus mettre les dizaines ou même les unités du chiffre total ? ”

“ On comprend néanmoins qu'il ne sera pas toujours possible de satisfaire aux exigences de l'énoncé. Le di viseur n'a pas toujours autant de chiffres qu'on désire en obtenir au quotient, et si même il les a, le dividende ne peut pas toujours contenir le diviseur modifié; or nous savons qu'il n'est pas permis de remplacer les chiffres par des zéros, excepté dans les nombres exacts. Si donc ni le dividende ni le diviseur ne sont exacts, on déterminera l'approximation possible, comme il a été dit dans la solution du premier problème. ”

“ La question que nous avons résolue relativement à la forme du méridien de la terre nous fait voir de quelle extension est susceptible la méthode des coefficients indéterminés. On ne se borne pas toujours à développer une fonction suivant les puissances successives d'une variable, on introduit souvent des lignes trigonométriques ; quelquefois même les quantités indéterminées sont des exposants. ”

“ Ainsi, on obtiendra le carré d'un nombre avec la plus grande approximation possible, par la méthode abrégée, si l'on fait en sorte que ce nombre, pris comme multiplicande, recouvre le même nombre pris comme multiplicateur et renversé.
Cela posé, il peut se présenter deux cas : dans le premier, le produit a autant de chiffres que le multiplicande, comme l'indique le principe énoncé ”

“ Cela posé, imaginons qu'entre l'équation f (x, Y) = 0 de la courbe donnée et la relation
on ait éliminé y ; il restera une relation t? (x,z) = o, que l'on pourra regarder comme l'équation d'une courbe dont x serait l'abscisse et z l'ordonnée. On trouvera donc le maximum ou le minimum de z, comme on a trouvé ceux de y : ce qui donnera les points - d'inflexion. Il faudra donc chercher la dérivée de cette équation par rapport à x, et l'égaler-à zéro (*) . ”

“ Quand on connaît un nombre avec plusieurs décimales, dont on veut seulement conserver quelques-unes, il faut avoir égard à celles que l'on efface pour savoir si l'on doit augmenter d'une Unité le dernier chiffre conservé ou bien le laisser tel qu'il est. ”

“ Enfin, nous ferons observer que la développante d'une courbe fermée, telle que le cercle et l'ellipse, est une spirale indéfinie, parce que l'on peut regarder le fil comme enroulé autant de fois qu'on le voudra autour de la courbe : on peut même supposer que ce fil se déroule à droite ou à gauche ”

“ VI. La formule ε = Aδ' + Bd"
établie (113, VII) entre l'erreur du produit et celles des facteurs, ou bien, ce qui revient au même, entre l'erreur du dividende et celles du diviseur et du quotient, permet souvent de voir sans calcul la valeur et même le signe des approximations que l'on doit attendre des données de la question. ”

“ I. On sait que beaucoup de corps, tels que les métaux, le verre, etc., ont une dilatation proportionnelle, du moins entre certaines limites de température, aux degrés du thermomètre ordinaire à mercure, ou même à ceux du thermomètre à air dont les variations, quand elles sont corrigées des variations de la pression atmosphérique, paraissent tenir seulement à la quantité de chaleur et être indépendantes, à très-peu de chose près, de la nature du gaz dilaté. ”

“ Les coniques ont deux points communs; c'est ce qui arrive quand l'un des facteurs du second degré qui composent l'équation du quatrième degré dont nous avons parlé, donne deux racines réelles, tandis que l'autre donne encore deux racines imaginaires : alors une sécante passe par les points réels, et une autre sécante réelle passe encore par les deux points imaginaires ”

“ Si le point donné était l'origine, comme on peut toujours le supposer ainsi qu'on vient de le voir, l'indétermination de z=— B tiendrait à ce que les valeurs z = o, y = o mettraient z sous la forme - : on peut alors lever cette difficulté en posant o
ce qui fait disparaître les facteurs communs au numérateur et au dénominateur de z, et donne l'inclinaison de la tangente pour chaque branche en particulier, suivant la valeur de w, si l'on représente par w l'angle que fait avec l'axe des x le rayon vecteur passant par l'origine, dans le cas d'axes rectangulaires. ”