Coefficient

“ Que le coefficient d'un terme est le nombre de permutations de seconde espèce de l'exposant de la puissance, que donne la combinaison des termes de la racine dont ce terme se compose; quantité dont nous venons de donner l'expression (prob. 3) ”

“ À cela on peut répondre, d’abord, que l’idée de masse, dans la physique mathématique, n’est qu’un nombre. Si j’exprime en kilogrammètres le travail d’une force, le coefficient qui détermine le degré d’élévation est joint à un coefficient qui indique le poids. ”

“ Les coefficients a, b, c,. peuvent être en nombre ,n + 1, et se trouveront au moyen des n + 1 valeurs connues de γ; mais cette méthode ne sera véritablement avantageuse que si l'on peut se contenter d'un petit nombre de termes. C'est ce que l'on reconnaît quand les coefficients décroissent rapidement et quand on arrive promptement à un coefficient aïsez petit pour que l'on puisse négliger les termes suivants. ”

“ AFFECTÉ. Equation affectée, en Algebre, est une équation dans laquelle la quantité inconnue monte à deux ou à plusieurs degrés différens. Telle est, par exemple, l’équation , dans laquelle il y a trois différentes puissances de x ; savoir ou x. Voyez Equation.
Affecté se dit aussi quelquefois en Algebre, en parlant des quantités qui ont des coefficiens : par exemple, dans la quantité 2 a, a est affecté du coefficient 2. Voyez Coefficient. ”

“ À cet égard, en effet, à l'aide d'un coefficient chimique, empiriquement évalué pour chaque corps simple, on parvient à déterminer rationnellement, en beaucoup de cas, avec une suffisante exactitude, d'après un petit nombre de lois générales, la proportion suivant laquelle s'unissent les principes, préalablement connus, de chaque nouveau produit. ”

“ Elles est seule dans le premier terme, qui est celui où elle a le degré le plus élevé ; mais dans les autres termes où elle est à un degré moins élevé, elle se mêle avec des grandeurs connues, & alors ces grandeurs connues s’appellent Coëfficients ; Coëfficients du second terme, si elles entrent dans le second terme de l’équation, qui est celui où l’inconnue ne baisse encore que d’un degré : Coëfficients du troisième terme, si elles entrent dans le terme où l’inconnue baisse de deux degrés, &c. ”

“ S'il reste une petite différence en plus ou en moins, selon que le coefficient a été fixé trop fort ou trop faible, elle passe, en fin d'exercice, dans une des catégories du compte général des résultats économiques et solde ainsi le compte des frais à répartir. ”

“ Dans chaque catégorie d'activités économiques, seuls les coefficients jugés importants ont été étudiés avec attention. L'importance d'un coefficient doit être examinée sous deux angles. Il faut tenir compte non seulement de sa valeur, qui représente la part des effectifs de la profession dans les effectifs totaux de l'activité, mais aussi de la part de ces effectifs dans l'ensemble des effectifs de la professsion. ”

“ De la sorte, si j'obtiens la note quinze en astronomie, l'astronomie ayant pour coefficient dix, j'aurai gagné cent cinquante points; mon voisin, qui a obtenu la note vingt en dessin, ne comptera que soixante points, car la touille n'a que le coefficient trois.
Donc nous piochons le coefficient, c'est l'expression consacrée, et les cours les plus ardus trouvent des auditeurs passionnés. Au reste, il n'est pas de matière si abstraite qui ne puisse s'égayer quand elle veut s'en donner la ^ peine, ou plutôt quand nous avons besoin de nous détendre un peu l'esprit. ”

“ Au reste, on voit facilement que , , etc. se dérivent de de la même manière que , , etc. de (I) ; et que chaque coefficient de peut aussi se ramener à la forme
puisque les sommes des puissances des racines de l’équation sont les moitiés des sommes des puissances des racines de l’équation et partant réductibles à cette forme.
Dans les quatre autres cas, sera le produit des facteurs , , , etc. et parconséquent de la forme
les coefficiens , , etc. ”

“ Les coefficients sont les constantes d’intégration que j’appelais jusqu’ici mais que j’appelle maintenant parce que je vais bientôt les prendre pour variables indépendantes nouvelles.
Quant à c’est une fonction périodique de
dépendant en outre de de sorte que la valeur moyenne de n’est autre chose que et que l’expression considérée de ne diffère pas de celle à laquelle conduisent les équations (1) du no 202. ”

“ Par exemple, si est une équation, est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Quand nous disons qu’une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l’équation et des quantités adjointes. ”

“ Enfin, il est aisé de voir que le coéfficient de A'p A" 1 (p dans cette valeur est le même que celui de (A') p (A') q dans (A' + A" = A'A") n.
(100.) Si

différence finie de

différence en ne faisant varier que y, & A'"

coéfficient de A'p A" ^ A"'r (p dans An (p égal au coéfficient de (A') p (A'') q (A"') r dans (Ar + A" + A''' + A'A" + ArA''' + A"A''' + ArA"A"') n ;
& de même pour un plus grand nombre de variables. ”

“ Cette erreur étant
nous devons chercher à rendre la somme
aussi petite que possible.
4. Les fonctions , en nombre infini, par lesquelles on peut remplacer , ne différeront les unes des autres, dans nos recherches, que par les valeurs qu’elles fourniront pour , , , etc. : nous devons donc, avant tout, chercher les relations qui existent entre les systèmes de valeurs que peuvent prendre ces coefficients. Désignons par
les valeurs que prennent les coefficients
si l’on y substitue pour , , , etc., leurs valeurs véritables. ”

“ La progression sera donc :
En effet la progression ayant six termes, elle a cinq différences, qui, étant égales, sont chacune un g de celle qui est entre 3 et 9, c'est-à-dire ! de 6 6 OU 5.
1 a. a db d. a + 2 d. a ± 3 d, etc. est l'expression de toute progression croissante ou décroissante, suivant qu'on prend le signe supérieur ou le signe inférieur. Or remarquez que, dans cette formule, le coefficient qui multiplie la différence d est
nécessairement, dans chaque terme, un nombre égal au nombre des termes moins un. ”

“ Choisissons nos constantes d’intégration et les valeurs moyennes des divers termes des développements (4) et (17) de telle sorte : 1o que les quantités
aient des valeurs données commensurables entre elles ; 2o que
pour Les constantes et et la moitié de nos valeurs moyennes deviennent arbitraires.
Si l’on veut faire le calcul du no 152, certains coefficients deviennent infinis, à moins qu’on ne choisisse convenablement les les et les valeurs moyennes restées arbitraires. ”

“ Effectivement, entre les limites assignées, faites couper la proposée en points, par une courbe parabolique, dans l’équation de laquelle (38) vous aurez admis un coefficient indéterminé de plus, ce qui donnera, dans (39 et 40) , un terme et un coefficient de plus. ”

“ Comme le coefficient q est entièrement arbitraire, on fera bien de supposer et, dans cette supposition, l’indéterminée sera simplement égale à la fraction Développant donc cette fraction en fraction-continue qui, dans tous les cas, sera périodique, on connaîtra ainsi les bases, tant initiales que périodiques ; le coefficient fera connaître toutes les valeurs de ”

“ III, n.° 49) la valeur du coefficient d'un terme où ces différentes quantités montent à
des puissances quelconques, & dans cette valeur, il ne reste à trouver qu'un terme ^ or 011 a vu (art. III, n.° 41) que
donc faisant

d ; or on pourra faire le même raisonnement pour avoir (p; donc, &c. Il nous reste donc à enseigner à trouver

x.
( 54.) Soit donc d'abord

coéfficient de Ax dans la fonction

”

“ Outre les équations déduites de (1 bis) , (2) , (4) , (6) en égalant dans les deux membres les coefficients de nous avons encore à envisager celles que l’on peut obtenir en égalant les valeurs moyennes des deux membres. ”

“ Le fondement des regles que nous donnerons à cet égard, se tire des nombres coëfficiens de la Table des Puissances (N°. 103.) , où nous trouvons, 1°. Que chaque premier terme d'une puissance quelconque du binome a+b, a pour coëfficient, l'unité ; ainsi a, a2, a3 , &c ; c'est-à-dire, 1a, 1a2,1a 3, &c ; & c'est ce qu'on nomme, les nombres du premier ordre ; 1, 1, 1, 1, 1, &c. 2°. Que les coëfficiens, 1. 2. 3. 4, &c, des seconds termes, 1b, 2ab, 3a2b, 4a3b, &c, assemblent ces mêmes unitez ”

“ Comme il en est de même de il faut donc que la valeur moyenne de soit nulle. En désignant par la racine négative de la valeur moyenne de nous aurons une des valeurs de Cette même équation (3) nous montre que la valeur moyenne de est une quantité réelle. En considérant les unes après les autres les diverses équations on verrait que les coefficients impairs comme sont purement imaginaires et que les coefficients pairs, sont réels. ”

“ Et, par le moyen de la valeur de f ainsi calculée, on trouvera toujours aussi les véritables coefficients$et v, ou les courbes II V V' R, 1\1 N N'S de la figure, si tant est que, dans le plus grand nombre des applications, ces coefficients ou ces courbes ne soient pas à très-peu près constants, pour les valeurs les plus éloignées de l dont on ait à faire usage. ”

“ Il ne reste donc rien et nos efforts ont été infructueux ; nous sommes acculés à la définition suivante, qui n’est qu’un aveu d’impuissance : les masses sont des coefficients qu’il est commode d’introduire dans les calculs. ”

“ Un seul chiffre de la colonne , Et le nombre constant qui constitue l'échelle d'équidifférence.
Or ces chiffres d'équidifférence ne sont d'une part, pour le tableau entier, qu'au nombre de huit.
Et d'une autre part , ces chiffres d'équidifférence sont précisément le double des coefficients unitaires P et P + p , ainsi que le fait ressortir le tableau suivant :
VOITURES k a RODES; VOITURES A 4 ROUES.
DIAMETRES. DIAMETRES. r* rr • DIÀMÈTRES. • Loeiïicienti OBSERVATIONS.
CoeffiCient Équi- Coefficient ÉquiP. diiierence. compose diiïerence.
,lUerence. p + p, 1 el'cnce.
m. kil. kil m. kil. ”

“ LEMME. Dans toute équation
la valeur de l’inconnue est une fonction des coefficiens
Démonstration. Une quantité est dite fonction d’une ou de plusieurs autres, lorsque sa valeur dépend de celles qu’on attribue à ces autres quantités ; or, il est évident que la valeur de dépend, et dépend même uniquement, lorsque est donnée, de celles des coefficiens
28. Remarque. ”

“ Le terme de toutes les valeurs, c'est l'homme même. « Quelle est donc sa mesure des valeurs ? Quelle est son échelle de comparaison ? Il est évident qu'il n'en a pas d'autre que ses facultés mêmes. La somme totale de ses facultés, c'est le seul point fixe d'où il puisse partir, et les valeurs qu'il attribue à chaque objet sont des parties proportionnelles de cette échelle. Il suit de là que la valeur estimative de chaque objet pour l'homme isolé, est précisément la portion du total de ses facultés qui répond au désir qu'il a de cet objet, ou celle qu'il veut employer à satisfaire ce désir. » ”

“ Le produit des extrêmes étant, dans toute proportion, le même que celui des moyens, vous concevez comment vous pouvez, avec trois termes connus, découvrir le quatrième. Est-ce un des moyens, par exemple, que vous avez à chercher? Divisez le produit des extrêmes par le moyen que vous connaissez, et vous aurez dans le quotient le moyen qui vous manquait.
Une progression n'est qu'une proportion continue composée de plus de trois termes, et elle s'écrit ainsi : — deux : quatre : huit — huit : quatre : deux. ”

“ Une proportion, un rapport changent-ils lorsqu'on multiplie ou que l'on divise les deux termes du rapport par un même nombre ? — La proportion est-elle altérée, si l'on multiplie ou si l'on divise les antécédens ou les conséquens par le même nombre? — Pourriez-vous dire pourquoi? — Y a-t-il toujours proportion lorsqu'on met les extrêmes l'un à la place de l'autre?— Les moyens l'un à la place de l'autre? — Pourquoi cela? — Prouvez que le produit des extrêmes égale celui des moyens ? ”

“ Ainsi, tandis que les coefficiens des termes du développement de sont les nombres de produits différens d’un, de deux, de trois, ... de facteurs que l’on peut faire avec sortes de facteurs, en excluant l’admission de plusieurs facteurs d’une même sorte dans un même produit, les coefficiens des termes du développement de sont, au contraire, les nombres de produits différens d’un, de deux, de trois, ... de facteur que l’on peut faire avec sortes de facteurs en admettant la répétition indéfinie de chaque sorte de facteurs dans chacun de ces produits. ”

“ Mesurer. — Mesurer une grandeur, c'est la déterminer exactement, au moyen d'une autre grandeur connue et de même espèce qu'on appelle unité.
On ne se fait une idée exacte d'une quantité ou d'une grandeur qu'en la comptant ou en la mesurant. Ainsi, ce n'est qu'après avoir compté les arbres d'un verger qu'on sait combien il y en a; de même, ce n'est qu'après avoir mesuré une règle qu'on en connaît la longueur.
5. Unité. — L * unité est une grandeur connue, avec laquelle on compte ou mesure les grandeurs de même espèce. ”

“ Les partisans de l’économique mathématique font valoir, à l’appui de leur conception, un argument qui ne peut pas manquer de faire impression. Les mathématiques, disent-ils, sont les sciences de la quantité. ”

“ L'extraction des racines carrées et cubiques des
nombres avec une certaine approximation en décimales.—La résolution de l'équation du premier degré à une inconnue. On insistera sur la pratique du calcul. — De la possibilité de résoudre plusieurs équations à plusieurs inconnues ; applications pour le premier degré, et particulièrement à la question des partages proportionnels. — Théorie des proportions déduite des équations qui expriment l'égalité des deux rapports. — Somme des progressions par différence et par quotient. Théorie des exposants négatifs et fractionnaires. ”