Carl Friedrich Gauss

“ C’est à l’observateur qu’il appartient de rechercher avec soin les causes qui peuvent produire une erreur constante, pour les écarter s’il est possible, ou tout au moins apprécier leur effet, afin de le corriger sur chaque observation, qui donnera alors le même résultat que si la cause constante n’avait pas existé. Il en est tout autrement des erreurs irrégulières : celles-là, par leur nature, se refusent à tout calcul, et il faut bien les tolérer dans les observations. ”

“ La détermination d’une grandeur par l’observation peut se comparer, avec quelque justesse, à un jeu dans lequel il y aurait une perte à craindre et aucun gain à espérer : chaque erreur commise étant assimilée à une perte que l’on fait, la crainte relative à un pareil jeu doit s’exprimer par la perte probable, c’est-à-dire par la somme des produits des diverses pertes possibles par leurs probabilités respectives. ”

“ Les équations de condition qui existent entre les angles d’un système de triangles, peuvent, en général, se partager en trois catégories.
I. La somme des angles horizontaux, formés autour d’un même sommet et embrassant la totalité de l’horizon, doit être égale à quatre droits.
II. La somme des angles de chaque triangle peut toujours être regardée comme connue ; car, lors même que le triangle est situé sur une surface courbe, l’excès de la somme de ses angles sur deux droits peut être calculé avec une telle approximation, qu’il est permis de considérer le résultat comme absolument exact. ”

“ Au reste, le principe d’après lequel la somme des carrés des différences entre les quantités observées et les quantités calculées doit être un minimum, peut encore s’établir sans recourir au calcul des probabilités, comme il suit.
Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des observations, on peut déterminer les premières de manière qu’elles satisfassent aux secondes. Mais lorsque le premier nombre est le plus petit des deux, on ne peut obtenir un accord absolu lorsque les observations ne sont pas douées d’une précision absolue. ”

“ Quoiqu’il soit impossible d’assigner la valeur des diverses erreurs, nous pouvons cependant comparer les erreurs moyennes à craindre dans les diverses combinaisons. La combinaison la plus avantageuse sera celle qui donnera, à l’erreur moyenne, la valeur minimum. ”

“ Or on voit facilement que la constante doit être négative, pour que puisse devenir maximum : posons donc
et comme, d’après un élégant théorème de Laplace, on a
notre fonction deviendra
4. La fonction que nous venons de trouver ne peut pas exprimer, en toute rigueur, la probabilité des erreurs, puisque les erreurs possibles étant toujours renfermées entre certaines limites, la probabilité d’erreurs plus grandes devrait être toujours nulle, tandis que notre fonction a toujours une valeur finie. ”

“ De même qu’en se donnant des valeurs quelconques des inconnues, il en résulte, avant toute observation, une probabilité déterminée pour un système de valeurs des fonctions , , , etc., de même, après que l’observation aura donné pour ces fonctions des valeurs déterminées, il en résultera pour chaque système de valeurs des inconnues qui en découleront, une probabilité déterminée : car il est clair qu’on devra considérer comme les plus probables les systèmes qui donnent à l’événement observé la plus grande probabilité. ”

“ Ce principe, qui est de la plus grande utilité dans toutes les applications des mathématiques à la philosophie naturelle, doit être regardé comme un axiome, au même titre que le principe qui nous fait adopter la moyenne arithmétique des valeurs observées d’une même quantité comme la valeur la plus probable de cette quantité. ”

“ Dans la pratique la plus ordinaire, on observe les angles que l’on peut regarder comme étant les éléments , , , etc., eux-mêmes. Mais on ne doit pas oublier que si le système contient, en outre, des triangles dont les angles n’aient pas été directement observés et aient été déduits de ceux que l’on connaissait, par des additions ou soustractions, ces angles ne devront pas être mis au nombre des grandeurs déterminées par l’observation, et l’on devra les faire entrer dans le calcul comme des fonctions des éléments qui ont servi à les former. ”

“ Il y a, en effet, deux cas à distinguer : le premier est celui où l’une des équations
est renfermée dans les autres d’une manière générale et absolue, et peut, par conséquent, être supprimée ; le second est celui où, pour les valeurs particulières de , , , etc., auxquelles se rapportent les observations, l’une des fonctions , , , etc., par exemple, acquiert une valeur maximum ou minimum, ou, plus généralement, une valeur dont la différentielle s’annule lorsque les autres équations restent satisfaites. ”

“ Lorsque les quantités , , , etc., sont indépendantes, l’inconnue ne peut se déterminer que d’une seule manière, et l’incertitude attachée au résultat ne peut être ni évitée ni diminuée. Les observations fournissent une valeur de l’inconnue qui n’a, dans ce cas, rien d’arbitraire. Il en est tout autrement lorsque les quantités , , , etc., sont liées par des relations nécessaires, que nous supposerons exprimées par équations,
, , , etc., désignant des fonctions données des indéterminées , , , etc. ”

“ Conservons les notations de l’art. 19. La méthode dont il s’agit consiste à regarder , , , etc., comme les véritables valeurs des inconnues , , , etc., et , , , etc., comme celles des fonctions , , , etc. Si toutes les observations ont une égale précision et que leur poids commun
soit pris pour unité, ces mêmes quantités, changées de signe, représentent, dans cette supposition, les erreurs des observations, et, par conséquent, d’après l’art. 15,
sera l’erreur moyenne des observations. ”

“ Si parmi ces quantités il n’y en a que deux qui soient identiques, le problème est entièrement déterminé ; dans le cas contraire, il devient indéterminé, et l’on doit faire en sorte que les équations
soient satisfaites aussi exactement que possible, car les imperfections inévitables du chronomètre ne permettront jamais de satisfaire rigoureusement à toutes. Mais on ne doit pas accorder à ces équations des poids égaux ”

“ Nous en conclurons que, si ne s’évanouit pas et a, par exemple, une valeur positive, il existe nécessairement une cause d’erreur qui produit uniquement des erreurs positives ou qui, tout au moins, les produit plus facilement que les erreurs négatives. Cette quantité , qui est la moyenne de toutes les erreurs possibles, ou encore la valeur moyenne de , peut être désignée commodément sous le nom de partie constante de l’erreur. Du reste, on prouve facilement que la partie constante de l’erreur totale est la somme des parties constantes des erreurs simples qui la composent. ”

“ Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition, outre le système des corrections les plus plausibles, on peut en trouver un nombre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites. ”

“ Laplace se sert, pour la résolution d’équations linéaires en nombre plus grand que les inconnues, d’un autre principe, proposé d’abord par Boscovich, savoir, que la somme des valeurs absolues des différences devienne minimum. On peut facilement démontrer que le système des valeurs des inconnues trouvé par ce seul principe doit nécessairement [2] satisfaire à autant d’équations, prises parmi les proposées, qu’il y a d’inconnues, de sorte que les autres équations ne sont employées que pour décider le choix que l’on doit faire. ”

“ Quelque soin que l’on apporte aux observations qui concernent la mesure des grandeurs physiques, elles sont forcément soumises à des erreurs plus ou moins considérables. Ces erreurs, dans le plus grand nombre des cas, ne sont pas simples, mais découlent à la fois de plusieurs sources distinctes qu’il est bon de distinguer en deux classes. ”

“ Si les valeurs approchées de quantités sont fournies par des observations également précises, et qu’on les compare avec les valeurs qui résultent pour elles des hypothèses les plus plausibles qu’on puisse faire sur les éléments dont elles dépendent, on a vu qu’il fallait ajouter les carrés des différences obtenues, diviser la somme par , et que le quotient pouvait être regardé comme une valeur approchée du carré de l’erreur moyenne inhérente à ce genre d’observations. ”

“ Si l’on ne croit pas important dans ce cas de calculer ces produits avec le plus grand soin à l’aide des Tables de logarithmes, il suffira le plus souvent de leur substituer des nombres plus simples qui en diffèrent peu. Il ne peut en résulter d’erreurs notables qu’autant que la précision des inconnues devient moindre que la précision des observations primitives. ”

“ Les points observés étant très-rapprochés de la station, une inexactitude de quelques dixièmes de pied sur leur position peut exercer une influence beaucoup plus grande que les erreurs habituellement à craindre sur les angles mesurés. On ne s’étonnera donc pas que la meilleure compensation des angles laisse subsister des différences beaucoup plus grandes que celles que l’on peut admettre comme possibles dans les observations de même nature. ”

“ Cette méthode ne laisse rien à désirer lorsqu’on demande seulement les valeurs les plus plausibles des quantités fournies par l’observation. Mais il en est autrement lorsqu’on désire, en outre, le poids de chacune des valeurs trouvées. Quelle que soit alors celle des quatre formules précédentes que l’on veuille employer, il est indispensable de connaître , , , etc., ou, ce qui revient au même, , , , etc. ; par cette raison, il sera utile d’étudier, de plus près, l’élimination qui fournit ces quantités et d’obtenir une méthode plus commode pour la détermination des poids. ”

“ En effet, quoiqu’un système de valeurs des inconnues doive être sans aucun doute préféré à un autre système où toutes ces différences seraient respectivement plus grandes, le choix entre deux systèmes dans l’un desquels l’accord serait plus satisfaisant pour quelques-unes des observations, mais moins satisfaisant pour d’autres, est en quelque sorte arbitraire, et l’on peut évidemment proposer plusieurs principes par lesquels la première condition soit remplie. ”

“ Supposons d’abord, dans toutes les observations, un état de choses tel, qu’il n’y ait pas lieu de regarder l’une d’elles comme plus exacte qu’une autre, c’est-à-dire, que l’on doive regarder des erreurs égales dans chacune d’elles comme également probables. ”

“ La probabilité que la valeur véritable de soit comprise entre et est approximativement égale à
où est une constante telle, que l’intégrale
prise entre les limites admissibles de , devienne égale à l’unité. ”

“ IV. Pour ce qui concerne la résolution des équations d’après la méthode des moindres carrés, il n’est peut-être pas inutile de rappeler qu’on doit commencer, dans le plus grand nombre des cas, par calculer les valeurs approchées des inconnues et appliquer ensuite la méthode à la détermination des corrections très-petites que les valeurs doivent subir. ”

“ La véritable valeur de peut être inférieure ou supérieure à sa moyenne, de même que la vraie valeur de peut, dans chaque cas, être inférieure ou supérieure à ; mais la probabilité pour que la valeur fortuite de ne diffère pas sensiblement de , s’approchera sans cesse de la certitude à mesure que deviendra plus grand. Pour le montrer plus clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette probabilité, nous chercherons l’erreur moyenne à craindre en faisant . ”

“ La précision trouvée de cette manière sera toujours un peu trop grande, puisque les déterminations de temps à Greenwich, à Helgoland et à Altona n’ont pas une précision absolue, et que, par conséquent, quel que soit le nombre des chronomètres, les erreurs qui proviennent de cette source se feront toujours sentir dans chaque résultat final. ”

“ La série des observations qui fournissent les quantités , , , etc., affectées des erreurs fortuites , , , etc., peut être considérée comme une épreuve qui ne fait pas connaître, il est vrai, la grandeur de chaque erreur, mais qui, par le moyen des règles exposées plus haut, permet de déterminer la quantité , fonction connue de toutes les erreurs. ”

“ Si l’on objecte que cette convention est arbitraire et ne semble pas nécessaire, nous en convenons volontiers. La question qui nous occupe a, dans sa nature même, quelque chose de vague et ne peut être bien précisée que par un principe jusqu’à un certain point arbitraire. ”

“ Lorsque le nombre des inconnues , , , etc., est un peu grand, la détermination des valeurs numériques de , , , etc., par l’élimination ordinaire, est assez pénible. C’est pourquoi nous avons indiqué, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, et développé plus tard, dans le Mémoire sur les éléments de l’orbite de Pallas (Commentaires de Gottingue, t. I) , une méthode qui simplifie ce travail autant que possible.
La fonction doit être ramenée à la forme suivante :
où les diviseurs , , , , etc., sont des quantités déterminées ”

“ Les équations primitives, réduites à avoir pour poids l’unité, seront
on aura
, , , etc., seront les dérivées partielles
et enfin on aura, par l’élimination,
Supposons maintenant que l’on ait une nouvelle équation approximative,
dont nous supposerons le poids égal à l’unité. Cherchons les changements que subiront les valeurs les plus plausibles , , , etc., et celles des coefficients , , etc. ”

“ La probabilité qu’une erreur soit commise dans l’une des observations sera une fonction de , que nous nommerons . Quoique cette fonction ne puisse être assignée d’une manière précise, on peut du moins affirmer qu’elle doit devenir maximum pour , avoir dans la plupart des cas la même valeur pour des valeurs de égales et de signes contraires, et, enfin, s’évanouir quand on donne à une valeur égale ou supérieure à l’erreur maximum ”

“ Soient et les coordonnées du premier point connu ; celles du second seront de la forme
et celles du troisième,
Soient
les coordonnées cherchées du point d’où l’on observe ; soient l’angle observé (toujours de la gauche à la droite) entre le premier et le deuxième point, et l’angle observé entre le premier et le troisième (en supposant qu’on en ait, s’il y a lieu, retranché 180 degrés) ; soient
on a les deux équations
qui, écrites de la manière suivante,
se résoudront par la méthode exposée (Theoria Motus Corporum cœlestium, page 82) . ”