Variable (mathématiques)

“ Concluons de là que, si des fonctions de formes diverses prennent les mêmes valeurs, pour certaines valeurs déterminées, et voisines les unes des autres, de la variable indépendante, sans devenir infinies pour aucune valeur comprise entre celles-là ; ces fonctions prendront des valeurs peu différentes, pour d’autres valeurs de cette variable, comprises dans les limites qu’embrassent les premières ; mais il n’en sera plus de même des coefficiens différentiels successifs qui, d’une fonction à l’autre, pourront différer de plus en plus, à mesure que l’ordre en sera plus élevé. ”

“ Je crois pouvoir conclure de tous les essais que j’ai fait, qu’au moyen de nos formules on tire tout le parti possible d’un nombre donné d’ordonnées, et que l’emploi de ces formules offre le moyen, à la fois le plus exact et le plus expéditif d’intégrer les différentielles d’une seule variable. ”

“ Soit le polynôme du degré
dans lequel les coefficiens sont des quantités réelles finies quelconques, et où représente une variable. Puisque ce polynôme change de valeur, à chaque valeur qu’on attribue à ; il peut lui-même être considéré comme une variable. Représentant donc cette variable par on aura l’équation
qui établit entre les variables et une relation en vertu de laquelle chacune d’elles est déterminée par l’autre. ”

“ Si l’on entend que dans la nature il n’y a pas d’infiniment petits, c’est incontestable ; tout ce qui existe est déterminé et par conséquent fini. Mais à ce point de vue, il n’y a pas non plus de quantité variable : une quantité, par cela seul qu’elle est, a une valeur actuelle précise. Notre esprit seul crée la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantités voisines et les regardant comme les valeurs successives d’une même quantité. La notion de variable n’est pas plus légitime que celle d’infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes les deux. ”

“ Dans une même question, on a souvent à considérer deux sortes de grandeurs, les constantes et les variables. Une constante possède une valeur fixe et déterminée ; une variable peut recevoir successivement diverses valeurs.
Une quantité est dite fonction d’une autre quantité, lorsqu’elle varie avec elle et qu’elle acquiert une ou plusieurs valeurs déterminées pour chaque valeur attribuée à la variable.
La science, en tant qu’elle n’envisage que les éléments isolés de l’objet, peut être nommée statique ”

“ Nous ne nous occuperons uniquement, dans ce qui va suivre, que de la résolution des équations du premier degré à deux inconnues, et même dans le seul cas où les données et les inconnues sont et doivent être simplement fonctions d’une seule variable Nous ferons voir ensuite que le problème de la décomposition des fractions n’est qu’un cas particulier de celui qui nous aura occupés. ”

“ Soient, par exemple, Le premier membre de l’équation (M) deviendra
En faisant disparaître les imaginaires et formant le second membre, on trouvera finalement
Il est inutile de multiplier les exemples pour faire comprendre que les formules (M) et (IN) peuvent donner une infinité d’intégrales différentes.
7. Un moyen fréquemment employé dans les intégrations consiste à substituer à la variable une nouvelle variable, dont les limites sont alors les valeurs correspondantes aux valeurs limites de la première variable. ”

“ Le cas de ou de annonce aussi un changement de forme ; car alors l’équation proposée prend la forme très-simple
ce qui réduit l’intégrale à des séries à simple entrée.
Mais un autre cas donne lieu à des calculs très-compliqués ; savoir : celui de ou pour lequel il s’introduit dans l’intégrale des puissances de la variable indépendante, dont les coefficiens ne se déterminent que par des équations aux différences finies à trois variables. ”

“ Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈ Lorsqu’une fonction d’une seule variable est donnée, on peut toujours déterminer rigoureusement et directement les valeurs, tant de la fonction que de ses divers coefficiens différentiels, répondant à une valeur donnée de la variable indépendante ; tout comme, lorsqu’une ligne courbe est donnée, on peut toujours, pour l’une quelconque de ses abscisses, construire l’ordonnée, la tangente, le cercle osculateur, etc. ”

“ Cette distinction fondamentale permet de classer les connaissances humaines en deux catégories bien nettes et en montre aussi le point de contact: le nombre, ou rapport invariable, la fonction, ou rapport variable, résument en deux mots les deux faces de la science.
Laugel.
On étudie, en mathématiques, une fonction pour elle-même. Peut-être plus tard un phénomène mieux connu s'exprimera par cette fonction. ”

“ Par M. B. D. C.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈ Soient et des fonctions quelconques d’une troisième variable et soient représentés, en général, pour abréger,
par
par quel que puisse être d’ailleurs le nombre entier positif Soit une fonction quelconque de
où on suppose que soit tout au plus égal à et posons
Si est une différentielle exacte, on aura, comme l’on sait [1] , et réciproquement, si ces deux équations ont lieu, sera une différentielle exacte ”

“ J’ai prouvé de plus que
et qu’on a ensuite
Ainsi les de toutes les fractions de l’une ou de l’autre des deux formes générales, désignant un nombre entier quelconque, se réduisent, dans tous les cas, à une simple addition de logarithmes hyperboliques.
10. Si l’on applique au cas de les formules de l’ouvrage cité, on aura
(Refr. ast. chap. III, 181) . La variable sera, dans tous les cas, une fraction moindre que l’unité. ”

“ Ici la différente de est 1 ; si était fonction d’une autre variable, on aurait, en vertu du théorème (81)
(96) Dans ces formules ; la quantité est un arc arbitraire.
La constante quoique impliquée d’imaginaires, est facilement ramenée à une forme toute réelle. En effet, à cause de la formule connue
on a ”

“ THÉORÈME I. Si deux variables constamment positives l’une et l’autre, sont liées entre elles par l’équation où et sont aussi des quantités positives, que l’on suppose inégales, et dans laquelle est un nombre positif quelconque plus grand que l’unité ; et si et ne pouvant varier qu’entre les limites et peuvent d’ailleurs recevoir, entre ces limites, toutes les valeurs compatibles avec l’équation qui les lie ; et seront maximums, lorsqu’un aura et minimums. ”

“ Soit une équation différentielle entre deux variables, et que nous désignerons par et soit son intégrale complète, renfermant et et une constante arbitraire les solutions particulières de l’équation représenteront, comme l’on sait, les diverses enveloppes des lignes, en nombre infini, représentées par l’équation générale et que nous supposons rapportées à deux axes rectangulaires. ”

“ Une équation étant donnée entre plusieurs variables, développer une fonction proposée d’une ou de plusieurs de ces variables en série ordonnée suivant les puissances de l’une d’entr’elles, ou suivant les puissances et produits de plusieurs d’entr’elles. ”

“ On voit immédiatement que toute racine d’une équation dont les coefficients dépendent de deux paramètres seulement, c’est-à-dire que toute fonction de deux variables indépendantes, est représentable d’une foule de manières, d’après ce principe de la Nomographie. ”

“ Une fonction ou forme rationnelle entière à nombre quelconque de variables et à coefficients réels est dite définie lorsqu’elle ne prend jamais de valeurs négatives pour aucune valeur réelle des variables. Le système de toutes les formes définies se comporte d’une manière invariante vis-à-vis des opérations de l’addition et de la multiplication ; le quotient de deux fonctions définies, tant que c’est une fonction entière des variables, est une forme définie. ”

“ Je n'ai pu y parvenir; j'ai seulement reconnu que l'on peut, d'une infinité de manières, exprimer ces intégrales par des séries qui convergent pour toutes les valeurs réelles de la variable. Voici comment j'ai opéré (23, 76) .
Je mets les équations différentielles sous la forme
(dx (1) ) / (X (1) ) = (dx (2) ) / (X (2) ) = ... = (dx (n) ) / (X (n) ) ,
les X (n) étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours possible. J'introcluis ensuite une variable auxiliaire s définie par l'équation
(dx (1) ) / (X (1) ) = (dx (2) ) / (X (2) ) = ... ”

“ Le principe fondamental sur lequel elle repose, et qui est si fréquemment appliqué dans toute l'analyse mathématique, la décomposition des fonctions algébriques, rationnelles, et entières, d'un degré quelconque, en facteurs du premier degré, n'est jamais employé que pour les fonctions d'une seule variable, sans que personne ait examiné si on doit l'étendre aux fonctions de plusieurs variables, ce que néanmoins on ne devrait pas laisser incertain. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ En effet, ne supposons, pour fixer les idées que quatre variables seulement, nous aurons d’abord, par l’équation de condition,
(1) posant ensuite
nous aurons
en mettant dans les équations (2, 3) la valeur de donnée par l’équation (1) , elles deviendront
on voit d’abord que, si l’on a il en résulte conditions communes au maximum et au minimum. ”

“ Le concept de fonction analytique, au contraire, embrasse dans son domaine toutes les fonctions les plus importantes de la Science, qu’elles proviennent de la Théorie des nombres, de la Théorie des équations différentielles ou des équations fonctionnelles algébriques, ou même encore de la Géométrie et de la Physique mathématique ”

“ Nous avons en outre obtenu, chemin faisant, l’équation de condition qui doit avoir lieu, dans chaque cas, lorsque le nombre des équations surpasse d’une unité celui des inconnues, pour que le problème soit possible. ”

“ Pour plus de simplicité, nous ne considérerons que des fonctions de deux variables indépendantes ; il sera aisé ensuite d’étendre la méthode à des fonctions d’un plus grand nombre de variables.
20. Soit une fonction de deux variables ; nous indiquerons sa différentielle totale par ; sa différentielle partielle, en ne faisant varier que , par ; sa différentielle, relative à la variabilité de par de sorte qu’on aura
et, en détachant les échelles,
Nous représenterons de même par et par l’état varié et la différence totale, lorsque les accroissemens de et de seront chacun égal à 1 ”

“ Le problème n’est plus simplement de découvrir ce système de variables par lequel l’utilité de toutes les personnes que l’on considère se trouve au maximum (dans le sens technique de ce terme) , mais de trouver telles fonctions et telles valeurs des variables pour lesquelles la formule ne donne pas seulement un maximum, mais la plus grande valeur possible. ”

“ On sait que toute équation différentielle à deux variables a pour intégrale complète une équation, entre les mêmes variables et des constantes arbitraires, en nombre égal à celui qui désigne l’ordre de l’équation proposée ; constantes qui peuvent se trouver impliquées avec les variables de toutes les manières diverses admises dans l’analise comme moyens de combinaison. Mais, quoiqu’on démontre très-rigoureusement que, quelle que puisse être la forme de l’équation différentielle, elle a toujours une intégrale, on est bien loin encore de savoir assigner cette intégrale dans tous les cas. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ En effet, chacune de ces équations donnera la valeur de la fonctions seconde de la variable qu'on regarde comme fonction de l'autre, valeur qui sera exprimée par la fonction prime de la même variable et par les deux variables mêmes, sans les deux constantes qui entraient dans l'équation primitive; et il est facile de se convaincre que cette valeur est unique et déterminée, de quelque manière qu'on y parvienne, puisque les fonctions dérivées d'une fonction donnée, soit explicite ou non, sont uniques et déterminées, et que les résultats de l'élimination sont aussi toujours déterminés. ”

“ Que si présentement on nous demande quels avantages peuvent avoir nos notations et nos méthodes sur l’algorithme et les procédés ordinaires du calcul des variations, et quelles vérités nouvelles nous avons ajoutées à celles qui étaient déjà découvertes, nous répondrons que tel n’a pas été notre but ; que nous conseillerons même de préférer, dans la pratique, comme nous employons nous-mêmes pour notre propre usage, la méthode des variations proprement dite. ”

“ On substituera ces valeurs, ainsi que celle de dans les trois équations (XXX, XXXI, XXXII) , qui dès-lors ne renfermeront plus que des fonctions arbitraires de ces deux variables, des constantes arbitraires, et ses divers coefficiens différentiels, les deux fonctions arbitraires et et la constante Ces équations, ainsi transformées, serviront à déterminer les constantes et fonctions arbitraires introduites par l’intégration de l’équation (XXIX) , de manière à satisfaire aux conditions relatives aux limites. ”