“ Si, en particulier, le tétraèdre est régulier, les sphères qui répondent aux arêtes ont leur centre à une distance infinie et leur rayon infini ; de plus chacune d’elles peut être indifféremment considérée comme répondant à une arête ou à son opposée ; en sorte qu’on peut dire également, ou que les faces d’un tel tétraèdre ne peuvent être touchées que par cinq sphères seulement, ou qu’elles peuvent être touchées par onze sphères dont six sont infinies. ”

“ De même des deux inégalités la première exprime tous les points d’un plan qui sont intérieurs à un cercle, et la seconde tous ceux qui lui sont extérieurs. D’après ces considérations, qu’il est facile d’appliquer à l’étendue à trois dimensions, il est aisé de voir qu’il n’est aucune portion d’étendue limitée, en tout ou en partie qu’on ne puisse parvenir à exprimer analitiquement, par un système d’équations et d’inégalités considérées comme ayant lieu à la fois ”

“ Dans le cas où les rayons des trois cercles donnés ou cherchés doivent être égaux, et dans celui où le triangle donné ou cherché doit être équilatéral, il n’y a plus lieu au maximum-maximorum, ni au minimum-minimorum ; parce que les six solutions du problème se réduisent alors à une solution unique.
Il reste à prouver qu’en construisant de la manière qui vient d’être indiquée, on obtient, en effet, le minimum-minimorum, pour le premier problème, et conséquement le maximum-maximorum, pour le second. ”

“ C’est cette différence qui fait regarder ce dernier cas comme n’ayant qu’une solution, en tant qu’on regarde l’angle comme étant déterminément aigu ou comme étant déterminément obtus.
Lorsque deux droites (non perpendiculaires l’une à l’autre) se rencontrent, chacun des angles, l’un aigu et l’autre obtus, qu’elles ont entre elles, peut être pris pour leur inclinaison, jusqu’à ce qu’il y ait quelque raison qui lève le doute qu’on doit avoir à cet égard. ”

“ Je dis que, si le triangle est le plus grand, parmi tous ceux de son espèce, qui puisse être circonscrit au système des trois cercles dont les centres sont ces cercles seront, à l’inverse, les plus petits de tous ceux qui, ayant leurs rayons dans le même rapport que les leurs, puissent être inscrits au triangle de manière que chacun d’eux touche les deux autres et un côté du triangle. ”

“ Quoi qu’il en soit du langage adopté par le docteur Wood, sa première proposition n’en est pas moins certaine, et, le point se mouvant plus vite que le point , nous sommes en droit d’affirmer que les différens points d’une même circonférence roulant sur une droite, ne sont pas tous animés d’une même vitesse absolue. ”

“ Il suit de là généralement que la somme des distances des sommets de chacun des polygones à un même plan quelconque est une quantité constante et égale à la somme des distances des sommets du polygone, au même plan ; il en sera donc de même pour le dernier polygone ; et comme ce dernier polygone se réduira à un seul point, la somme des distances de ses sommets à un plan quelconque ne sera autre chose que fois sa distance à ce plan. ”

“ Il est clair, en effet, que, si les points de la circonférence sont également poussés vers le centre par la force d’attraction qu’on suppose la même pour tous ces points, et inégalement sollicités dans le sens opposé par la force centrifuge, qu’on suppose varier d’un point à l’autre, l’équilibre sera nécessairement détruit, et sa destruction exercera vraisemblablement une influence sensible sur les phénomènes des vents et des marées ”

“ Supposons, en second lieu, que les deux premiers termes de l’équation (5) s’évanouissent ; alors les deux autres termes disparaissent d’eux-mêmes ; ainsi les deux équations
expriment que l’équation (5) est identique. Il existe donc, dans ce cas, pour une même origine donnée, une infinité de systèmes d’axes rectangulaires pour lesquels l’équation générale des surfaces du second degré ne renferme aucun des rectangles des coordonnées. ”

“ Déterminer un triangle dont on connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux ? (lorsqu’il est possible et déterminé) a toujours deux solutions, en tant qu’on prend le mot inclinaison dans son acception générale, et qu’on se réserve de lever le doute si cette inclinaison est aiguë ou obtuse, d’après la relation des deux côtés qui fournit une raison déterminante pour lever ce doute. ”

“ Partant, si l’on conçoit un polyhèdre dont toutes les faces (excepté une) soient respectivement égales et parallèles aux figures données de grandeur, la face restante (si le polyhèdre est possible) est, soit quant à la grandeur, soit quant à la position, la plus grande projection des figures proposées.
En effet, une face quelconque d’un polyhèdre est, égale à la somme des produits de toutes les autres par les cosinus de leurs inclinaisons sur elle ; ou elle est la somme des projections sur son plan de toutes les faces restantes ”

“ Le volume d’un tronc de prisme quelconque, droit ou oblique, s’obtient en multipliant l’aire de l’une quelconque de ses bases par la perpendiculaire abaissée sur son plan du centre de gravité de l’aire de l’autre base. ”

“ M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales au lycée d’Angers, ancien élève de l’école polytechnique, a traité ces deux problèmes par l’analise et d’une manière tout à fait différente de celle qui vient d’être expliquée. Il a d’abord soin d’observer que, par triangle circonscrit à un triangle donné, il faut entendre un triangle dont les côtés, prolongés s’il le faut, passent par les sommets du triangle donné : et que, par triangle inscrit à un triangle donné, il faut entendre un triangle dont les sommets sont sur les côtés ou sur les prolongemens des côtés du triangle donné. ”

“ Si le triangle au lieu d’être tourné en sens inverse du triangle était tourné dans le même sens que lui, le problème serait impossible, puisque alors le point serait assujéti à se trouver à la fois dans les trois espaces déterminés par chaque côté du triangle et par les prolongemens des deux autres au-delà de celui-ci.
III. Quant au plus grand poids que la table puisse supporter, il est clair qu’il ne saurait surpasser la somme des résistances puisque, dans l’hypothèse contraire, l’une au moins de ses composantes surpasserait la résistance qui lui correspondrait. ”

“ THÉORÈME. Soit un quadrilatère complet quelconque, dont les côtés soient indéfiniment prolongés ; que ses trois diagonales soient aussi indéfiniment prolongées ; elles se couperont, deux à deux, en trois points. Par chacun de ces points soient menées des droites aux deux extrémités de la diagonale sur laquelle il ne se trouve pas, on aura ainsi six droites dont chacune déterminera deux points sur deux côtés du quadrilatère ; en sorte qu’on aura en tout douze de ces points, distribués, trois par trois, sur les quatre côtés de ce quadrilatère. ”

“ Ayant le sommet, il est facile de trouver le foyer ; il suffit, en effet, pour cela de mener le rayon vecteur du point , c’est-à-dire, de mener par le point une droite faisant avec la droite (1) un angle égal à celui que fait celle-ci avec la droite (3) , cette droite par sa rencontre avec l’axe de la courbe qui est maintenant connu, déterminera le point cherché. ”

“ En admettant, dans tous les cas, la double solution du problème proposé (du moins lorsqu’il est déterminé possible et hors de la limite) , on lève l’anomalie de regarder un problème du second degré (lorsqu’il est possible) comme ayant tantôt deux solutions, tantôt une seule, et même comme pouvant n’en avoir aucune. ”

“ Lorsqu’on a déterminé les angles et on a déterminé les rapports des dimensions du triangle à projeter et de sa projection ; partant aussi on a déterminé le rapport des surfaces de ce triangle et de sa projection. Or, ce rapport est celui du sinus total au cosinus de l’inclinaison de leurs plans entre eux ; partant cette inclinaison est connue.
§. 6. Le problème qui fait l’objet du Lemme premier est un cas particulier d’un problème plus général, dans lequel l’angle au lieu d’être droit est un angle quelconque. ”

“ Savoir : un terme de différences secondes des puissances m.emes des termes d’une progression arithmétique est le double du produit du quarré de la différence constante des termes de la progression par la somme des produits de dimensions, faits avec les termes dont on prend les différences secondes des puissances. ”

“ La seconde proposition n’est pas plus difficile à démontrer. Qu’on imagine en effet une section perpendiculaire aux arêtes latérales, et que cette section soit décomposée en triangles correspondants à ceux des deux bases ; comme ces derniers seront les projections des premiers sur le plan coupant, ils seront à la fois entre eux dans le rapport des triangles de l’une des bases et dans le rapport des triangles de l’autre ; d’où il suit que les triangles correspondants de l’une et de l’autre base seront eux-mêmes dans un rapport constant. ”

“ Soit le polynôme du degré
dans lequel les coefficiens sont des quantités réelles finies quelconques, et où représente une variable. Puisque ce polynôme change de valeur, à chaque valeur qu’on attribue à ; il peut lui-même être considéré comme une variable. Représentant donc cette variable par on aura l’équation
qui établit entre les variables et une relation en vertu de laquelle chacune d’elles est déterminée par l’autre. ”

“ On conclut de là que l’équation
lorsque les équations (6) sont satisfaites, représente toujours une surface de révolution du second ordre ; et que, si l’on veut chasser de cette équation les rectangles en passant à un nouveau système rectangulaire, on obtiendra une infinité de ces systèmes, l’un des nouveaux étant fixe.
Il nous reste encore à discuter ce qui arrive dans les surfaces du second ordre, lorsque un, deux ou trois rectangles des coordonnées manquent dans leur équation. ”

“ Pour plus de simplicité, on peut prendre pour le point arbitraire le point lui-même ; on a alors et par conséquent
ce qui réduit la solution du problème à la recherche d’une troisième proportionnelle à deux lignes données.
Supposons qu’on ait pris il est facile de se convaincre que le nombre des côtés du polygone étant impair, on aura et ; on aura donc aussi d’où ; ainsi, dans ce cas, le dénominateur de la valeur de ne pouvant devenir nul, le problème sera toujours possible. ”

“ Toute courbe d’ailleurs pouvant être regardée comme formée d’une infinité de petites droites, et tout mouvement comme une suite de petits mouvemens uniformes, la même proposition s’étend généralement à toute circonférence de cercle roulant d’un mouvement quelconque sur une courbe quelconque. ”

“ Les diamètres du cercle dont ces deux-là sont les projections étant perpendiculaires entre eux, les tangentes, aux extrémités de chacun d’eux sont parallèles à l’autre ; il en est donc de même des projections de ces tangentes à l’égard des projections des diamètres. Ainsi, Dans l’ellipse, un diamètre étant mené arbitrairement, on en peut toujours mener un second de manière que les tangentes aux extrémités de chacun d’eux soient parallèles à l’autre ; Alors aussi chacun de ces diamètres partagera en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre. ”

“ Étant données les différences tant des longitudes que des ascensions droites de trois points de l’écliptique, déterminer son inclinaison à l’équateur et le lieu de l’équinoxe ? Les deux angles à projeter sont les différences entre les trois longitudes ; les angles que doivent former leurs projections sont les différences des ascensions droites ; enfin l’inclinaison des deux plans est l’obliquité de l’écliptique. ”

“ Dans tout tétraèdre dont les arêtes opposées sont à angle droit, l’intersection des perpendiculaires élevées aux plans des faces par leurs centres de gravité, le centre commun de gravité des sommets du tétraèdre et l’intersection des perpendiculaires abaissées de ces sommets sur les plans des faces opposées sont trois points situés sur une même ligne droite, de manière que le second est intermédiaire aux deux autres. ”

“ Il est en entre aisé de voir que le centre du cercle étant sur le petit axe de l’ellipse au-delà du centre de cette courbe, les tangentes menées à ce cercle par les extrémités du grand axe couperont l’ellipse, puisqu’elles formeront des angles aigus avec ce grand axe. ”