Charles-Casimir-Sévère Lacroix

“ L'une des surfaces de révolution, dont l'étude offre le plus d'intérêt dans les arts, est celle de la sphère; elle est engendrée par le mouvement d'une demi circonférence autour de son diamètre, pris pour axe. Il résulte de cette définition que tous les points A, B, C, etc., de la demicirconférence génératrice demeurant, dans le mouvement de celle-ci, à la même distance de son centre 0, tous les points de la surface de la sphère se trouveront aussi également distans du même point 0. ”

“ Le tracé de la ligne droite au moyen de la règle suppose que la surface sur laquelle s'opère ce tracé est plane ; car on entend par surface plane ou plan, une surface sur laquelle on peut appliquer exactement une ligne droite ou une règle en tous sens; c'est, en effet, en cherchant à appliquer une règle
dans diverses directions sur une surface, que le menuisier, le charpentier, et surtout le tailleur de pierres, parviennent à reconnaître si cette surface est plane, et à la dresser convenablement lorsqu'elle ne l'est pas. ”

“ En dessin , on pourra souvent se borner à tracer une tangente à une circonférence par un point extérieur, en se servant d'une règle placée de manière qu'elle touche à-la-fois la circonférence et le point donné. Mais s'il s'agissait de déterminer avec exactitude le point de contact, comme par exemple dans une épure où l'on aurait à raccorder un arc de cercle avec une droite assujétie à passer par un point donné, il faudrait avoir recours au tracé précédemment décrit. ”

“ Lorsque nous regardons un objet éclairé, les rayons de lumière que réfléchit sa surface , viennent se réunir dans nôtre œil en un point, au-delà duquel ils se prolongent pour aller peindre sur la surface, qui en occupe la partie postérieure et qu'on nomme la rétine, une image semblable à celle de l'objet; ce point de réunion des rayons lumineux dans notre œil est donc le sommet d'un cône , dont le contour de l'objet éclairé forme la base ”

“ C'est par cette raison qu'on a donné le nom de développante à la courbe
décrite ABCDEF, et celui de développée à la courbe GHKLM, dont le développement produit la première courbe. Une développée et sa développante sont donc deux courbes telles, que les tangentes de l'une sont normales à l'autre ; et l'on voit qu'une développée peut avoir une infinité de développantes, puisque rien ne s'oppose à ce qu'on fasse varier la longueur AG de la tangente extrême de la développée. Dans les arts on renonce souvent à l'emploi de certaines courbes, parce qu'on ne peut les tracer d'un mouvement continu ”

“ Les corps éclairés par les rayons parallèles du soleil portent ombre derrière eux, et cette ombre est déterminée par un
cylindre de rayons lumineux, enveloppant le corps éclairé, auquel il est tangent : si le point lumineux est situé à peu de distance de l'objet éclairé, comme dans les éclairages produits par l'art, ce sera un cône de rayons lumineux tangent à cet objet, qui en déterminera l'ombre portée. ”

“ On appelle Ellypsoïdes de révolution des surfaces engendrées par la rotation d'une demi-ellypse autour de son grand axe ; certaines voûtes ont la forme d'un demi-ellypsoïde de révolution et jouissent d'une propriété particulière , qui consiste en ce que le son, produit à l'un des foyers , se transmet à l'autre avec plus d'intensité qu'aux divers points de l'espace limité par la voûte. ”

“ Si l'on fait mouvoir un plan coupant une surface courbe quelconque, de manière qu'il se rapproche de plus en plus des limites de la surface, les dimensions de la section faite par ce plan deviendront de moins en moins considérables, et il arrivera un moment, où cette section se réduira à un point ou à un élément infiniment petit de la surface ; on dit alors que le plan est tangent à la surface en ce point , ce qui n'empêche pas que le plan tangent puisse couper la surface en d'autres parties, si cette surface présente des ondulations. ”

“ Ainsi le plan d'un terrain, qui se compose de surfaces plus ou moins inclinées, est une projection horizontale, qui ne donne pas les dimensions réelles de l'étendue de ce terrain ; cependant sa contenance est calculée d'après les dimensions du plan. C'est qu'en effet tous les produits de la végétation s'élevant généralement au-dessus du sol dans une direction verticale, un terrain en pente ne sera pas d'un plus grand rapport qu'un terrain horizontal, borné aux mêmes limites verticales, quoique ce dernier ait une surface moins considérable ”

“ Il résulte de la définition des surfaces de révolution que tout point de la génératrice décrit une circonférence, dont le rayon est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe, et dont le plan est conséquemment perpendiculaire a cet axe ; en d'autres termes toute section plane perpendiculaire.
à l'axe d'un solide de révolution est un cercle. Ces sections circulaires, dont les rayons sont généralement différens, prennent le nom de parallèles, et l'on donne celui de méridiens aux sections planes passant par l'axe, et qui sont toutes égales. ”

“ Si l'on divise une ligne courbe en parties égales et que l'on trace des tangentes par tous les points de division, les déviations de chaque partie de la courbe , par rapport à la tangente correspondante, indiqueront ses divers degrés de courbure; en sorte que la courbure moyenne d'une certaine étendue de courbe sera exprimée, en divisant par sa longueur la quantité, dont elle se détourne de la ligne droite, menée tangentiellement à l'une de ses extrémités. Il résulte de ces considérations : i.° que la courbure d'une circonférence est la même en toutes ses parties ”

“ On a indiqué la superposition comme moyen général de constater l'égalité des figures planes ; mais il n'en peut être de même des corps solides ou des volumes, qui ne sauraient se pénétrer; pour reconnaître l'égalité de ceux-ci, il faudra s'assurer que les limites, entre lesquelles ils sont renfermés, ont mêmes dimensions et mêmes dispositions, comme celles des objets sortis d'un même moule. Deux solides ou deux volumes sont dits équivalens, quand, sous des formes différentes, ils contiennent le même nombre de fois un
certain volume, pris pour unité de mesure ”

“ La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite; elle est le plus court chemin d'un point à un autre ; on la désigne par deux lettres placées à ses extrémités ; ainsi la ligne tracée ci-contre s'appellera la ligne droite AB, ou, pour abréger, la droite AB. Il résulte de la définition ci-dessus établie, qu'on ne peut faire passer qu'une seule ligne droite entre deux points donnés ; car, de l'un à l'autre, il n'y a nécessairement qu'un plus court chemin.
Dans les arts, une ligne droite se trace le plus habituellement avec une règle ”

“ Il résulte de tout ce qui précède un nouveau moyen pour s'assurer de la
perpendicularité d'une droite et d'un plan ; c'est de prendre sur le plan des points, situés à égales distances du pied de la perpendiculaire, et de vérifier si ces points sont également éloignés d'un même point de la perpendiculaire ; deux vérifications suffiront, pourvu que les deux lignes mesurées , à partir du pied de la perpendiculaire, forment entr'elles un angle voisin de l'angle droit. ”

“ Le volume de la sphère est égal au produit de sa surface par le tiers du rayon; en effet, si l'on remplace la surface d'une sphère par celle d'un polyèdre inscrit, d'un très-grand nombre de petites facettes, et qu'on réunisse les sommets de toutes ces facettes au centre, on formera une série de pyramides , dont la somme sera moindre que le volume de la sphère, mais s'en approchera d'autant plus que le polyèdre aura plus de facettes ; on pourra donc concevoir ces facettes assez multipliées, pour que la somme des pyramides correspondantes ne diffère pas du volume de la sphère ”

“ Par analogie avec le cercle, on appelle diamètres toutes les droites tracées dans le plan de l'ellypse par le centre O, et en effet chacune de celles-ci divise la courbe en deux parties égales.
L'ellypse n'est pas toujours déterminée par la longueur de son grand axe et par la position de ses foyers ; le plus souvent on remplace ces données par les longueurs des deux axes, comme par exemple, lorsqu'on veut tracer un cintre surbaissé, de forme ellyptique, dont le diamètre horizontal et la hauteur sous clef doivent avoir certaines dimensions ”

“ Un prisme est symétrique, lorsqu'il peut être divisé par un plan en deux parties symétriques ; ainsi les prismes droits sont symétriques par rapport à un plan perpendiculaire sur le milieu de leurs arêtes; ainsi les prismes, dont les bases sont des polygones symétriques, auront pour plans de symétrie les plans déterminés par les lignes de symétrie des bases. ”

“ Lorsqu'un dessin, comme par exemple une carte géographique, présente un grand nombre de lignes courbes, on en obtient facilement la copie , au moyen d'un procédé appelé methode par carreaux. Ce procédé consiste à diviser le dessin à copier en petits carrés égaux, ainsi que l'indique la figure ci-contre, à construire le même nombre de carrés semblables sur la surface qui doit recevoir la copie, et à dessiner, dans chacun de ces derniers, la portion de tracé qui se trouve dans le carré correspondant du dessin original. ”

“ On terminera ce qui concerne la sphère, en énonçant des propriétés de cette figure, analogues à celles que possède le cercle à savoir : que la sphère est plus grande que tout polyèdre de même surface, et qu'à égalité de volume, la sphère est le solide qui présente le moins de surface. ”

“ Dans le cas où l'on aurait à mesurer une portion de cône droit, ou de tronc de cône droit à bases parallèles, on conçoit qu'il faudrait multiplier par une arête la moitié du développement de l'arc ou de la somme des arcs formant la base ou les bases des portions de cône dont il s'agit. ”

“ Le mouvement d'une circonférence ou d'un arc autour d'un axe, qui ne passe pas par le centre de cette circonférence ou de cet arc, engendre des surfaces de révolution particulières, auxquelles on a donné le nom de surfaces annuitaires. Ainsi la circonférence verticale ABCD, produit, par sa révolution autour de l'axe vertical EF, une surface annuitaire complète, dont la figure première représente la coupe verticale, et la figure deuxième le plan ou projection horizontale ”

“ Les vases ronds en poterie se façonnent au
moyen d'un procédé tout à fait analogue à celui du tourneur : un plateau horizontal, auquel une pédale ou une manivelle imprime un mouvement de rotation autour d'un axe vertical, reçoit une quantité de pâte argileuse en rapport avec le volume de l'objet à modeler, et l'ouvrier lui donne la forme convenable à l'aide de ses doigts, qui remplissent ici le même office que la gouge ou le ciseau du tourneur. ”

“ Les droites concourantes SA, SB, SC, etc., suivant lesquelles se coupent les faces triangulaires latérales, sont les arêtes de la pyramide ; leur point de concours S en est le sommet; et l'on donne le nom de base au polygone ABCDE, qui sert de limite aux faces latérales ; enfin on appelle hauteur de la pyramide la perpendiculaire SF, abaissée du sommet sur le plan de la base.
Une pyramide prend les noms de triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, etc., selon que sa base est un triangle, un quadrilatère, un pentagone , etc. ”

“ On appelle segment circulaire, une portion de la surface du cercle , telle que ABC, comprise entre une corde AC et l'arc ABC soutendu; sa surface s'obtiendra en retranchant de celle du secteur correspondant ADCB la surface du triangle ADC, qui, réuni au segment, compose le secteur.
A l'aide des procédés précédemment exposés, on pourra mesurer toute espèce de surface plane, et l'on sait que ce mesurage est utile dans une foule de professions ”

“ Une droite est dite parallèle à un plan, lorsqu'elle ne peut rencontrer le plan, quelque loin qu'on prolonge l'une et l'autre, et il suffit qu'une droite ait deux de ses points à égales distances d'un plan, pour qu'elle lui soit parallèle ”

“ Lorsqu'on doit employer des feuilles planes flexibles pour construire une surface sphérique, comme lorsqu'il s'agit découvrir un dôme en feuilles de métal, d'exécuter un ballon en taffetas , etc. , il faut avoir recours à des méthodes d'approximation, attendu que la surface de la sphère n'est point développable. ”

“ Quant aux écrous, on les obtient au moyen de tarauds, vis d'acier, à filets tranchans, qu'on fait pénétrer en tournant dans les vides cylindriques, sur la surface intérieure desquels ces écrous doivent être entaillés ; les filets de vis de ces tarauds sont interrompus par des espaces vides, parallèles à leur axe, qui permettent le dégagement des copeaux enlevés ; il en est de même des coussinets de la filière.
Les vis ont une foule d'usages, bien connus, qu'il est inutile d'énumérer ”

“ Lorsqu'un prisme a deux plans de symétrie, l'intersection de ces plans est un axe de symétrie ; et si un troisième plan de symétrie venait couper l'axe de symétrie, le point d'intersection serait le centre de symétrie de la figure. La connaissance des plans, axes et centres de symétrie des figures est très-importante dans les arts ; car elle fournit les moyens de simplifier les tracés.
410. L'unité de mesure des solides ou volumes est le cube, figure ayant la forme d'un dé à jouer, et qu'on doit considérer comme un prisme droit à base carrée, d'une hauteur égale au côté de la base ”