Alexis Claude Clairaut

“ Pour distinguer les différentes espèces de prismes droits, on ajoute le nom du polygone qui leur sert de base. Le prisme hexagonal, par exemple, est celui dont la base est un hexagone.
19.
Deux prismes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.
Pour trouver la manière de mesurer toutes sortes de prismes droits, on remarquera d'abord que de deux prismes droits dont les bases sont égales, celui qui a une plus grande hauteur est plus grand en solidité, dans la même raison que sa hauteur est plus grande. ”

“ La surface produite par la révolution d'un polygone régulier a pour mesure celle d'un rectangle dont la base serait égale à la circonférence du cercle inscrit et dont la hauteur serait égale au diamètre du polygone. ”

“ Les sphères sont toutes semblables entre elles, ainsi que toutes les figures, soit solides, soit planes, qui n'ont besoin que d'une seule ligne pour être déterminées, comme le cercle, le carré, le triangle équilatéral, le cube, le cylindre circonscrit à la sphère, etc.
79.
En général, les solides semblables ne diffèrent que par les échelles sur lesquelles ils sont construits. ”

“ On ne voit pas quel serait le point au delà
duquel cet angle cesserait d'exister ; comment donc parviendra-t-on à en trouver la mesure? c'est une difficulté qu'on ne peut résoudre sans recourir à la géométrie de l'infini, dont tous les hommes ont au moins une idée imparfaite qu'il ne s'agit que de développer. ”

“ En partageant la circonférence du cercle en trois parties égales, on forme un triangle nommé communément triangle équilatéral ; en partageant la circonférence en quatre parties égales, on forme un carré : mais ces deux figures, les plus simples de tous les polygones, peuvent aisément se tracer, sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours à la division du cercle; c'est ce qu'on a déjà vu (9) pour le carré. Pour décrire un triangle équilatéral sur une base donnée AB (fig. 23) , il faut, des
points A et B comme centres, et d'une ouverture de compas égale à AB, tracer les arcs DCE et GCH ”

“ Si d'un point extérieur à un cercle on mène une tangente et une sécante, le carré de la tangente est équivalent au rectangle qui aurait pour base la sécante entière, et pour hauteur sa partie extérieure. ”

“ Pour comparer les rectangles, il faut savoir changer un rectangle quelconque en un autre qui lui soit équivalent, mais dont la hauteur soit différente ; car lorsque deux rectangles seront changés en deux autres de même hauteur, ils ne différeront plus que par leurs bases. Le plus grand sera celui qui aura la plus grande base, et il contiendra le plus petit autant de fois que sa base contiendra celle du plus petit rectangle ”

“ Il arrive souvent qu'on a besoin, ou de rassembler dans une même figure plusieurs figures qui lui soient semblables, ou de décomposer une figure en d'autres figures de même espèce ; ce qu'on peut faire en opérant d'abord sur les rectangles, puisque toutes les figures rectilignes ne sont que des assemblages de triangles, et que chaque triangle est la moitié d'un rectangle de même hauteur et de même base. ”

“ La surface d'une sphère est formée par la révolution d'un demi-cercle autour de son diamètre. On peut comparer la surface d'une sphère à celle qui est produite par un polygone régulier d'un nombre infini de côtés tournant autour de son diamètre. ”

“ Le cube est une figure solide terminée par six carrés. C'est la commune mesure des solides.
Pour mesurer la solidité des corps, il est naturel de les rapporter tous au solide le plus simple, ainsi que pour mesurer les surfaces on les a toutes rapportées au carré. Or, le solide le plus simple, c'est le cube, qui en effet est en solide ce que le carré est en superficie ”

“ La circonférence de cercle est la trace entière que décrit la pointe d'un compas qui tourne sur l'autre pointe ; le centre est le lieu de la pointe fixe ; le rayon est l'intervalle des deux pointes ; le diamètre est double du rayon.
Si une des traces, telle que PDM (fig. 4) , était continuée en O, en E, en R, etc., jusqu'à ce qu'elle revint au même point P d'où elle commence, la trace entière s'appellerait circonférence de cercle.
Quand on ne trace qu'une partie PDM de la circonférence, cette partie sera appelée arc de cercle ; le point fixe A est le centre du cercle ”

“ Mesure de la surface d'un polygone régulier ; l'apothème est la perpendiculaire abaissée du centre de la figure sur un de ses côtés.
Pour avoir la mesure d'un polygone régulier, on pourrait employer la méthode qu'on a déjà donnée (13) pour toutes les figures rectilignes ; mais pour y arriver plus rapidement, on partage le polygone en triangles égaux, qui aient tous le centre C pour sommet. ”

“ Par les figures dont nous nous sommes servis, il semblerait aussi que la démonstration précédente ne
conviendrait qu'aux segments plus grands qu'un demi-cercle ; mais il est facile de voir qu'un angle quelconque, tel que AFB (fig. 86) , qui aurait son sommet dans un segment plus petit qu'un demi-cercle, serait toujours composé de deux autres DFB et DFA, moitiés des angles BDG et ADG ; et par conséquent, que cet angle AFB
aurait pour mesure la moitié des deux arcs BG et AG, c'est-à-dire la moitié de l'arc AGB.
18.
La tangente au cercle est la ligne qui ne le touche qu'en un point. ”

“ La mesure du volume d'un cône quelconque est le produit de la base par le tiers de la hauteur.
Puisque les cônes sont considérés comme des pyramides, on aura pour solidité d'un cône quelconque le produit de la base par le tiers de sa hauteur. ”

“ Un angle obtus est plus grand qu'un angle droit.
Au contraire, on appelle angle obtus celui qui a plus de 90 degrés, comme FAB (fig. 47) .
57.
La somme des angles faits du même côté sur une ligne droite et qui ont le même sommet vaut 180 degrés.
Il est évident que tous les angles, comme GAF, FAE, EAC, CAB (fig. 47) , qu'on peut faire du même côté sur une ligne droite GB, et qui ont le même sommet A, sont égaux, pris ensemble, à 180 degrés, ou à deux angles droits, mesurés par la demi-circonférence. ”

“ Manière de décrire un polygone régulier, pentagone, hexagone, etc.
On décrit une circonférence de cercle, on la partage en autant de parties égales qu'on veut donner de côtés nu polygone; ensuite on mène les lignes AB, BD, DE, etc., par les points A, B, D, E, etc. (fig. 20, 21, 22) , qui partagent la circonférence : on a le polygone cherché, qu'on nomme ou pentagone, ou hexagone, ou heptagone, ou octogone, ou ennéagone, ou décagone, etc., suivant qu'il a ou cinq, ou six, ou sept, ou huit, ou neuf, ou dix, etc., côtés. ”

“ Pour savoir mesurer toutes sortes de pyramides, il suffit de trouver un procédé pour en mesurer une seule.
Ayant découvert que les pyramides qui ont même hauteur sont entre elles comme leurs bases, on doit prévoir que la mesure de leur solidité ne renferme plus que très-peu de difficulté. ”

“ La méthode que nous venons de donner pour circonscrire un cercle à un triangle étant appliquée successivement à différents triangles ACB, AEB et AGB (fig. 80) , plus ou moins élevés à l'égard de leur base AB, on s'aperçoit qu'en passant d'un triangle ACB, dont l'angle au sommet est fort aigu, à d'autres triangles AEB et AGB, dont l'angle au sommet est plus
ouvert, le centre du cercle circonscrit s'approche continuellement de AB, et que ce centre passe ensuite audessous de AB lorsque l'angle au sommet AGB a atteint une certaine ouverture. ”

“ Il est évident qu'il n'est autre chose que la droite BS qui touche le cercle en un seul point B, sans le rencontrer en aucun autre endroit, et que, pour cette raison, on appelle tangente.
De plus, il est clair que pendant que la ligne EB diminue continuellement jusqu'à s'anéantir à la fin, la droite AE, qui devient successivement AF, AH et AQ, etc., s'approche toujours de AB, et qu'elle se confond enfin avec elle : donc l'angle à la circonférence AEB, après être devenu AFB, AHB et AQB, devient en dernier lieu l'angle ABS, fait par la corde AB et par la tangente BS ”

“ Ajoutons à cela que chaque nouvel angle BAC qu'on prend de cette façon demande qu'on transporte de nouveau l'instrument sur le papier, et que la seule ressource qu'on ait pour comparer deux angles est de les poser
l'un sur l'autre, sans que, par ce moyen, on puisse avoir au juste ni leur rapport ni leur grandeur absolue.
52.
Un angle a pour mesure l'arc de cercle que ses côtés interceptent. ”

“ Ce qui précède est facile à imaginer après la démonstration que nous avons donnée de l'égalité des prismes qui ont même hauteur ; cependant la similitude entre la tranche quelconque IKLMN d'une pyramide et la base BCDEF et l'égalité des tranches IKLMN et iklmn sont de ces propositions qui, quoique sensibles pour tout le monde, ont à la rigueur besoin d'une démonstration : or, pour trouver cette démonstration, on est obligé d'entrer dans plusieurs considérations sur la similitude des figures solides. ”

“ Pour inscrire un pentagone régulier, il faut partager le rayon du cercle en moyenne et extrême raison, et porter le plus grand segment de ce rayon dix fois comme corde sur la circonférence.
dont on aura besoin, que faudra-t-il faire alors ? Quelle méthode faudra-t-il suivre pour remédier à l'inconvénient du terrain? Celle qui se présente d'abord à l'esprit, c'est de choisir quelque terrain plat, sur lequel on puisse opérer facilement, et de décrire sur ce terrain des triangles égaux aux triangles ABC, ACD, etc. ”

“ La proportionnalité entre les surfaces des corps semblables et les carrés de leurs côtés homologues est si générale, qu'elle s'applique autant aux corps qu'on ne sait pas mesurer qu'à ceux dont on connaît la mesure. ”

“ Un nombre est multiple d'un autre lorsqu'il le contient plusieurs fois exactement. Le côté d'un carré et sa diagonale sont incommensurables.
En effet, on démontre, en arithmétique, que si deux nombres ne sont pas multiples l'un de l'autre, c'est-àdire si l'un ne contient pas l'autre un nombre exact de fois, le carré du plus grand ne sera pas non plus multiple du carré du plus petit. Ainsi 5, par exemple, ne pouvant pas se diviser exactement par 4, son carré 25 ne pourra pas non plus se diviser par 16, carré de 4. ”

“ Il arrive souvent que, dans la pratique, il faut mesurer la distance du lieu F (fig. 42 et 43) , où l'on est placé, à un autre lieu D où quelque obstacle empêche qu'on ne se transporte ; nouveau problème, mais dont la solution est déjà donnée d'avance dans le numéro qui précède celui-ci : car, puisque pour mesurer DF on n'a eu besoin que de la similitude des triangles def et DEF, il est clair que si l'on mesure une base quelconque EF, et que des points F et E on puisse apercevoir le point D, le problème sera résolu, c'est-à-dire qu'on aura la distance FD.
51. ”

“ Tout ce qui vient d'être dit sur les figures semblables peut se réduire à ce seul et unique principe, que les figures semblables ne sont différenciées que par les échelles sur lesquelles elles sont construites. ”

“ La sphère est le corps dont la surface a tous ses points également éloignés du centre.
Le dernier des corps solides dont nous traiterons se nomme sphère ou globe ; c'est celui dont la surface a tous ses points également éloignés d'un même point qui en est le centre. On a souvent besoin de mesurer cette surface. On voudra savoir, par exemple, ce qu'il faudrait ”

“ Le produit qui résulte de la multiplication d'un nombre par lui-même est le carré de ce nombre. La racine d'un carré est le nombre qui, multiplié par luimême, donne le carré.
L'addition des figures semblables fournit une preuve décisive de la nécessité d'abandonner les échelles, quand on veut faire les opérations d'une manière qui puisse se démontrer rigoureusement. ”

“ Le rectangle est une figure de quatre côtés perpendiculaires les uns aux autres, et le carré est un rectangle dont les côtés sont égaux.
On a encore besoin de tracer des perpendiculaires dans une infinité d'autres cas. On sait, par exemple, que la régularité des figures telles que ABCD, FGHI (fig. 2 et 3) ,
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appelées rectangles, et composées de quatre côtés per¬
pendiculaires les uns aux autres, engage à donner leurs formes aux maisons, aux jardins, aux chambres, aux pans de mur, etc. ”

“ Quoique la Géométrie soit par elle-même abstraite, il faut avouer cependant que les difficultés qu'éprouvent ceux qui commencent à s'y appliquer viennent le plus souvent de la manière dont elle est enseignée dans les Éléments ordinaires. ”

“ Comme nous avons vu (21) que la solidité d'un prisme est le produit de sa base par sa hauteur, il est clair, par le numéro précédent, que les pyramides seront toujours le tiers des prismes qui auront même base et même hauteur. ”