Géométrie euclidienne

“ C’est que la géométrie euclidienne, comme toute la science contemporaine, n’opère que sur des quantités, sur des chiffres qui partagent notre vision du monde en tranches, qui découpent la nature en classes et en catégories. ”

“ Nous avons d’abord montré (p. 73) que l’expérience ne peut pas justifier entièrement la géométrie euclidienne, parce que, toute mesure n’étant qu’approchée, les postulats n’auraient qu’une vérité approximative, comme la loi de Mariotte, et seraient comme elle soumis à une perpétuelle revision. Ainsi l’expérience ne nous ferait jamais connaître qu’un espace approximativement euclidien ; elle n’explique donc pas l’idée que nous avons d’un espace rigoureusement euclidien. ”

“ Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode.
Or la géométrie euclidienne est et restera la plus commode :
1o Parce qu’elle est la plus simple ; et elle n’est pas telle seulement par suite de nos habitudes d’esprit ou de je ne sais quelle intuition directe que nous aurions de l’espace euclidien ”

“ Dans un monde conforme à la géométrie euclidienne, la quadrature du cercle demeure impossible, même théoriquement. Dans l’univers réel où nous passons, c’est un problème tout résolu à la fois par la théorie et par la pratique. ”

“ Si l’un de ces univers est notre monde euclidien, ce que ses habitants appelleront droite, ce sera notre droite euclidienne ; mais ce que les habitants du second monde appelleront droite, ce sera une courbe qui jouira des mêmes propriétés par rapport au monde qu’ils habitent et par rapport aux mouvements qu’ils appelleront mouvements sans déformation ; leur géométrie sera donc la géométrie euclidienne, mais leur droite ne sera pas notre droite euclidienne. ”

“ Et comme notre intelligence est destinée à la science et non à la philosophie, à la connaissance des parties et non à la connaissance du tout, il en est des systèmes philosophiques comme des systèmes scientifiques, de la dialectique comme de la géométrie. La géométrie euclidienne est l’une des géométries possibles, et la dialectique d’un système est l’une des dialectiques possibles. Mais comme la géométrie est une science du possible, la vérité de la géométrie euclidienne n’est nullement entamée par la possibilité d’autres géométries. ”

“ Et comme la géométrie axiomatique seule ne contient pas d’affirmations sur la réalité accessible à l’expérience, mais seulement la géométrie axiomatique jointe aux propositions physiques, il devrait être possible et raisonnable — quelle que soit la nature de la réalité — de conserver la géométrie euclidienne. Car on se décidera plus volontiers à modifier les lois physiques que la géométrie axiomatique euclidienne, si des contradictions viennent à se manifester entre la théorie et la pratique. ”

“ Au-dessous de la vision habituelle à trois dimensions, on peut également en concevoir de plus simples. Oui, certes, la géométrie euclidienne est pour nous la façon actuellement la plus commode de saisir l’univers, étant données la construction de notre corps et nos habitudes séculaires, mais ce n’est pas pour cela une forme universelle et indispensable de sentir. ”

“ L'intérêt pour la géométrie non euclidienne augmenta tout à coup au cours des dernières années, lorsque les progrès de l'astronomie laissèrent ; entrevoir que la géométrie elliptique est peut-être plus apte que la géométrie euclidienne à rendre compte des faits observés. ”

“ Le précédent Travail ne traite essentiellement que les problèmes de la Géométrie euclidienne, c’est-à-dire qu’il n’y est discuté que les questions qui se présentent quand on admet l’exactitude de l’axiome des parallèles. Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. ”

“ Puisque plusieurs géométries sont possibles, est-il certain que ce soit la nôtre qui soit vraie ? L’expérience nous apprend sans doute que la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits ; mais c’est parce que nous n’opérons que sur des triangles trop petits ; la différence, d’après Lobatchevsky, est proportionnelle à la surface du triangle : ne pourra-t-elle devenir sensible quand nous opérerons sur des triangles plus grands ou quand nos mesures deviendront plus précises ? La géométrie euclidienne ne serait ainsi qu’une géométrie provisoire. ”

“ L’existence des uns n’est pas plus douteuse que celle des autres. Donner aux côtés des premiers le nom de droites, c’est adopter la géométrie euclidienne ; donner aux côtés des derniers le nom de droites, c’est adopter la géométrie non-euclidienne. De sorte que, demander quelle géométrie convient-il d’adopter, c’est demander : à quelle ligne convient-il de donner le nom de droite ?
Il est évident que l’expérience ne peut résoudre une pareille question ”

“ Cette forme doit être invariante pour toutes les transformations du groupe de la géométrie. Cette invariance de la forme des relations qui traduisent les lois de la géométrie, malgré le changement des coordonnées, correspond à une réalité indépendante du système d’axes, à l’espace de la géométrie euclidienne. L’énoncé des lois sera, par conséquent, plus simple dans le langage euclidien. Le principe de relativité de l’espace est l’affirmation d’une telle invariance et de l’existence de la réalité extérieure de l’espace. ”

“ Lors même qu’on ne considérerait qu’un seul espace non euclidien dont on ferait varier le paramètre, on serait obligé pour cela de l’enfermer dans un espace homogène à quatre dimensions, car la « majoration proportionnelle » d’un espace n’est possible, nous le savons, que dans un espace homogène. M. Lechalas a donc parfaitement raison de conclure que le principe de relativité est satisfait « par la doctrine d’ensemble de la géométrie générale », car cette doctrine est en somme une géométrie euclidienne à quatre dimensions. ”

“ Sans changer l’ensemble de ces notions, on ne peut, semble-t-il, remplacer le groupe euclidien par un autre, et les exemples cités de transport d’un homme dans un autre milieu (où cet homme commencerait par mourir) sont plus pittoresques que probants. On retombe ainsi, sous un autre point de vue, sur les idées de Gauss qui considérait comme un fait expérimental que la courbure de notre espace est nulle, et regardait, contrairement à Poincaré, que la géométrie euclidienne est plus vraie que les géométries non euclidiennes. ”

“ Bref, dans l’univers, les circonférences réelles tracées autour des masses de matières ont, par rapport à leur diamètre, une longueur plus petite que dans la géométrie euclidienne. La différence n’est d’ailleurs pas bien grande en fait, mais elle est réelle. Si, par exemple, on place une masse d’une tonne au centre d’un cercle de 5 mètres de rayon, le nombre qui exprime le rapport de la circonférence de ce cercle à son diamètre différera réellement de la valeur euclidienne de π de moins d’un millionième de milliardième. ”

“ Car nous ne sommes pas en Géométrie Euclidienne, mais dans l’Espace-Temps déformé par le voisinage du Soleil, et devenu non Euclidien. Dans ce milieu, la Terre obéit sans obstacle à la loi de l’inertie : elle suit la ligne naturelle d’Intervalle maximum ; de même que dans un milieu Euclidien, non déformé, la loi d’inertie lui fait suivre une ligne droite, d’un mouvement uniforme. ”

“ Mais à mesure qu’on avance dans la construction, il devient de plus en plus manifeste qu’il n’est pas possible d’obtenir une couche ininterrompue de petits disques dans le sens indiqué, comme ce devrait être le cas d’après la géométrie euclidienne du plan. De cette façon, des êtres même qui ne quittent jamais la surface de la sphère, et qui ne peuvent non plus regarder de la surface sphérique dans l’espace à trois dimensions, pourraient constater, en expérimentant seulement avec de petits disques, que leur espace à deux dimensions n’est pas euclidien mais sphérique. ”

“ C’est encore en méditant plus profondément qu’on n’avait fait avant lui sur les réalités sensibles, sur les fondements expérimentaux de la géométrie qu’Einstein est arrivé à la conclusion que le monde où nous vivons n’est qu’à peu près conforme à la géométrie euclidienne. Cette conclusion s’est trouvée vérifiée encore par des faits : déviation des rayons lumineux par la pesanteur, etc. J’ai expliqué déjà ces choses, et n’en veux retenir que ceci : la théorie de la Relativité part de réalités sensibles pour aboutir à d’autres réalités sensibles. ”

“ Poincaré a toujours soutenu — bien que, sur ce point, il n’ait pas tout de suite développé sa pensée, — que les conventions adoptées par les savants leur sont suggérées du dehors. Ne venons-nous pas de dire qu’à nous, qui vivons sur la terre et non dans le monde fictif de Poincaré, la géométrie euclidienne s’impose au point de vue pratique parce qu’étant données les conditions de notre globe, elle est incontestablement celle qui nous permet d’expliquer et de prévoir les phénomènes avec le moins d’effort. ”

“ Il y a donc quelque chose d’autre que le choix d’une unité commode dans l’affirmation universelle du postulat d’Euclide, et ce quelque chose est un aspect de la pensée géométrique que Poincaré a intentionnellement laissé dans l’ombre, parce qu’il voulait mettre en lumière l’aspect opposé : la libre activité spirituelle dans l’élaboration de la science. Il y a dans la géométrie euclidienne un facteur d’objectivité et de nécessité qui ne se retrouve dans aucun système de métrique, ni dans aucune terminologie conventionnelle. ”

“ Il n’y a aucune raison pour faire au postulat d’Euclide un sort privilégié parmi les axiomes. Ceux de la géométrie projective ne sont ni plus ni moins a priori que lui.
Outre la forme euclidienne et la forme lobatcheffskienne, beaucoup d’autres formes d’extériorité restent donc possibles.
Qui décidera entre l’espace et ces « autres formes extériorité, qui, si elles existaient, pourraient remplir le même office avec une égale efficacité [6] » (§ 192) ? ”

“ À cette critique et à cette objection, Riemann et Beltrami répondirent en montrant que les théories géométriques dites non-euclidiennes peuvent toujours être considérées, si on le veut, comme des théories de géométrie euclidienne. Il n’y a que quelques dénominations à changer (ce qui n’altère nullement l’enchaînement des théorèmes) pour que les propriétés des droites non-euclidiennes deviennent tout simplement les propriétés de courbes d’un certain type tracées sur une surface d’un certain type. ”

“ La seule chose qu’on puisse énoncer objectivement sur les ombres des petits disques est précisément qu’elles se comportent, géométriquement, exactement de la même façon que de petits disques rigides sur la surface de la sphère dans le sens de la géométrie euclidienne. ”

“ N'existe-t-il pas de critériums observables qui permettent de trancher la question de savoir si la géométrie du monde qui nous entoure est euclidienne ou non euclidienne ? La droite elliptique, il est vrai, ne possède aucun point à l'infini, et la droite hyperbolique en possède deux, mais, tant qu'on n'aura pas parcouru une droite dans toute sa longueur, il ne sera pas possible de savoir, par une constatation directe, si cette droite possède un ou deux points à l'infini, ou si elle n'en possède aucun.
Ne pouvons-nous pas constater s'il existe réellement des droites parallèles ? ”

“ Les lois qui régissent les phénomènes physiques sont donc intimement liées à celle de la gravitation, laquelle n’est qu’une loi de la structure géométrique de l’Univers.
La Physique est ramenée à la Géométrie. Beaucoup de Relativistes y voient même une identification. Pour les comprendre, rappelons-nous que leur Géométrie est la Géom' : trie d’un Espace physique, Espace constitué par an substratum universel, et tout différent de 1 Espace idéal conçu par les Philosophes et fondement de la géométrie Euclidienne. ”

“ Quand je dis que des corps se meuvent approximativement suivant le groupe euclidien, je veux dire suivant un groupe ayant même structure (Zusammensetzung) que le groupe euclidien. Or de semblables groupes, on peut en rencontrer en étudiant la géométrie ordinaire, ou encore en étudiant la géométrie non-euclidienne ou la géométrie à quatre dimensions ; ou enfin en étudiant des transformations n’ayant rien à faire avec l’espace. ”

“ Même, selon Poincaré, les règles de l’addition et de la multiplication ne sont que des « conventions », que nous pouvons changer en une certaine mesure, de sorte que la notion de nombre peut s’élargir indéfiniment. Quant au théorème classique sur la somme des angles d’un triangle, tout le monde sait aujourd’hui qu’il implique un postulat, le postulat d’Euclide, et que sa vérité est bien conditionnelle et relative. Une géométrie non-euclidienne est non seulement possible, mais trouve dès à présent son application dans la physique de la relativité. ”

“ En effet, si le monde est euclidien, c'est-à-dire si les solides (donc aussi les insectes) se déplacent en conservant une mesure euclidienne constante, l'insecte sur la sphère conservera une mesure euclidienne invariable et, par conséquent, son ombre conservera une mesure elliptique constante, comme le montre la géométrie analytique. Le frère jumeau étant, lui aussi, un solide, se déplace dans ce monde en conservant une mesure euclidienne invariable et, par conséquent, l'ombre et le frère jumeau ne se déplaceront pas de la même façon, ce qui est conforme à ce que montre l'expérience. ”

“ Et si cet accord n’avait pas lieu, n’aurait-on pas encore le droit de dire que l’expérience a prouvé la fausseté de la géométrie non euclidienne.
Il est aisé de voir que cette crainte est vaine ; en effet, pour qu’on puisse appliquer la loi de relativité en toute rigueur, il faut l’appliquer à l’univers entier. ”