Riemann

“ Il offrit à Riemann de le conduire dans une auberge où il pourrait vivre à bon marché en se bornant au strict nécessaire.
— Vous auriez pu, dit le matelot, vous loger chez des gens qui auraient épuisé votre bourse, et vous contraindre de plus à conduire l'un de vos enfants au marché des esclaves. Tout le monde dans ce paysci, ne songe qu'au gain, et tous les moyens leur sont indifférents. ”

“ Riemann alimenta son feu, chose facile, car les menues branches ne manquaient pas en cet endroit qui paraissait n'avoir jamais été foulé par le pied de l'homme. Riemann s'assit à l'entrée de la hutte, et Phylax, le fidèle gardien de nos émigrants, qui les avait suivis dans leur voyage, se coucha aux pieds de son maître, et lui léchait les mains, en remuant la queue, comme s'il voulait dire : »
« Je veux veiller avec vous. » ”

“ Parmi les géomètres allemands de ce siècle, deux noms surtout sont illustres ; ce sont ceux des deux savants qui ont fondé la théorie générale des fonctions, Weierstrass et Riemann. Weierstrass ramène tout à la considération des séries et à leurs transformations analytiques ; pour mieux dire, il réduit l’Analyse à une sorte de prolongement de l’Arithmétique ; on peut parcourir tous ses Livres sans y trouver une figure. Riemann, au contraire, appelle de suite la Géométrie à son secours, chacune de ses conceptions est une image que nul ne peut oublier dès qu’il en a compris le sens. ”

“ Alors, en vertu des équations différentielles susdites, chaque partie de fonction, aussi bien que , se présente comme un potentiel dans l’espace relatif aux deux variables et et l’on peut indiquer, d’une manière abrégée, les développements de Riemann en disant qu’il fait l’application, à ces parties de fonction, des théorèmes fondamentaux de la théorie du potentiel. Son point de départ prend ainsi racine dans le domaine de la Physique mathématique. Vous voyez donc, Messieurs, que, même dans le domaine des Mathématiques, l’individualité joue un grand rôle. ”

“ Vendre mon fils ! s'écria Riemann, en se plaçant entre Conrad et le capitaine. Tant qu'il me restera un souffle de vie, je m'y opposerai, ajoutat-il avec fermeté. Ce pays ne doit pas être dépourvu de lois et de justice ; on n'y vendra pas un homme libre. ”

“ Mais qu’arrive-t-il relativement aux autres types ? À ce point de vue, ce Mémoire de Riemann est une première contribution très importante. Riemann y fait voir les modifications bien remarquables qui doivent être apportées au problème de contour bien connu de la théorie du potentiel et à sa solution par l’entremise de la fonction de Green, afin que le développement subséquent reste légitime dans le cas des équations différentielles du type hyperbolique. ”

“ Il est devenu nécessaire que la géométrie sur les courbes cherche à s’assimiler toutes les méthodes et conceptions de Riemann dans ce qu’elles ont de plus profond. Un premier pas déjà fait est la construction, sur la courbe même, d’une sorte de contre-partie, d’image de la surface de Riemann à deux dimensions, ce qui peut se faire de bien des manières. Le progrès qui reste à faire serait d’apprendre à traiter alors les recherches qui se présentent par les méthodes de la théorie des fonctions, au moyen de cette image de la surface de Riemann. ”

“ C'est Riemann qui a reconnu le rôle important des points multiples, et révélé par ses profondes découvertes une correspondance imprévue et du plus haut intérêt entre la Géométrie et les théories abstraites de l'Algèbre et du Calcul intégral. De nombreuses recherches se sont produites dans la voie ouverte par le grand analyste, pour approfondir et élucider beaucoup de points difficiles; mais la part la plus considérable dans les progrès accomplis appartient au Mémoire de notre Confrère. On y remarque, avec le génie de l'invention. ”

“ Remarquez, d’ailleurs, que la Théorie du potentiel, indispensable aujourd’hui comme instrument d’un emploi universel dans l’étude des phénomènes de l’électricité et des autres branches de la Physique mathématique, était encore presque nouvelle à l’époque de Riemann. Green avait, il est vrai, publié son Ouvrage fondamental, en 1828, mais ce travail était resté longtemps dans l’oubli. Vient Gauss en 1839. La propagation de la théorie, le développement ultérieur des principaux théorèmes, en Allemagne du moins, est essentiellement l’œuvre des leçons de Dirichlet. ”

“ Nous avons vu de nos jours une voie toute différente ouverte par Riemann, fondée sur les principes propres au grand géomètre pour résoudre le problème de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques quelconques, pour obtenir aussi l'expression générale des fonctions d'un nombre quelconque de variables, à un nombre double de périodes simultanées, et Weierstrass poursuivre par d'admirables travaux la marche en avant dans ces questions les plus élevées et les plus difficiles de l'Analyse. ”

“ Tout se passa avec la plus grande régularité ; mais pas une parole bienveillante ou superflue ne fut prononcée; il y avait trop à faire pour ne pas mettre le plus de brièveté possible dans toutes ces opérations.
Le nom de Riemann fut enfin prononcé. Le gouverneur mit la main dans la boîte et dit :
«Riemann, cultivateur de Wurtemberg, en Allemagne, avec trois enfants : dans le district des Diamants, sur le bord de la rivière de Gigitonhonha.» ”

“ Eh bien, la géométrie de Riemann, c’est la géométrie sphérique étendue à trois dimensions. Pour la construire, le mathématicien allemand a dû jeter par-dessus bord, non seulement le postulatum d’Euclide, mais encore le premier axiome : Par deux points on ne peut faire passer qu’une droite. ”

“ M. Appell a ouvert un champ nouveau dans la théorie des fonctions d'une variable, en donnant l'origine d'une catégorie de transcendantes, douées de propriétés extrêmement remarquables, dont il a fait une étude approfondie et qui sont appelées à jouer un grand rôle. C'est, à notre époque, un des plus importants résultats de l'Analyse que ces découvertes de nouvelles fonctions auxquelles s'attachent les noms illustres d'Abel et de Jacobi, de Gopel, de Rosenhaim, de Weierstrass et Riemann. M. Appell s'est surtout inspiré de Riemann ”

“ Cette propriété permet de former immédiatement des fonctions non intégrables au sens de Riemann et cependant sommables. Soient et deux fonctions continues, n’étant pas toujours nulle ; une fonction qui ne diffère de qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle partout dense et qui en ces points est égale à est sommable sans être intégrable au sens de Riemann. Exemple : La fonction égale à si irrationnel, égale à si rationnel. Le procédé de formation qui précède montre que l’ensemble des fonctions sommables a une puissance supérieure au continu. ”

“ L’Analysis Situs est une science très importante pour le géomètre ; elle donne lieu à une série de théorèmes, aussi bien enchaînés que ceux d’Euclide ; et c’est sur cet ensemble de propositions que Riemann a construit une des théories les plus remarquables et les plus abstraites de l’analyse pure. Je citerai deux de ces théorèmes pour en faire comprendre la nature : deux courbes fermées planes se coupent en un nombre pair de points ”

“ On sait, de plus, que la solution des questions ainsi posées par la physique a encore une très grosse importance au point de vue mathématique, comme si ces questions traduisaient l’essentiel d’un mode de raisonnement, d’une forme de pensée qui trouve son expression la plus claire dans le calcul des variations : elles se retrouvent dans la théorie des fonctions analytiques d’une variable imaginaire et « Riemann a pu fonder sur la possibilité du problème de Dirichlet sa magnifique théorie des fonctions abéliennes ». ”

“ C’est une branche très difficile de la science mathématique, où l’on étudie les relations qui subsistent dans une figure lorsqu’on la déforme d’une manière quelconque sans lui imposer ni déchirure ni duplicature. On sait le magnifique usage que Riemann a fait de l’Analysis situs dans ses travaux sur les fonctions algébriques. ”

“ Voilà qui montre bien que le postulat d’Euclide n’est qu’une sorte d’hypothèse. Mais il y a des géomètres qui n’ont pas admis ce postulat, Riemann par exemple qui le remplace par celui-ci : « Par un point on ne peut faire passer aucune ligne droite parallèle à une droite donnée, c’est-à-dire aucune ligne qui ne la rencontre jamais. » Et là-dessus il fonde une géométrie parfaitement cohérente, et dont les théorèmes s’enchaînent aussi rigoureusement que ceux (d’ailleurs fort différents) de la géométrie euclidienne. ”

“ Toutes ces larmes me donnent des nausées. Ce jeune homme va me suivre ; quant à vous, peu m'importe ce que vous deviendrez. Partons, je vais vous conduire au marché, car j'ai besoin de rentrer de suite dans mes avances.
— Encore un mot, capitaine, dit Riemann en se mettant entre cet homme et Conrad. J'ai cent cinquante francs, prenez-les et moi par dessus le marché. Je puis encore travailler, et je suis plus vigoureux que vous ne le pensez peut-être. Soyez humain, et laissez à mes autres enfants le frère qui peut seul les protéger sur cette terre étrangère. ”

“ Riemann ne tarda point à apercevoir une bande de soixante-dix à quatre-vingts individus de tout âge. Chacun portail un paquet, soit sur le dos, soit sous le bras. Les mères conduisaient par la main ceux de leurs enfants qui pouvaient à peine marcher, en priant les autres émigrants de ralentir le pas, afin qu'elles ne restassent point en arrière. ”

“ Toute la synthèse de la théorie de la relativité est fondée sur cette conception brillamment vérifiée, comme on sait, dans ses conséquences, que l’Univers réel n’est à peu près euclidien que dans les régions de l’espace éloignées des masses gravitantes, et que partout où il y a de la matière, celle-ci modifie le caractère géométrique de l’espace, et apparente celui-ci à la géométrie de Riemann. ”

“ Nous avons ainsi un nouveau moyen à notre disposition pour la définition des fonctions de . Riemann développe, à ce point de vue, son merveilleux théorème : qu’il existe toujours une fonction par l’entremise de laquelle un domaine quelconque, simplement connexe, du plan , est représentable sur un domaine quelconque, simplement connexe, donné du plan . ”

“ On connaissait bien des fonctions, celle de Cauchy, par exemple, , qui, en certains points, n’avaient pas de dérivée ; mais ces points étaient exceptionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense ; dans l’exemple de Riemann, au contraire, il y a des points sans dérivée dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularités nous donnera autant d’exemples que nous le voudrons de fonctions analogues à celles de Riemann ; si les sont tous les nombres rationnels, est une ces fonctions.
L’intégration fournit des fonctions qui n’ont pas toujours une dérivée. ”

“ Faisons une coupure de la partie négative de l'axe des abscisses, l'intégrale devient une fonction uniforme holomorphe de g, comme le second membre ; le théorème de Riemann prouve donc que l'égalité, démontrée seulement pour g réel et positif, a lieu dans tout le plan, moins la coupure. ”

“ À cette critique et à cette objection, Riemann et Beltrami répondirent en montrant que les théories géométriques dites non-euclidiennes peuvent toujours être considérées, si on le veut, comme des théories de géométrie euclidienne. Il n’y a que quelques dénominations à changer (ce qui n’altère nullement l’enchaînement des théorèmes) pour que les propriétés des droites non-euclidiennes deviennent tout simplement les propriétés de courbes d’un certain type tracées sur une surface d’un certain type. ”

“ Claude et Riemann furent donc conduits auprès de l'impératrice, tandis qu'elle se promenait dans le grand jardin du palais, comme elle l'avait ordonné;
Combien le coeur de Riemann était ému en entrant dans ce jardin où son bien-aimé Conrad était' esclave ! Parviendra-t-il à le voir, à le presser une fois encore sur son coeur paternel ! Les regards de Riemann cherchèrent partout ce fils chéri... Ils ne
— 114 - rencontrèrent que des nègres occupés de divers travaux. ”

“ L’étude des fonctions algébriques revient essentiellement à celle des courbes algébriques, dont les propriétés font le sujet d’étude des géomètres, qu’ils se comptent parmi les adeptes de la Géométrie analytique, où les formules jouent le rôle principal, ou bien de la Géométrie synthétique, au sens de Steiner et de von Staudt, où l’on étudie la manière dont sont engendrées les courbes, à l’aide de séries de points ou de faisceaux de rayons. Le point de vue essentiellement nouveau qu’a introduit Riemann dans cette théorie est celui de la transformation générale univoque. ”

“ Alors, il résulte du Mémoire de Riemann : 1° Que f (s) est une fonction holomorphe dans tout le plan et qui jouit de la propriété
/ (! — *) =/ (*) ; 2° Que les zéros de f (s) ont leur partie réelle comprise entre o et 1; 3° Que f (s) est réel et positif tant que s est réel. ”

“ On peut donc affirmer : pratiquement, la ligne droite est le chemin parcouru par la lumière dans un milieu homogène. Dire qu’un objet est droit, c’est dire que, dans un tel milieu, la ligne qui le délimite coïncide sur toute sa longueur avec un rayon lumineux.
Mais alors nous entrevoyons le moyen de trouver un critère expérimental qui puisse départager le conflit qui surgit tout à l’heure entre le riemannien et l’euclidien, je veux dire entre le savant qui soutenait que la vraie géométrie est celle de Riemann et l’autre pour qui c’est la géométrie d’Euclide. ”

“ Pour établir cette proposition, qu’un physicien pourrait être tenté de vérifier par l’expérience, Riemann s’était contenté d’un raisonnement que Gauss avait employé autrefois, que Dirichlet avait admis ; c’est pour cela que Riemann donne à son postulat le nom de principe de Dirichlet. Mais l’exactitude de sa démonstration, qui devait être complétée plus tard par M. Hilbert, fut contestée par plusieurs géomètres, au nombre desquels il faut compter Weierstrass. ”

“ La tentative est intéressante au point de vue spéculatif pur. Elle est incapable de faire cadrer les pseudo-géométries avec la physique, pour laquelle il n'y a qu'une forme de droite.
Riemann, par convention verbale, appelle droites, les arcs de grand cercle, à l'aide desquels il construit les figures codifiées par son postulat.
« La géométrie de Riemann, dit Borel, consiste à appeler droite les grands cercles tracés sur la sphère (2) ... » ”