Carl Friedrich Gauss

“ Si l’on connaît une transformation d’une forme en une autre qui lui est équivalente, on pourra déduire de celle-là toutes les transformations semblables, pourvu qu’on connaisse toutes les solutions de l’équation indéterminée , dans laquelle est le déterminant des formes et , et le plus grand diviseur commun des nombres (no 162) . Nous allons attaquer, en supposant positif, ce problème que nous avons déjà résolu pour le cas de négatif. ”

“ Si la valeur supposée s’écartait encore trop de la vraie, pour qu’il fût impossible d’admettre l’hypothèse énoncée plus haut, comme suffisamment exacte, on trouvera certainement par cette méthode une valeur beaucoup plus approchée, à l’aide de laquelle on recommencera la même opération, que l’on peut répéter même de nouveau plusieurs fois si l’on trouve cela nécessaire. ”

“ On cherchera alors les valeurs de l’expression , et si l’on en trouve, les facteurs de se déduiront absolument de la même manière que plus haut ; mais si l’on n’obtient aucunes valeurs, c’est-à-dire, si n’est pas résidu de , ne sera certainement ni un nombre premier, ni une puissance d'un nombre premier. Quand, dans ce cas, on voudra connaître les facteurs eux-mêmes, il faudra recommencer l’opération avec une autre valeur de D, ou recourir à une autre méthode. ”

“ Ainsi tout nombre de la forme où est impair, c’est-à-dire tout nombre de la forme ou appartient à l’exposant
91. Il suit de là qu’il n’y a pas dans ce cas-ci de racines primitives, dans le sens que nous avons donné à cette expression, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de nombres dont la période renferme tous les nombres premiers avec le module, et plus petits que lui ; mais on voit facilement qu’il arrive ici quelque chose d’analogue. En effet toute puissance impaire d’un nombre de la forme est elle-même de la forme , et toute puissance paire est de la forme ”

“ Pour qu’on puisse employer avec sûreté les quatre dernières de ces méthodes, les positions de la Terre dans les trois observations ne doivent pas être trop voisines des nœuds de l’orbite : d’un autre côté, l’emploi de la première méthode exige seulement que la même condition existe dans les deux observations extrêmes, ou plutôt (puisque le lieu moyen peut être substitué à l’un quelconque des lieux extrêmes) que, des trois positions de la Terre, il ne s’en trouve pas plus d’une dans le voisinage des nœuds. ”

“ Il est évident que les formules deviendront beaucoup plus simples, si s’évanouissent. Par la combinaison des formules IX et X, on obtiendra non-seulement mais aussi et de la même manière, non-seulement mais aussi au moyen des équations XI et XII : les valeurs de ces latitudes comparées à celles fournies par l’observation (qui n’entrent pas dans le calcul) , si elles sont données, montreront avec quel degré de précision les latitudes extrêmes peuvent être représentées au moyen des éléments qui s’adaptent aux six autres données. ”

“ Au reste, le principe d’après lequel la somme des carrés des différences entre les quantités observées et les quantités calculées doit être un minimum, peut encore s’établir sans recourir au calcul des probabilités, comme il suit.
Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des observations, on peut déterminer les premières de manière qu’elles satisfassent aux secondes. Mais lorsque le premier nombre est le plus petit des deux, on ne peut obtenir un accord absolu lorsque les observations ne sont pas douées d’une précision absolue. ”

“ Or on voit facilement que la constante doit être négative, pour que puisse devenir maximum : posons donc
et comme, d’après un élégant théorème de Laplace, on a
notre fonction deviendra
4. La fonction que nous venons de trouver ne peut pas exprimer, en toute rigueur, la probabilité des erreurs, puisque les erreurs possibles étant toujours renfermées entre certaines limites, la probabilité d’erreurs plus grandes devrait être toujours nulle, tandis que notre fonction a toujours une valeur finie. ”

“ Mais on peut certainement réduire notre problème, et même de plusieurs manières, à la solution de deux équations, dans lesquelles deux inconnues seulement, et se trouvent mêlées. Il n’est pas, à la vérité, nécessaire que et soient deux des éléments eux-mêmes ; elles pourront être des quantités liées d’une manière quelconque avec les éléments, pourvu qu’une fois ces quantités trouvées, on puisse en déduire facilement les éléments. ”

“ Il y a une infinité de nombres non divisibles par un nombre premier donné quel qu’il soit, qui peuvent être représentés par une forme proprement primitive
Soit il est évident que ne divisera pas à-la-fois les nombres Or, quand n’est pas divisible par il suffira de donner à une valeur non-divisible par et à une valeur divisible. Quand n’est pas divisible par on pourra donner à une valeur non-divisible et à une valeur divisible ”

“ Il ne peut être avantageux de viser à la plus grande précision, que lorsque la dernière main doit être mise à l’orbite que l’on veut déterminer ; au contraire, tant qu’on aura l’espoir que de nouvelles observations donneront bientôt lieu à de nouvelles corrections, il sera convenable de se relâcher plus ou moins, suivant le cas, d’une extrême précision, si l’on peut de cette manière diminuer notablement la longueur des calculs. ”

“ Toutes les fois que les observations sont distantes l’une de l’autre d’intervalles de temps médiocres, le dernier cas où trois valeurs positives de satisfont à l’équation se présentera le plus souvent. Parmi ces solutions, on trouve habituellement, outre la vraie, une autre dans laquelle diffère peu de soit en excès, soit en défaut ”

“ Dans le mouvement hyperbolique principalement, il peut se présenter des cas, où soit qu’on se serve des premières méthodes ou de la dernière, on ne puisse éviter une erreur de plusieurs secondes, lorsqu’on emploie seulement les tables vulgaires à sept décimales. Mais, quoique les erreurs de ce genre se présentent rarement dans la pratique, on trouverait certainement qu’il existe une lacune s’il n’était pas permis de déterminer, dans tous les cas, l’anomalie vraie à 0′′,1 ou 0′′,2 près, si ce n’est en employant les grandes tables, qui, par le fait, sont reléguées dans les livres très-rares. ”

“ La véritable valeur de peut être inférieure ou supérieure à sa moyenne, de même que la vraie valeur de peut, dans chaque cas, être inférieure ou supérieure à ; mais la probabilité pour que la valeur fortuite de ne diffère pas sensiblement de , s’approchera sans cesse de la certitude à mesure que deviendra plus grand. Pour le montrer plus clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette probabilité, nous chercherons l’erreur moyenne à craindre en faisant . ”

“ Il y a, en effet, deux cas à distinguer : le premier est celui où l’une des équations
est renfermée dans les autres d’une manière générale et absolue, et peut, par conséquent, être supprimée ; le second est celui où, pour les valeurs particulières de , , , etc., auxquelles se rapportent les observations, l’une des fonctions , , , etc., par exemple, acquiert une valeur maximum ou minimum, ou, plus généralement, une valeur dont la différentielle s’annule lorsque les autres équations restent satisfaites. ”

“ Comme il a été démontré généralement que si une forme de déterminant renferme une forme de déterminant , est multiple de ; il s’ensuit qu’une forme de déterminant ne peut renfermer aucune forme dont le déterminant ne soit aussi . Il ne nous reste donc que deux problèmes à résoudre ; savoir :
1o. Étant données deux formes et dont la seconde a pour déterminant, découvrir si la première renferme la seconde ; et dans ce cas, trouver toutes les transformations de en
2o. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée de déterminant . ”

“ Tout autre moyen manquant, il est au moins constant que doit être compris entre les limites et (l’excentricité étant exprimée en secondes, et prenant le signe supérieur dans le premier et le second quadrants et le signe inférieur pour le troisième et le quatrième) ; c’est pourquoi l’on pourra adopter pour la valeur initiale de soit soit ce nombre augmenté ou diminué de d’après une estimation quelconque. ”

“ D’ailleurs, comme l’on voit aisément que, pour on voit que, par conséquent, et par suite aussi est négatif ; pour on a et par suite est alors positif ; il est donc clair que pour la valeur de sera toujours un minimum qui, du reste,
Par conséquent si l’on choisit pour le tayon de la sphère
la représentation des parties infiniment petites de l’ellipsoïde pour la latitude est non seulement semblable à l’original mais encore lui est égale ; mais pour d’autres latitudes elle est plus grande. ”

“ En effet, quoiqu’un système de valeurs des inconnues doive être sans aucun doute préféré à un autre système où toutes ces différences seraient respectivement plus grandes, le choix entre deux systèmes dans l’un desquels l’accord serait plus satisfaisant pour quelques-unes des observations, mais moins satisfaisant pour d’autres, est en quelque sorte arbitraire, et l’on peut évidemment proposer plusieurs principes par lesquels la première condition soit remplie. ”

“ En posant donc on aura au périhélie ; il croîtra vers l’infini à mesure que approchera de sa limite et décroîtra au contraire indéfiniment, à mesure que s’approchera de son autre limite de manière qu’aux mêmes valeurs opposées de répondent des valeurs réciproques de ou, ce qui est la même chose, telles que leurs logarithmes sont complémentaires.
Ce quotient est fort utilement employé comme quantité auxiliaire dans l’hyperbole ; il peut, avec presque autant de justesse, remplacer l’angle dont la tangente et que nous désignerons par afin de conserver l’analogie avec l’ellipse. ”

“ À cet effet nous supposerons que la nature de la première surface est déterminée par l’équation où est une fonction uniforme donnée de En tous les points de la surface par conséquent la valeur de s’évanouira, et en tous les points de l’espace qui n’appartiennent pas à la surface elle ne s’évanouira pas. Par suite lorsque l’on traversera la surface, la valeur de en général du moins, passera du positif au négatif, et lors du passage inverse du négatif au positif ; c’est à dire que d’un côté de la surface la valeur de sera positive, et de l’autre négative ”

“ Mais dans le cas où la position de la Terre est très-peu éloignée de l’un ou l’autre nœud, il convient aussi de s’abstenir de cette méthode, puisque l’hypothèse qu’à de petites variations de correspondent des variations proportionnelles de deviendrait trop fautive, par une raison semblable à celle que nous avons indiquée dans l’article précédent. ”

“ Mais aussitôt qu’on a obtenu une détermination déjà approchée, on peut terminer la solution par des méthodes toujours sûres et promptes que je crois devoir expliquer ici avant d’aller plus loin.
Si pour et on a pris les véritables valeurs elles-mêmes, on satisfera immédiatement d’une manière exacte aux équations si au contraire, à la place de et on substitue des valeurs différentes des véritables, les valeurs de et qui s’en déduiront seront différentes de zéro. Mais, plus et approcheront près des véritables valeurs, plus les valeurs de devront aussi être moindres ”

“ En effet, si , étaient tous deux pairs, serait nécessairement impair ; or on s’assure aisément que l’on a , ; donc et , et partant et seraient tous les deux pairs ; et le seraient donc aussi, ce qui est contre l’hypothèse, puisque est une forme du genre principal, et parconséquent de l’ordre proprement primitif. Au reste il peut arriver que et soient impairs, et dans ce cas on a deux formes qui produisent par leur duplication.
Soit proposée, par exemple, la forme de déterminant on trouve pour valeur de l’expression ; donc la forme ternaire . ”

“ En cherchant la valeur de qui rend les deux racines positives égales entre elles, on trouve
et l’on obtient bien alors, en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de l’équation proposée et de sa dérivée, pour valeur de ces racines égales,
Note XIII (art. 113) . Pour démontrer le théorème énoncé par Gauss dans cet article, considérons une sphère. Soient (fig. (5) des notes) trois lieux portés sur cette sphère dont nous supposons le rayon égal à 1 ; ces lieux étant placés d’après leurs coordonnées héliocentriques ou géocentriques. ”

“ Si nous adoptions pour exposant de la puissance paire, l’infini, nous serions conduits au système dans lequel les plus grandes différences sont plus petites que dans tout autre.
Laplace fait usage, pour la solution des équations linéaires, dont le nombre est plus grand que le nombre des inconnues, d’un autre principe qui avait déjà été proposé par le célèbre Boscovich, et qui est que les différences mêmes, mais toutes prises positivement, donnent une somme minimum. ”

“ La probabilité qu’une erreur soit commise dans l’une des observations sera une fonction de , que nous nommerons . Quoique cette fonction ne puisse être assignée d’une manière précise, on peut du moins affirmer qu’elle doit devenir maximum pour , avoir dans la plupart des cas la même valeur pour des valeurs de égales et de signes contraires, et, enfin, s’évanouir quand on donne à une valeur égale ou supérieure à l’erreur maximum ”

“ Premièrement, dans tout grand cercle, deux directions opposées doivent être distinguées d’une manière quelconque, ce qui se fera en considérant l’une comme directe ou positive, et l’autre comme rétrograde ou négative. Puisque ceci est par soi-même entièrement arbitraire, dans le but d’établir une règle certaine, nous considérerons comme positives les directions de vers ainsi, par exemple, si l’intersection du premier cercle avec le second est représentée par une distance positive comptée du point il sera compris que cette distance doit être prise de vers (comme dans notre figure) ”