Maximum

“ Nous venons de voir quelle est en dernière analyse pour chaque individu l’équation à laquelle doivent satisfaire les variables économiques, pour que cet individu ne cherche pas à modifier les valeurs prises par ces variables, c’est-à-dire pour qu’il se considère comme réalisant le maximum de bonheur compatible avec les circonstances. ”

“ Il est clair que, si une fonction a un maximum ou un minimum, elle en aura encore un si on lui ajoute des quantités constantes ; puis donc que sont constantes, il en sera de même de représentant des constantes indéterminées ; donc on devra avoir
Nous pourrons traiter comme nous avons traité dans ce qui précède, et nous trouverons ainsi le maximum ou le minimum cherché, avec les conditions auxquelles il doit satisfaire. ”

“ Ainsi dans cette espèce de questions, c'est comme nous l'avons dit ci-dessus, l'intégrale d'une certaine quantité différentielle non intégrable, qui doit être un minimum, et il s'agit de trouver la relation qui doit exister entre les variables pour satisfaire à cette condition.
97. Cependant, le principe général est toujours le même que pour les questions ordinaires des maximis et minimis; c'est-à-dire, que quand la
quantité qui doit devenir un maximum, par exemple, est parvenue à ce terme, elle ne peut plus augmenter. ”

“ Le maximum est par-là opposé au minimum. Voyez Minimum.
Méthode de maximis & de minimis. La méthode qui en porte le nom est employée par les Mathématiciens pour découvrir le point, le lieu ou le moment, où une quantité variable devient la plus grande, ou la plus petite qu’il est possible, eu égard à sa loi de variation.
Si les ordonnées d’une courbe croissent ou décroissent jusqu’à un certain terme, passé lequel elles commencent au contraire à décroître, ou croître ”

“ L’homme idéal, dit-on, représente en toute chose la moyenne de l’humanité. Cela paraît très simple et très clair, mais ces détails, définis par règle et par compas, comment s’ajustent-ils? La hauteur de la tête, par exemple, pourra, pour l’homme moyen, se calculer par deux méthodes; on peut prendre la moyenne des longueurs, ou pour chaque individu, le rapport de la tête à la hauteur du corps, puis la moyenne de ces rapports. ”

“ Et le moyen est l'espace du médiocre.
La mesure, telle quelle, est un élément de la vie ordinaire. La mesure, en art, paraît la vérité, comme la moyenne des statistiques. La mesure varie avec les grandeurs que l'on compare. ”

“ III. La quantité d’efforts employée, s’accroissant constamment, en même temps qu’il y a diminution constante dans la proportion ainsi nécessaire, il reste une proportion constamment croissante de la quantité également toujours croissante des efforts que l’on peut consacrer à accroître la masse des denrées, nécessaires aux besoins de l’homme et susceptibles d’être changées de lieu ou de forme ; à chaque pas fait dans cette voie, on obtient des quantités plus considérables de subsistances et de toutes les autres denrées, en retour de moindres quantités d’efforts physiques et intellectuels. ”

“ Ce principe, qui est de la plus grande utilité dans toutes les applications des mathématiques à la philosophie naturelle, doit être regardé comme un axiome, au même titre que le principe qui nous fait adopter la moyenne arithmétique des valeurs observées d’une même quantité comme la valeur la plus probable de cette quantité. ”

“ Mais le nombre, considéré seul, n'est qu'une force, une quantité plus grande qu'une autre.—Précisément: une quantité supérieure de bien est un bien plus grand et un droit.—Mais par là 47 vous reconnaissez que ce qui donne du prix au nombre, c'est ce dont il est formé; ce qui rend la quantité précieuse, c'est la qualité de ses éléments. ”

“ V. Une grandeur peut être proportionnelle à plusieurs autres: le prix d'une étoffe est proportionnel à sa longueur, à sa largeur; la quantité d'ouvrage que fait un ouvrier est proportionnelle au temps pendant lequel il travaille; le poids d'un corps est proportionnel-à à son volume, à sa densité (elle sera définie plus tard) , etc. ”

“ Vous savez que le nombre, le poids et la mesure, sont des points mathématiques, fixes et immuables. Comment, lorsque vous reconnaissez des proportions si exactes dans l'homme, pourrez-vous expliquer la loi du progrès ? ”

“ Toutes les fois que nous pouvons peser ou mesurer, estimer en poids ou en volume un être ou un effet quelconque, nous avons l’expression précise de leur quantité, parce qu’elle est rapportée à l’étendue ; quand nous ne le pouvons pas directement, nous y arrivons encore si, par un artifice quelconque, nous faisons que leur existence se manifeste par quelques mouvemens opérés dans l’étendue. ”

“ Toutes les proportions, tous les arrangemens de quantité sont les mêmes pour l’entendement ; parce que, pour lui, les mêmes vérités résultent de tous les rapports ; du plus grand et du plus petit, de l’égalité et de l’inégalité. ”

“ Une proportion, un rapport changent-ils lorsqu'on multiplie ou que l'on divise les deux termes du rapport par un même nombre ? — La proportion est-elle altérée, si l'on multiplie ou si l'on divise les antécédens ou les conséquens par le même nombre? — Pourriez-vous dire pourquoi? — Y a-t-il toujours proportion lorsqu'on met les extrêmes l'un à la place de l'autre?— Les moyens l'un à la place de l'autre? — Pourquoi cela? — Prouvez que le produit des extrêmes égale celui des moyens ? ”

“ Désignons par Ûo et Ù, les valeurs de U̇ qui répondent à la première et à la seconde limite, dans lesquelles x aura des valeurs données, et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites; on aura cette équation particulière aux limites U̇t — U̇0 = o,
savoir
à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de y en x pourra admettre. ”

“ Ainsi il importe de distinguer dans le travail humain la valeur qualitative non moins que la valeur quantitative ce sont en quelque sorte les deux dimensions du travail, la qualité lui donnant sa dimension en hauteur, et la quantité constituant sa dimension en surface. ”

“ Il y a des méthodes moins grossières pour combiner l’égalité et la différence. La première est la proportion. La proportion se définit comme la combinaison de l’égalité et de l’inégalité, et partout dans l’univers elle est l’unique facteur de l’équilibre. ”

“ La quantité est ce qui a des parties les unes hors les autres.
Tout attribut qui n’est pas quantité est qualité.
« Qualité, dit Aristote, est un de ces mots qui sont pris en beaucoup de sens. » Qualité, la forme d’une figure de géométrie, qui en fait un cercle ou un triangle ; qualités, les propriétés sensibles des corps, le chaud et le froid, le clair et l’obscur, le rouge et le bleu ; être en bonne santé, qualité ; être vertueux, qualité ; être grammairien, géomètre ou musicien, qualités. ”

“ La série des observations qui fournissent les quantités , , , etc., affectées des erreurs fortuites , , , etc., peut être considérée comme une épreuve qui ne fait pas connaître, il est vrai, la grandeur de chaque erreur, mais qui, par le moyen des règles exposées plus haut, permet de déterminer la quantité , fonction connue de toutes les erreurs. ”

“ La valeur moyenne d’une vie humaine calculée vers vingt ans a été fixée d’une façon variable à 1,000 francs ou à 10,000 francs par les économistes. Prenons une moyenne et cotons cette vie à 5,000 francs pour nos propres calculs. ”

“ Chaque fois que, sans le secours d'autres moyens, nous comparons des grandeurs entre elles, cette comparaison ne nous donne que des résultats relatifs, et nous ne saurions donner que le - rapport d'une grandeur à l'autre ou ce que, dans la loi psycho-physique, nous appelons la constante proportionnelle. ”

“ Cette expression des maxima augmente. avec n, avec une extrême rapidité, il en résulte que dans l'intervalle indéfiniment décroissant compris entre x = - n + e et x = - n la fonction passe brusquement d'une valeur de plus en plus grande, positive ou négative à zéro. ”

“ Figurez-vous, pour emprunter un exemple à notre propre histoire, l'influence des magistrats représentée par des grains, des onces, des demi-livres, des livres, tandis que celle des avocats se chiffrerait par des grammes et des kilos. Pareillement chaque classe de la société est représentée par une série de poids et de mesures qui lui est propre. ”

“ Au contraire, la quantité de travail est la mesure absolue de la valeur; la valeur existe dans l'objet en raison de cette quantité de travail, de la même façon, dit-il, que le poids existe dans les objets en raison de l'intensité de l'attraction exercée sur eux par le corps terrestre. ”

“ On appelle quantité ou grandeur tout ce qui peut être augmenté et diminué.
La quantité, objet des Mathématiques, pouvait être considérée, ou seule et indépendamment des individus réels et des individus abstraits dont on en tenait la connaissance ; ou dans ces individus réels et abstraits ; ou dans leurs effets recherchés d’après des causes réelles ou supposées ; et cette seconde vue de la réflexion a distribué les Mathématiques en Mathématiques pures, Mathématiques mixtes, Physico-mathématiques. ”

“ Les partisans de l’économique mathématique font valoir, à l’appui de leur conception, un argument qui ne peut pas manquer de faire impression. Les mathématiques, disent-ils, sont les sciences de la quantité. ”

“ Nous avons bu ni peu ni trop. — L’idée primitive est ni trop ni trop peu, c’est-à-dire « à juste mesure » ; puis le sens est dérivé à « à pleine mesure ». Il a paru que, pour boire, par exemple, la juste mesure était la grande. ”

“ Le cas le plus simple est celui par lequel on veut connaître une quantité moyenne à plusieurs autres, ou un prix moyen à plusieurs prix d'une même marchandise.
- Dans" ce cas, l'opération est aussi nommée règle des moyennes. Pour l'effectuer, additionnez les quantités entre lesquelles vous chercherez une moyenne, et divisez la somme par le nombre des quantités. ”

“ Ainsi ce sont les besoins de la vie pratique, surtout sociale qui sont à l’origine de la mesure et qui ont tout d’abord, et avant toutes autres causes, provoqué un perfectionnement des moyens de mesure. ”

“ Le nombre ou la masse de marchandises produites en un temps de travail donné ou par une quantité donnée de travail, dépend de la puissance productive du travail employé, et non de son étendue, de sa longueur. ”

“ Dès-lors, pour déterminer la valeur de chaque ouvrage, des experts entendus n'auront qu'à faire le calcul du temps qu'il représente pour un ouvrier ordinaire, ce temps n'étant lui-même que l'indication de la quantité de force et d'adresse dépensées par le travailleur.
4° LIVRAISON.
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Pour déterminer au contraire la valeur de toute matière première , il y aura à comparer sa valeur à celle de la subsistance humaine, tant sous le rapport de son utilité ou agrément que sous celui de sa rareté.
Utilité et rareté dans la matière correspondent à perfection et difficulté dans le travail. ”

“ C’est ce qui fait la beauté du volume lequel enveloppe la quantité indéterminée et infinie dans des limites définies, et la beauté par excellence de la sphère en qui tous les points de la quantité indéfinie, soumis à des relations définies et intelligibles, participent de la détermination absolue. ”

“ Les quantités & les raisons des quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini, & qui avant la fin de ce temps approchent tellement de l’égalité, que leur différence est plus petite qu’aucune différence donnée, deviennent à la fin égales. ”

“ On voit, par ces divers exemples, que, lorsqu’il s’agit de comparer des grandeurs appréciables, ou de les mesurer, on n’est pas toujours aussi heureusement placé que lorsqu’il s’agit de mesurer l’étendue. ”

“ Il serait trop long de vous conter comment, par exemple, je suis conduit à étudier toutes les approximations maxima d'une fonction par la série entière des fractions dont le dénominateur est de degré fixe, les degrés des numérateurs prenant toutes les valeurs possibles, en cherchant des lois de récurrence pour les obtenir. ”

“ C'est cette quantité qui fait les forts et les faibles et qui, parce qu'elle n'est que la quantité et non la qualité, veut que le fort vive pour le faible et non le faible pour le fort. Si le fort était d'une autre qualité, le faible serait son esclave né. ”

“ Pour rendre tous les hommes égaux, elle les mesure tous au niveau du dernier d'entre eux. C'est le poids dont elle tient.compte, et non pas la valeur; la force, et non l'intelligence; le nombre enfin, et non la capacité. ”

“ Demander que le poids et la mesure soient la même dans tout le Royaume, et qu'on soit maître de vendre au poids ou à la mesure, et que lorsque l'un demandera le poids, qu'il ait la préférence sur la mesure. ”

“ Un commerçant se servant d’une balance fausse gagne 11 de plus que si elle était exacte. Mais s’il changeait de plateau, la marchandise et les poids, son gain serait nul. Quel serait le gain pour cent, si la balance était exacte ? ”

“ Voilà donc un cas où une différence subjective de qualité correspond à une différence objective de quantité. Rien ne se ressemble moins que la qualité et la quantité, et elles n’ont pas de mesure commune. ”

“ C'est pourquoi les parties se font dans sa substance avec le concours de la quantité : la substance apporte cette entité qui subsiste, qui est distinguée en parties, et la quantité donne à cette substance une extension actuelle en parties. ”

“ Par exemple, si, après avoir déterminé toutes les tailles dans une société donnée, on en fait la somme et si on la divise par le nombre des individus mesurés, le résultat auquel on arrive exprime, avec un degré d'approximation très suffisant, la taille la plus générale. ”

“ II. La quantité se manifeste a nous d'abord par les êtres ou objets de la nature, et ensuite par les longueurs ou distances, les poids, les intervalles de temps, etc. Ainsi : un homme, deux hommes, trois hommes, etc., sont des quantités d'hommes, de même que un mètre, deux mètres, trois mètres, etc., sont des quantités ou longueurs. ”

“ Conséquemment, dans le cours ordinaire des choses, la part proportionnelle du travail de l’homme, consacrée à augmenter la quantité des matières premières, devra être constamment croissante, et la part consacrée à leur faire subir des changements de lieu ou de forme, constamment décroissante. ”