Minima

“ La variation de savoir :
une fois trouvée, celle de l’intégrale est facile à en déduire. On sait en effet que
substituant pour la valeur que nous venons d’obtenir, on aura
Or, en premier lieu,
on trouve ensuite, en intégrant par parties,
 réunissant alors tous ces termes, on aura finalement
§. III. Application aux questions de maxima et minima. La dernière formule que nous venons d’obtenir sert à résoudre une des questions les plus importantes du calcul des variations, celle des maxima et minima. ”

“ Et le moyen est l'espace du médiocre.
La mesure, telle quelle, est un élément de la vie ordinaire. La mesure, en art, paraît la vérité, comme la moyenne des statistiques. La mesure varie avec les grandeurs que l'on compare. ”

“ Tout ce qui vit, croît ou décroît, oscille entre un maximum et un minimum, entre lesquels viennent se grouper la multitude de formes intermédiaires d’autant plus nombreuses qu’elles avoisinent davantage la moyenne, d’autant plus rares qu’elles s’en éloignent. ”

“ Ce principe, qui est de la plus grande utilité dans toutes les applications des mathématiques à la philosophie naturelle, doit être regardé comme un axiome, au même titre que le principe qui nous fait adopter la moyenne arithmétique des valeurs observées d’une même quantité comme la valeur la plus probable de cette quantité. ”

“ Dans les questions ordinaires, la quantité U, qui doit être un maximum ou un minimum, est une fonction donnée de x, et les dérivées Ù, U, sont prises par rapport à x; alors l'équation Ù = o devient U'=o, et donne la valeur de x; ensuite le signe de U" distingue le maximum du minimum. ”

“ Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité. ”

“ L’homme idéal, dit-on, représente en toute chose la moyenne de l’humanité. Cela paraît très simple et très clair, mais ces détails, définis par règle et par compas, comment s’ajustent-ils? La hauteur de la tête, par exemple, pourra, pour l’homme moyen, se calculer par deux méthodes; on peut prendre la moyenne des longueurs, ou pour chaque individu, le rapport de la tête à la hauteur du corps, puis la moyenne de ces rapports. ”

“ Le dilemme de l’infini porte sur l’application de la logique de la quantité à l’ordre universel des phénomènes dans l’espace et dans le temps. Les rapports de l’unité au nombre, et des parties au tout, sont-ils applicables partout oh l’on peut regarder une existence réelle comme constituée, en extension ou en composition ? ”

“ Nous avons dit les classes moyennes, car plusieurs catégories composent la classe moyenne, amalgame d'intérêts quelquefois opposés et de positions diverses, initialement différentes souvent, mais dont l'ensemble s'équilibre en face des nécessités de la vie matérielle par une situation pécuniaire moyenne qui place ceux qui la subissent dans certaines conditions, inégales elles aussi, — répétons-le afin de répondre d'avance à l'objection, — mais proportionnelles à une moyenne commune. ”

“ Il est le point idéal et réel où l’essence d’une loi, où son idée se mêle à la quantité sans se soumettre à aucune détermination arbitraire de quantité. L’infiniment petit représente l’indépendance essentielle et la pureté de la loi dans son union avec la quantité, et c’est parce qu’il est, non une fiction mathématique, mais une vérité métaphysique, qu’il permet au calcul de saisir jusqu’au fond les lois de la réalité. ”

“ Et d’abord, est-il exact que les faits les plus complexes dérivent uniquement des plus simples, la qualité de la quantité ? Peut-on déduire par voie d’analyse, ainsi que les cartésiens l’eussent souhaité, du logique les mathématiques et de celles-ci la matière, les propriétés physico-chimiques, la vie et, finalement, la conscience, en un mot tous les aspects et tous les êtres de la nature ? ”

“ C’est particulièrement dans les êtres organisés, que nous découvrons la véritable proportion celle dont nous venons de définir l’idée ; et la proportion ou son principe acquiert de l’évidence dans chaque classe d’ètres, à mesure que chacune s’élève, selon l’ordre où la nature l’a placée, jusqu’à l’organisation du corps humain.
Aussi est-ce dans le corps de l’homme, que tous les arts vont puiser les leçons et les exemples, qui peuvent constituer, à des degrés différens, les lois de leurs proportions. ”

“ Car, si je cesse de multiplier et de diviser à l'infini, je perds toute notion du lieu où je m'étais placé, je ne situe et n'imagine plus le monde naturel en lui-même, comme je faisais en multipliant et divisant. Si bien que, le recul éternel des limites dans l'immense et le minime une fois ôté, tout est ôté, et jusqu'à l'idée de la matière. ”

“ Dans cette lutte, il n'y a pas de place pour la classe moyenne, pygmée entre deux titans. Ne le sentez-vous pas, pauvre classe moyenne, que vous êtes prise entre deux meules, et qu'elles ont déjà commencé à moudre? ”

“ On appelle limite d’une grandeur variable, une grandeur fixe dont la grandeur variable se rapproche indéfiniment, de façon à pouvoir en différer aussi peu qu’on voudra, mais sans jamais l’atteindre.
On appelle infiniment petit une quantité variable qui a pour limite zéro.
Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l’est de même et les infinis ou infiniment petits ne signifient que des grandeurs qu’on peut prendre aussi grandes ou aussi petites que l’on voudra ... ”

“ Nous avons bu ni peu ni trop. — L’idée primitive est ni trop ni trop peu, c’est-à-dire « à juste mesure » ; puis le sens est dérivé à « à pleine mesure ». Il a paru que, pour boire, par exemple, la juste mesure était la grande. ”

“ Toutes les proportions, tous les arrangemens de quantité sont les mêmes pour l’entendement ; parce que, pour lui, les mêmes vérités résultent de tous les rapports ; du plus grand et du plus petit, de l’égalité et de l’inégalité. ”

“ Pourtant, si nous prenons ces membres de la Société Mathématique qui se sont voués à la recherche des lois de la quantité, qui savent que, toutes simples qu’elles soient au fond, il faut toute une vie d’études pour les connaître a fond, — et si nous leur demandons leur opinion individuelle sur un point de politique sociale, ils répondront avec une promptitude supposant que dans ces questions, où les facteurs des phénomènes sont si nombreux et si complexes, un examen superficiel des hommes et des choses suffit pour porter des jugements sérieux. ”

“ L'Économiste travaillera ainsi, non plus sur la réalité concrète, mais sur une abstraction, constituée par des moyennes, qu'il lui sera loisible de rapporter à un homme abstrait, type théorique dont les attributs sensiblement constants correspondent à la moyenne des attributs sensiblement permanents des individus réels. ”

“ Pour ce qui est des dernières, la petitesse sans limite est une conception aussi positive que la grandeur sans limite. Nous avons l'idée d'une portion de l'espace, et à cette idée nous ajoutons celle d'être plus petite que toute quantité donnée. ”

“ Et il a été amené de la sorte à formuler cette conclusion que le plus grand bonheur possible (pour une collectivité) est égal à la plus grande valeur possible de l’intégrale (où correspond à la plus petite quantité de plaisir perceptible, à un individu sensible, à un élément de temps) , les limites de l’intégration par rapport au temps étant et , le présent et l’avenir indéfiniment, et les autres limites étant des variables qu’il y a lieu de déterminer à l’aide du calcul des variations [112] . ”

“ Au contraire, nous qui reconnaissons, jusque dans la pensée, de la quantité, de la puissance d’être, et une puissance d’être que l’acte de pensée n’épuise jamais, nous comprenons que la pensée ait rapport à la quantité et à l’être indéterminé, c’est-à-dire à l’étendue qui exprime l’être sous l’aspect de la quantité et de l’indétermination. ”

“ Mais, quoiqu’elle devienne dans la sensation un élément de vie, elle n’en reste pas moins la quantité, c’est-à-dire une idée distincte. Elle doit donc exister et se manifester de deux façons : comme quantité fondue dans la qualité et comme quantité distincte. ”

“ Mais supposez un coup de lumière ; supposez éclairci ce qui ne l’est pas, découvert le système qu’on cherche et trouvée la formule que l’on réclame ; supposez que ce qui nous semble, pour l’instant, impossible soit devenu possible et même facile ; que la représentation proportionnelle s’explique et s’applique aisément — toutes les objections qui se dressent contre elle n’en seront pas ruinées ; il n’y aura de détruite que la première, celle qui se l’onde sur la diversité des systèmes et l’obscurité des formules ; — et c’est, à notre avis, la moins forte de toutes. ”

“ Voilà donc un cas où une différence subjective de qualité correspond à une différence objective de quantité. Rien ne se ressemble moins que la qualité et la quantité, et elles n’ont pas de mesure commune. ”

“ En effet, s’il était possible d’additionner toutes les sensations que l’on a éprouvées depuis que l’on est en relation avec le monde matériel, voire même celles que l’on a oubliées, la quantité en serait certainement fixe et limitée, quoique innombrable. Nous donnons le nom d’innombrable, non-seulement à l’infini, mais à toute quantité finie qui excède nos calculs. ”

“ Les partisans de l’économique mathématique font valoir, à l’appui de leur conception, un argument qui ne peut pas manquer de faire impression. Les mathématiques, disent-ils, sont les sciences de la quantité. ”

“ Une moyenne vient rétablir, tant bien que mal, l'équilibre. A la fin de toutes ces épreuves, on se remet à compter de plus belle, et la manivelle arithmétique rend aux juges eux-mêmes ébahis le nom des candidats heureux. ”

“ On appelle quantité ou grandeur tout ce qui peut être augmenté et diminué.
La quantité, objet des Mathématiques, pouvait être considérée, ou seule et indépendamment des individus réels et des individus abstraits dont on en tenait la connaissance ; ou dans ces individus réels et abstraits ; ou dans leurs effets recherchés d’après des causes réelles ou supposées ; et cette seconde vue de la réflexion a distribué les Mathématiques en Mathématiques pures, Mathématiques mixtes, Physico-mathématiques. ”

“ Il y a des méthodes moins grossières pour combiner l’égalité et la différence. La première est la proportion. La proportion se définit comme la combinaison de l’égalité et de l’inégalité, et partout dans l’univers elle est l’unique facteur de l’équilibre. ”

“ Vous savez que le nombre, le poids et la mesure, sont des points mathématiques, fixes et immuables. Comment, lorsque vous reconnaissez des proportions si exactes dans l'homme, pourrez-vous expliquer la loi du progrès ? ”

“ Pour éviter les tiraillements et les récriminations, il faudrait trouver une base qui permît d’attribuer, à chacun, la part réelle qui lui revient de son travail. Il faudrait trouver un moyen qui permît de mesurer, d’une façon mathématique la part d’efforts de chacun, a-t-on trouvé cette base ? ”

“ Ainsi il importe de distinguer dans le travail humain la valeur qualitative non moins que la valeur quantitative ce sont en quelque sorte les deux dimensions du travail, la qualité lui donnant sa dimension en hauteur, et la quantité constituant sa dimension en surface. ”

“ Ainsi ce sont les besoins de la vie pratique, surtout sociale qui sont à l’origine de la mesure et qui ont tout d’abord, et avant toutes autres causes, provoqué un perfectionnement des moyens de mesure. ”

“ C’est ce qui fait la beauté du volume lequel enveloppe la quantité indéterminée et infinie dans des limites définies, et la beauté par excellence de la sphère en qui tous les points de la quantité indéfinie, soumis à des relations définies et intelligibles, participent de la détermination absolue. ”

“ Supposons d’abord, dans toutes les observations, un état de choses tel, qu’il n’y ait pas lieu de regarder l’une d’elles comme plus exacte qu’une autre, c’est-à-dire, que l’on doive regarder des erreurs égales dans chacune d’elles comme également probables. ”

“ C'est pourquoi les parties se font dans sa substance avec le concours de la quantité : la substance apporte cette entité qui subsiste, qui est distinguée en parties, et la quantité donne à cette substance une extension actuelle en parties. ”

“ La science des quantités abstraites nous donne les règles de calcul les plus savantes et les plus sûres, sans nous dire ni comment nous formons l’idée de nombre, ni pourquoi nous avons des idées abstraites, ni quelle est la cause première de la justesse d’une équation. ”

“ En groupant différentes choses comme petites en comparaison de celles du genre auquel elles appartiennent ou de celles d'autres genres, et de même en groupant quelques objets comme relativement grands, nous obtenons les notions abstraites de petitesse et de grandeur. Appliquées comme elles le sont à d'innombrables choses très diverses, non seulement à des objets, mais à des forces, à des durées, à des nombres, à des valeurs, ces notions sont maintenant si peu liées au concret, que leurs significations abstraites sont extrêmement vagues. ”

“ Le vice originel de cette doctrine est d'avoir établi ses calculs sur les hommes, abstraction faite de leurs passions, tout comme les mathématiciens sur les chiffres. Interrogés sur le problême de l'équilibre de population, l'écueil de la science économique moderne, que leur système compliquerait par l'immense accroissement de l'espèce humaine, ils ont éludé la question. ”

“ Ainsi dans cette espèce de questions, c'est comme nous l'avons dit ci-dessus, l'intégrale d'une certaine quantité différentielle non intégrable, qui doit être un minimum, et il s'agit de trouver la relation qui doit exister entre les variables pour satisfaire à cette condition.
97. Cependant, le principe général est toujours le même que pour les questions ordinaires des maximis et minimis; c'est-à-dire, que quand la
quantité qui doit devenir un maximum, par exemple, est parvenue à ce terme, elle ne peut plus augmenter. ”