Henri-Léon Lebesgue

“ Mais la signification de l’intégrale de Stieltjès est bien plus nettement donnée par Cauchy qui avait, avant Stieltjès, considéré l’intégration par rapport à une fonction ; bien plus amplement que Stieltjès, au point de vue physique, mais sous une forme bien moins précise, au point de vue logique [21] .
Le point de départ de Cauchy est la notion de grandeurs coexistantes, notion plus large que celle de fonction, dont celle-ci n’est qu’un cas particulier.
Des grandeurs sont dites coexistantes lorsqu’elles sont déterminées par les mêmes conditions, géométriques ou physiques. ”

“ VIII. Tout ensemble fermé est la somme d’un ensemble dénombrable et d’un ensemble parfait [10] .
Les ensembles fermés sont donc dénombrables ou ont la puissance du continu, suivant que leur dérivé parfait ne contient aucun point, ou en contient ; c’est-à-dire suivant qu’ils sont réductibles ou non. Mais un ensemble non fermé peut être non réductible et dénombrable ; c’est le cas de l’ensemble des valeurs rationnelles. ”

“ Pour calculer la variation totale d’une fonction discontinue comme limite d’une suite de variations , il faut choisir d’une manière très particulière les points de division ; par exemple, pour une fonction qui est partout nulle, sauf à l’origine, il faut que l’origine soit un point de division. Pour les fonctions continues, au contraire, on a cette propriété : la variation d’une fonction continue, relative à une division quelconque, tend uniformément vers la variation totale de cette fonction quand le maximum de la longueur des intervalles employés tend vers zéro. ”

“ C’est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l’on veut.
Un point, un groupe intégrable sont des exemples d’ensembles de mesure nulle. L’ensemble formé par la réunion d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles de mesure nulle est évidemment aussi de mesure nulle [18] ; tout ensemble dénombrable de points est de mesure nulle. ”

“ Pourtant cette pseudo-notation remplit l’une des conditions essentielles d’une notation. À quoi sert, en effet, la numération des entiers ? Elle n’intervient jamais dans les raisonnements, sauf bien entendu, ceux qui concernent la numération elle-même ; mais elle permet de caractériser le nombre dont on veut parler, s’il n’est pas trop grand, c’est-à-dire qu’elle permet de construire, qu’elle détermine, un ensemble bien ordonné fini semblable à celui dont on s’occupe. ”

“ Mais je n’ai pas parlé des procédés d’intégration par parties et par substitutions, du second théorème de la moyenne, de l’inégalité de Schwarz et de ses généralisations, indispensables pourtant pour l’utilisation mathématique de l’intégrale.
La généralisation est l’un des meilleurs moyens de « faire comprendre » en mathématiques ; alors que, sur le cas particulier, on est gêné par tous les faits que l’on peut observer et qui ne sont propres qu’à ce cas particulier, dans le cas général il n’y a plus rien à observer en dehors des faits mêmes sur lesquels il faut raisonner ”

“ La frontière d’un domaine est constituée par la courbe fermée qui sert à le définir.
Lorsque les deux étendues extérieure et intérieure d’un domaine sont égales, le domaine est dit quarrable et son étendue superficielle est appelée son aire [9] .
Pour qu’un domaine soit quarrable, il faut que sa courbe frontière soit d’étendue extérieure nulle ; une telle courbe est dite une courbe quarrable. Un carré est évidemment quarrable. ”

“ Il est clair que cette construction de l’intégrale pourra être modifiée de bien des manières ; il suffira : a. de partir de la connaissance de l’intégrale d’une classe assez vaste de fonctions particulières ; b. et d’utiliser un caractère d’intégration terme à terme des séries, que l’on posera a priori, et assez général pour qu’on puisse affirmer : c. que toute fonction mesurable est la somme d’une série de la nature considérée de fonctions appartenant à la classe envisagée. J’examinerai seulement [29] et très rapidement une définition de M. W.-H. Young. ”

“ Certes ; mais M. Denjoy dit qu’une propriété a lieu sur une épaisseur pleine quand je dis qu’elle a lieu presque partout. Épaisseur pleine n’aurait-elle pas pu recevoir une autre signification que celle qu’il a plu à M. Denjoy de lui donner ?
Presque partout serait inadmissible si, dans la langue usuelle, cette expression avait un sens précis, mais cela n’est pas ; de sorte que le lecteur, en présence de l’énoncé précédent par exemple, ne peut lui donner aucun sens précis sans se reporter à la définition posée pour presque partout. Aucune erreur n’est donc possible. ”

“ Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction intégrable soit une dérivée ; elle ne se présente pas sous la forme que l’on donne habituellement à de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un fait A, l’existence d’une propriété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnée par lui ”

“ Que les fonctions de domaine s’introduisent en physique et y apparaissent même comme plus directement adaptées aux besoins du physicien que les fonctions de points ne doit pas nous étonner. Un point n’est que la conception limite de corps de plus en plus petits, une fonction de point ne peut s’introduire en physique que comme limite d’une fonction de corps, d’une fonction de domaine. ”

“ Si est l’un des nombres dérivés d’une fonction continue , pour que soit à variation bornée il faut et il suffit que soit sommable dans l’ensemble des points où il est fini et positif, que l’ensemble des points ou est infini positif soit de mesure nulle et qu’il puisse être enfermé dans des intervalles fournissant une somme de variations totales positives qui soit bornée. ”

“ Quand on entend parler pour la première fois de la suite , des nombres finis et transfinis, on croit volontiers que tout deviendrait net, si l’on avait une notation des nombres transfinis. Or il est clair qu’on n’en saurait avoir une : nous ne pouvons manier qu’un nombre fini de symboles ou de sons et les combiner seulement d’un nombre fini de manières, ce qui ne donne jamais qu’un nombre fini de notations. ”

“ Les courbes qui sont des groupes intégrables sont celles que nous avons appelées quarrables.
Pour avoir un ensemble non mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s’il s’agit d’un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s’il s’agit d’un ensemble dans le plan ; pour un tel ensemble, en effet, l’étendue intérieure est nulle, l’étendue extérieure ne l’est pas. ”

“ Lorsque le maximum de la longueur des côtés d’un polygone inscrit dans une courbe tend vers zéro, la longueur de ce polygone tend vers la limite supérieure des longueurs des polygones inscrits dans la courbe. C’est cette limite que l’on appelle la longueur de la courbe.
Une courbe est dite rectifiable si elle est de longueur finie. ”

“ Elles auraient été fort utiles même si elles n’avaient eu pour effet que de fixer notre attention sur l’intégration et la dérivation assez pour que nous ayons reconnu ceci : l’intégration est toujours une opération analogue à celle qu’il faut faire pour calculer la quantité de chaleur nécessaire pour élever un corps de 1°, en fonction des masses de ses parties et de leurs chaleurs spécifiques ; la dérivation est l’opération inverse. ”

“ Ce nombre pourra être grand ; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l’ingéniosité des lois de combinaisons prévues ; mais il sera toujours fini. Toute numération s’appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive.
Examinons, par exemple, la numération décimale appliquée aux nombres compris entre 0 et 1 ; elle a la prétention de nous permettre de noter tout nombre. Pour cela elle utilise une suite indéfinie de chiffres 0, , , , .... Mais une telle suite ne peut jamais être ni écrite, ni énoncée. ”

“ On ne connaît aucune fonction bornée non sommable, il est facile au contraire de citer des fonctions non bornées non sommables. La fonction nulle pour et égale à
en est un exemple ; cependant cette fonction peut être intégrée par les méthodes de Cauchy et de Dirichlet développées au Chapitre I. On pourra, dans certains cas, appliquer ces méthodes aux fonctions non sommables pour définir leur intégrale ; nous reviendrons sur cette généralisation, bornons-nous pour l’instant aux fonctions sommables. ”

“ On connaissait bien des fonctions, celle de Cauchy, par exemple, , qui, en certains points, n’avaient pas de dérivée ; mais ces points étaient exceptionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense ; dans l’exemple de Riemann, au contraire, il y a des points sans dérivée dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularités nous donnera autant d’exemples que nous le voudrons de fonctions analogues à celles de Riemann ; si les sont tous les nombres rationnels, est une ces fonctions.
L’intégration fournit des fonctions qui n’ont pas toujours une dérivée. ”

“ De plus, parmi les nombreuses définitions qui ont été successivement proposées pour l’intégrale des fonctions réelles d’une variable réelle, je n’ai retenu que celles qu’il est, à mon avis, indispensable de connaître pour bien comprendre toutes les transformations qu’a reçues le problème d’intégration et pour saisir les rapports qu’il y a entre la notion d’aire, si simple en apparence, et certaines définitions analytiques de l’intégrale à aspects très compliqués. ”

“ L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. On suppose, bien entendu, qu’il s’agisse d’une véritable somme, c’est-à-dire de la somme d’un nombre fini de termes et non pas d’une série.
Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.
Soit une fonction comprise entre et dans . L’intégrale de est, on le sait, la limite de la somme , mais on a
. Donc , et par suite sa limite, l’intégrale, est comprise entre et ; l’intégrale est donc de la forme , où est compris entre et ; c’est le théorème de la moyenne. ”

“ Il semble beaucoup plus difficile d’éliminer le transfini des autres applications que nous en faisons ici : théorème de Cantor-Bendixson, résultats de M. Baire, théorie de la totalisation. Mais une distinction s’impose. Nous avons décomposé le théorème de Cantor-Bendixson en deux énoncés VI et VII. L’énoncé VI se réfère à la notion des dérivés qui n’a été acquise que par récurrence transfinie, nous ne pouvons donc pas justifier cet énoncé sans l’emploi du transfini ; l’énoncé VII, au contraire, est une propriété des ensembles fermés que l’on peut espérer obtenir sans le transfini. ”

“ Ces intégrales définies, qui sont des limites de sommes dont le nombre des termes augmente indéfiniment tandis que la valeur absolue de ces termes tend vers zéro, se rencontrent dans un grand nombre de questions d’Analyse, de Géométrie et de Mécanique [8] . Pour le calcul de certaines de ces limites de sommes, par exemple pour la définition et le calcul de l’aire comprise entre une courbe et son asymptote, l’intégration des fonctions continues ne suffisait plus ”