Longueur

“ La définition d’une longueur plus grande qu’une autre, rendue nécessaire par l’existence de longueurs incommensurables, exprime le fait que les côtés égaux d’un triangle isocèle sont plus longs que la médiane abaissée sur le troisième côté. ”

“ Il lui donne les mêmes dimensions qu’au corps, la longueur, la largeur, la profondeur, ajoutant qu’elle a la forme et la figure du corps humain ; qu’elle est palpable, transparente, et de la couleur de l’air. ”

“ Elle se mesure en tirant une ligne droite qui joint les deux points extrêmes dont on veut évaluer la distance, et en reportant sur cette ligne, la longueur prise comme terme de comparaison.
La largeur d'un corps n'est autre chose que la longueur prise dans un autre sens ; elle se mesure comme elle.
Le MÈTRE est l'unité des mesures de longueur. ”

“ Lorsque le maximum de la longueur des côtés d’un polygone inscrit dans une courbe tend vers zéro, la longueur de ce polygone tend vers la limite supérieure des longueurs des polygones inscrits dans la courbe. C’est cette limite que l’on appelle la longueur de la courbe.
Une courbe est dite rectifiable si elle est de longueur finie. ”

“ L'étendue a trois dimensions : longueur, largeur et profondeur.
Un corps quelconque réunit également ces trois dimensions.
Si on les suppose infiniment réduites, on aura un point qui n'a ni longueur, ni largeur, ni profondeur.
L'étendue en longueur seulement est une ligne qui n'a ni largeur, ni profondeur.
L'étendue en longueur et en largeur, sans profondeur, est une surface.
La longueur, la largeur et la profondeur réunies constituent un volume.
Un point se définit aussi l'intersection de deux lignes.
On distingue différentes lignes : la ligne droite, la ligne brisée, la ligne courbe. ”

“ La longueur est dans la partie qui descend jusqu’à terre et signifie la persévérance qui est égale à la longueur du temps. La hauteur est dans le sommet qui s’élève au-dessus de la partie transversale ”

“ Choisissons, en effet, une telle longueur-étalon, par exemple le mètre, c’est-à-dire la longueur que présente, dans des conditions bien déterminées, une certaine barre métallique déposée au bureau international des poids et mesures.
Certaines longueurs pourront être reproduites en mettant bout à bout n longueurs égales à un mètre ; le nombre n accompagné de la mention du mètre représentera pleinement une telle longueur ; nous dirons que c’est une longueur de n mètres. ”

“ De ces trois dimensions, la longueur est celle qui frappe le moins ; un terrain plat de cent verges d’étendue ne produira jamais un aussi grand effet qu’une tour de cent verges de haut, ou qu’un rocher ou une montagne de la même hauteur. ”

“ On juge de la longueur et de la largeur aussi bien avec un œil qu'avec deux, mais pour juger de la profondeur, sans recourir à quelque stratagème, il est indispensable de se servir des deux yeux, qui donnent deux images légèrement différentes. ”

“ Les plus gros ont trois pouces de long sur un pouce et demi de large, les plus petits un pouce de longueur et une largeur proportionnelle ; dans les petits comme dans les gros, la longueur égale souvent la largeur. ”

“ Nous allons, mon ami, faire une expérience de coup d'oeil; nous allons voir si vous êtes capable de vous rendre compte de la longueur d'une ligne; je vais vous montrer une ligne qui a par exemple 5 centimètres, et vous la reproduirez ensuite de mémoire; nous verrons ainsi si vous avez le coup d'oeil juste. Il y a des gens dont le coup d'oeil est si mauvais qu'ils reproduisent la ligne de 5 centimètres en lui donnant une longueur de 10 centimètres; c'est une erreur énorme. D'autres ne lui donnent que la longueur de 2 centimètres. ”

“ C’est simplement ceci : l’Espace, tel que nos mathématiciens l’entendent, est censé avoir trois dimensions, qu’on peut appeler Longueur, Largeur et Épaisseur, et il est toujours définissable par référence, à trois plans, chacun à angles droits avec les autres. ”

“ Sa longueur, qui est quelquefois de cent pieds, est déterminée par l’espace que l’on veut fermer, et sa hauteur est toujours de trente ou trente-six pieds : il est bordé ou enlarmé, au pourtour, d’une ficelle peu cablée et du diamètre d’une grosse plume à écrire. ”

“ Ainsi pour toiser un mur, où l'on ne veut pas avoir égard à l'épaisseur, on en multipliera la longueur par la hauteur, pour avoir ce que l'on cherche en mètres quarrés, si la longueur et la hauteur sont exprimées en métrés courans. ”

“ Déterminer la vraie longueur d'une droite en la faisant tourner autour d'un axe vertical qui ne la coupe pas.
189. THÉORÈME. Quand une droite tourne autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projections, le lieu de ses traces sur ce plan est un cercle ayant son centre au pied de l'axe.
190. THÉORÈME. Quand une droite tourne autour d'un axe vertical, toutes les projections horizontales obtenues sont tangentes au cercle qui a pour centre le pied de l'axe et pour rayon la plus courte distance entre l'axe et la droite. ”

“ Une grandeur quelconque peut être exprimée par une longueur. — Grandeurs scalaires : expression de nombres, de distances, de durées, de forces, etc. — Chronologies comparatives. — Expression graphique des relations d’espace ; systèmes de coordonnées en général. — Idée de Descartes ; courbes exprimant les relations de deux variables. — Tableaux statistiques de Playfair.
Une grandeur quelconque peut être représentée par une longueur. ”

“ Fig. 8.
que le fil n'est pas assez tendu pour être droit.
Une ligne droite de petite étendue étant tracée ou donnée par ses deux extrémités, mesurer la longueur de cette ligne, c'est chercher combien elle contient de fois l'unité de longueur et ses subdivisions. L'unité employée en France comme mesure
Fig. 9.
de longueur se nomme le mètre ; elle est divisée en dix parties qu'on nomme décimètres ; la figure 9 représente un décimètre.
Placez dix longueurs égales à la suite l'une de l'autre, vous au-
rez une idée de la longueur qu'on appelle un mètre. ”

“ Ces propriétés appartiennent encore aux signes d’égalité et d’inégalité lorsqu’on en fait usage dans l’étude des longueurs.
Mettons plusieurs longueurs , bout à bout ; nous obtenons une nouvelle longueur ; cette longueur résultante surpasse chacune des longueurs composantes ; elle ne change pas si l’on change l’ordre dans lequel on les met bout à bout ; elle ne change pas non plus si l’on remplace quelques-unes des longueurs composantes par la longueur obtenue en mettant celles-ci bout à bout. ”

“ La longueur de ces vertèbres explique pourquoi leur nombre n'est pas plus considérable que chez l'homme malgré les dimensions en longueur de l'encolure, dont l'épaisseur, d'autre part, est sous la dépendance de leur volume. ”

“ Pour trouver une telle surface (fig. 9) , on mesure à l'aide d'un mètre les deux dimensions du champ : longueur et largeur, et on les multiplie l'une par l'autre.
Fig. 9.
Supposons que la longueur AB mesure 12m,50 ; la largeur A C, 8m, 25 ; multipliant 12,50 par 8,25 , je trouve :
103mq,125
que je lis : 103 mètres carrés, 12 décimètres carrés, 50 centimètres carrés. C'est la surface du champ 1.
REMARQUE. — Toutes les surfaces ne se mesurent pas de la même manière. On verra, dans la partie de ce livre qui traite de. la Géométrie, comment on mesure les différentes espèces de surfaces. ”

“ Lieu des foyers des ellipses qui ont même centre, sont tangentes à une même droite, et ont leurs grands axes égaux.
7. Lieu décrit par un point d'une droite de longueur constante dont les extrémités glissent sur deux droites rectangulaires.
8. Lieu décrit par un point d'une droite égale au rayon, dont les extrémités glissent sur une circonférence et sur un diamètre donnés.
9. Étant donnés un cercle et un diamètre AB, par un point C quelconque pris sur AB, on élève une perpendiculaire à AB, elle coupe le cercle en D ; on prolonge CD d'une longueur DE égale à AC; lieu des points E.
10. ”

“ Le volume du corps terminé par une surface parallèle à une courbe à double courbure et par deux plans normaux à cette courbe, est égal à la surface de l’une des sections normales multipliée par la longueur de la portion de la courbe comprise entre les deux mêmes plans. ”

“ La matière, suivant les définitions de la philosophie, est ce qui se divise en longueur, largeur et profondeur. Le feu ne se divise que suivant sa longueur perpendiculaire. Vous ne partagerez jamais une flamme ou un rayon de soleil dans sa largeur horizontale. ”

“ Seconde solution. — Pour diviser une longueur donnée l proportionnellement à trois longueurs données m, n, p, on trace deux droites parallèles AB, A'B' (fig. 210) ; on prend sur l'une d'elles, AB, une longueur DG = 1; et sur A'B' les longueurs
Fi g. 210.
DE' = m, E'F' = n, F'G' = p. On tire ensuite les droites DD', (JG' et on joint le point de concours 0 de ces droites aux points E', F' ; les droites OE', OF' rencontrent la droite DG
en des points qui la divisent proportionnellement aux trois longueurs m, n, p ; car on a (335) :
345. ”

“ Les dimensions de longueur et de largeur, qu'offrent exclusivement les anciennes géographics, et auxquelles se bornent encore pour le plus grand nombre d'états les géographies modernes, ne suffisent point pour donner une juste idée de sa grandeur. On ne peut connaître cette dernière avec précision que parla détermination exacte de sa superficie, que l'on mesure en lieues, en milles, en kilomè. ”

“ Il nous suffira de mesurer chacune des longueurs avec une même unité, le mètre par exemple ; nous obtiendrons ainsi des nombres de mètres La longueur que forment les longueurs mises bout à bout, mesurée elle aussi en mètres, sera représentée par un nombre qui sera la somme arithmétique' des nombres qui mesurent les longueurs égalité symbolique
entre les longueurs composantes et la longueur résultante sera substituée l’égalité arithmétique
entre les nombres de mètres qui représentent ces longueurs. ”

“ Des valeurs de a plus grandes que AB donnent des segments soustractifs.
Problème 455. — I.
1430. Sur un des côtés d'un angle quelconque 0, on porte une longueur
longueur que l'on prend pour unité. On porte sur l'autre côté une longueur OA, représentant un nombre quelconque a. On trace UA, et l'on reproduit l'angle OUA en OAB, en OBC, en OCD, et ainsi de suite. On demande d'exprimer les longueurs OB, OG, OD, OE... en fonction du nombre a.
Fig. 912.
Désignons par u, a, b, c, d, e... les distances OU, OA, OB, OC, etc. ”

“ A la vérité, toutes les erreurs pourraient être en plus : vous auriez pu trouver, par exemple, 4m ,359 la 1 er fois, 4m ,3586 la 2e fois, 4m ,3585 la 5° fois, et dans ce cas, la longueur moyenne 4m,3587 serait plus inexacte que les deux dernières ; mais elle le serait moins que la première ; et dans l'ignorance où vous êtes de la vraie longueur d'une droite que vous mesurez, il est possible que vous regardiez comme le meilleur, le mesurage le plus mauvais. ”

“ Lorsque cherchant, sur une droite indéfinie, une longueur déterminée, mais inconnue, qu’on croit être d’un certain côté d’un point fixe pris sur cette droite, il arrive que cette longueur est réellement du côté opposé de ce point fixe, en trouve pour la longueur cherchée, une expression négative ”

“ I. Soit un solide AB (fig. 859) encastré en A, sollicité en B par un poids P, on demande de déterminer la courbe CB qui donnera la loi du décroissement des hauteurs, la largeur restant la même, pour qu'il soit d'égale résistance.
Nommons : l la largeur AB ; x la longueur A'B; a la largeur constante de la section transversale
b la hauteur de cette section au point A ”

“ Espace compris entre deux lignes qui se rencontrent. — Les lignes qui forment un angle se nomment côtés de l'angle, et le point de rencontre sommet de l'angle. — La grandeur d'un angle dépend de l'écartement de ses côtés et non de leur longueur. ”

“ Examinons maintenant les principales mesures de longueur et de largeur du tronc et des membres.
La longueur de la clavicule (ruban) est la distance de l'acromion à la tête de la clavicule. Cette tête est la saillie osseuse que l'on sent de chaque côté de la fourchette sternale.
La distance des deux acromions, ou distance bi-acromialç, indiquant la largeur des épaules, se mesure mieux à l'équerre qu'au ruban.
La grande envergure est la plus grande distance qu'un homme puisse atteindre sur un mur ou sur une règle, en écartant horizontalement les deux bras et les deux mains. ”

“ Taillés à angles vifs, ces compartiments sont carrés et mesurent environ trois mètres de longueur sur deux de largeur ; pour la hauteur, ils dépassent de trente centimètres la taille d'un homme grand. ”

“ Pour cuber le volume d'un prisme quelconque, multipliez sa longueur par sa largeur, et ce dernier produit par son épaisseur ; le résultat exprimera en pouces , mètres , etc., la valeur du volume cherché ; ou , pour mieux dire , multipliez la surface de sa base par sa hauteur. ”

“ Car on voit, par les proportions des membres de l’homme, que la longueur du corps humain est généralement de trois brasses. Je divise la ligne inférieure du rectangle en autant de parties que cette mesure y est contenue de fois. La base du rectangle sera proportionnelle à la ligne transversale la plus rapprochée tracée sur le sol à égale distance de tous les points de la première. Je pose ensuite un point unique, dans l’aire du rectangle, à l’endroit où se porte la vue et où doit aboutir le rayon central. Aussi nommé point de centre. ”

“ La longueur prise sur l’âge de A en E, est de deux pieds, & la ligne ponctuée d’équerre avec le dessous du sep F a un pied. Ces deux pièces étant ajustées dans cette situation, on marquera la place, l’inclinaison, & la longueur de la scie G, dont le côté droit sera arrasé au même côté de l’âge, pour soutenir la joue. ”

“ Ils nagent dans cet ordre qui présente les mêmes dimensions à l'arrière que sur le devant, de telle sorte que celui qui en voit et en compte un rang, peut aisément dénombrer l'effectif de la bande, dont la profondeur égale la largeur et la largeur égale la longueur. ”

“ La surface d'un corps, c'est-à-dire ce qui le limite en tous sens, n'a que deux dimensions, la longueur et la largeur. On étudie; en général, les surfaces indépendamment des corps dont elles déterminent la forme, et l'on dit alors qu'une sùrface est l'étendue considérée seulement avec deux dimensions, let longueur et la largeur.
Lorsque deux surfaces se pénètrent, on donne le nom de ligne à leur intersection, Une ligne n'a qu'une ditriension, la longueur i
Si deux lignes se rencontrent, leur intersection est appelée point. ”