Triangle isocèle

“ Théorème 306.
1084. Un triangle isocèle mobile reste semblable à lui-même, un des côtés égaux passe par un point fixe, tandis que les extrémités de ta base glissent sur une circonférence donnée; prouver que le second
des côtés égaux passe aussi par un point fixe. (J. M. E., 1890, p. 151, LAUVERNAY.)
Soit ABC dans une position quelconque, M le point fixe, 0 le centre du cercle donné, AOD la hauteur du triangle isocèle. ”

“ La figure du triangle isocèle se rencontre souvent dans les constructions. Les fermes de charpentes, ou le profil des toits de maisons, les croupes droites qui les terminent et les frontons d'architecture représentent par leurs lignes un triangle isocèle.
THÉORÈME.
261. Si deux côtés d'un triangle sont inégaux, l'angle opposé au plus grand côté est plus grand que Vangle opposé à Il autre côté (fig. 454) .
Soit le triangle ABC; si le côté BC est plus grand que le côté AB, l'angle A doit être plus grand que l'angle C. En effet,
prenons sur le côté BC une longueur BD = AB, et tirons AD ”

“ Au contraire, l’image d’un triangle, la figure triangulaire que j’imagine, est inévitablement ou scalène ou isocèle ou équiangle, sans que jamais elle puisse être à la fois scalène et, par exemple, isocèle ; si ses éléments sont rectilignes, ils ne peuvent être en même temps curvilignes, et ils sont forcément l’un ou l’autre... C’est pourquoi aucune image de triangle ne répond avec une perfection égale à tous les triangles possibles ; qu’un triangle imaginé représente précisément certains triangles, par le fait même il ne se projette plus exactement sur les autres, il n’est pas leur image. ”

“ Or, trois points étant nécessaires et suffisants pour déterminer un plan, un triangle rectiligne est nécessairement un plan.
Lorsque les trois côtés d’un triangle rectiligne sont inégaux, on dit du triangle qu’il est scalène. Lorsque deux côtés sont égaux, on appelle le triangle isocèle. ”

“ II. L’essai de démonstration publié par un anonyme, à la page 269 du précédent volume des Annales, est entaché d’un défaut qui s’aperçoit au premier coup-d’oeil ; elle suppose qu’un cercle peut toujours être circonscrit à un triangle isocèle, quel qu’il soit ; proposition vraie sans doute ; mais qui suppose que les perpendiculaires sur les milieux des côtés égaux d’un angle quelconque doivent nécessairement se couper ; ce qui rentre au fond dans l’axiome XI d’Euclide, qui se trouve ainsi invoqué, mais non évité [1] . ”

“ En menant le diamètre MOL, nous retombons sur une question
précédente (n° 923) ; car
MAO+NAO = MAL.
Or la base ML est constante; il en est de même de la médiane AO ; donc le maximum a lieu quand le
triangle BAC est isocèle, car la médiane AO est plus grande que la moitié de la base ML. Dans ce cas, la parallèle devient la tangente BT, et l'on a :
2 fois BAO > MAO + NAO.
Remarque. Lorsque le point A est dans la circonférence, le triangle isocèle BAC correspond à la somme minima, ainsi qu'on l'a vu précédemment (n° 923, 3°) . ”

“ Le troisième côté BC s'appelle base, et le sommet opposé A porte spécialement le nom de sommet du triangle isocèle.
7° Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés égaux. Le triangle ABC (fig. 19) , qui a ses trois côtés égaux, est un triangle équilatéral.
THÉORÈME V.
Deux triangles ABC, DEF (fig. 20) qui ont un angle égal compris entre deux côtes égaux chacun à chacun, sont égaux. ”

“ De tous les triangles qui ont même base et dont le point d'intersection des hauteurs se trouve sur une droite donnée parallèle à la base, quel est celui dont l'angle au sommet est minimum ?
Les hauteurs abaissées des sommets A et C se coupent sous un angle égal au supplément de l'angle B; donc l'angle au sommet est minimum quand l'angle des hauteurs est maximum ; on obtient donc aussi un triangle isocèle. ”

“ A une circonférence donnée, circonscrire un triangle isocèle
tel que la somme des deux côtés égaux soit minima.
Le triangle isocèle demandé doit être tel. que la distance CE égale la projection BD.de la moitié do la base; en effet, admettons que les tangentes CEB, CE'B' réalisent la condition rappelée : toute droite FE'G menée par le point de contact E' sera plus grande que CE'B' (n° 168) ”

“ Soit AF2 + BF2 = a2 Pour avoir la somme des carrés, nous pouvons porter FB sur une perpendiculaire FD, alors on a Al) = a, et le triangle FDB est isocèle rectangle; donc on peut procéder comme il suit : Construisons un triangle isocèle rectangle BAC en prenant sur une perpendiculaire AC = AB; du point A comme centre, avec a pour rayon, décrivons un arc DE et projetons les points D, E sur AB.
On a, en effet, AG2 + BG2 = AG2 + GE2 = a2 (JULIUS PETERSEN. Méthodes et théories, p. 10.) Discussion. Il y a généralement deux solutions. ”

“ Proposition d’Ahoûl Haçan Alchamsî Alharawî (* [280] ) . Que l’angle donné soit ABC (fig. 42) ; construisons le triangle isocèle ABC et abaissons sur sa base la perpendiculaire AZ ; menons de C la transversale CED en sorte que ED = DB, on aura angle .
Propositions proposées par Aboûl Rîhân (Albîroûnî) . Première. Mener dans le triangle isocèle ABC (fig. 43) une droite AD, de sorte qu’en faisant et menant ED on ait , ce qui revient à faire angle (* [281] ) .
Seconde (** [282] ) · Étant donnés un cercle et une corde AB (fig. 44) , mener un rayon EDC, de sorte qu’on ait . ”

“ Lorsqu'un triangle rectangle isocèle tourne autour d'une droite menée par le sommet de l'angle droit parallèlement à l'hypoténuse, il engendre un volume équivalent à la sphère qui aurait celte hypoténuse pour diamètre. ”

“ Dans le triangle isocèle EMA, la tangente CD est donc bissectrice de l'angle au sommet M, et par conséquent perpendiculaire sur le milieu D de la base AE.
De là. un moyen de construire notre ellipse.
Du foyer A, abaissons une perpendiculaire AD sur la droite donnée CD, et prolongeons cette perpendiculaire d'une longueur DE = AD. Joignons l'extrémité E à l'autre foyer B, et le point M, où EB coupera CD, sera le point de contact de l'ellipse et de la droite. ”

“ A cette solution on peut rattacher la suivante (Journal de Mathématiques élémentaires et spéciales, 1877, p. 303) .
On mène DE parallèle à AB.
/
On a :
car
D'ailleurs. BE = a
On peut construire le triangle isocèle DEB, dont les trois côtés sont connus, puis prendre BC = o, etc.
Remarque. On peut encore donner la solution ci-après (DE COMREROUSSE, Cours de Mathématiques à l'usage des candidats A l'École Centrale, t. II, p. 224) :
Supposons le problème résolu.
Prenons BE = BA ; la droite AE est perpendiculaire à la bissectrice
BD; menons la parallèle MDN.
Fig. 968. ”

“ Prenez une base AB, fig. 185. Des points A et B, avec une ouverture de compas égale AB, décrivez deux arcs de cercle qui par leur intersection déterminent le point C. Tirez CA et CB, et le triangle équilatéral ABC est construit.
220. — Construire un triangle isocèle. Soit AB la base du triangle isocèle que l'on veut construire, fig. 186. Des points A et B comme centre, et avec une ouverture de compas différente de AB, décrivez deux arcs de cercle dont l'in-
tersection en C donne le sommet du triangle. ”

“ On sait que les côtés d'un parallélogramme inscrit sont parallèles à deux diamètres conjugués ; menons donc le conjugué DC du diamètre donné AB et une tangente EiilF qui détermine un triangle isocèle; le point M est le sommet demandé.
En effet, d'après une propriété connue du triangle isocèle (n° 10) , on a : MQ + MP = GH + GK, donc MP + MQ > IJ+IH, etc.
Remarque. La question précédente peut être considérée comme n'étant qu'un cas particulier de la suivante.
Problème.
340. On donne deux droites et une courbe; par chaque point de la courbe on mène des parallèles aux droites données ”

“ A'C' + BD'= l.
A donne en réalité BD — DL,
ou BD — AC = l.
Ainsi, lorsque la droite EL coupe le diamètre, et non son prolongement supérieur, c'est-à-dire quand on a l < 2r, mais l > zéro, une des solutions correspond à l'énoncé direct, tandis que l'autre solution correspond au problème suivant.
4804. P. Inscrire un triangle isocèle tel que la hauteur diminuée de la base égale !.
I peut décroître de 2r à zéro.
Fig. 960.
(e) l = 0.
La solution de la somme se réduit à un point; celle de la différence, ou BIJ, donne un triangle tel que la hauteur égale la base (fig. 959) . ”

“ Lorsque le triangle ABC n'est point isocèle, le lieu complet est une cubique à noeud qui passe par les points A, B, G; le sommet A est un point double. (Nouvelles Annales de THRQUEM et GÉRONO, 1850, p. 247; MARTOREY, alors élève de CATALAN, au lycée Gharlemagne.) ”