“ THÉORÈME. Le lieu géométrique des points du plan d’un polygone régulier, desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, la somme des puissances semblables d’un degré donné quelconque des longueurs de ces perpendiculaires est une grandeur constante donnée, est nécessairement une circonférence concentrique au polygone dont il s’agit ; toutes les fois du moins que l’exposant de la puissance est inférieur au nombre des côtés de ce polygone. ”

“ Mais, si l’on vient à remplacer une variable, réelle dans toute l’étendue de l’intégration, par une fonction variable, composée d’une partie réelle et d’une partie imaginaire, il semble que la valeur de l’intégrale définie peut en être altérée, bien que la nouvelle fonction substituée varie dans les mêmes limites que la variable primitive, puisqu’on a remplacé une somme d’élémens réels par une somme d’élémens imaginaires. ”

“ Si l’on suppose l’équation (1) se réduit à
qui donne et la formule (2) donne
ce qui donne ces deux valeurs et et il s’agit d’expliquer l’origine de ces deux valeurs, et pourquoi elles ne sont ni l’une ni l’autre celle qui doit répondre à ce cas.
Pour cela, remarquons d’abord que la supposition de ne fait nécessairement évanouir le terme qu’autant qu’on suppose tacitement que est une quantité finie ; car, si l’on pose à la fois et loin qu’alors le terme devienne nécessairement nul, il pourra avoir alors une valeur infinie. ”

“ Pour en faire sentir la raison, nous observerons d’abord que les variables doivent être considérées comme croissant constamment de l’infini négatif à l’infini positif, c’est-à-dire que les différentielles doivent être réputées positives, quels que soient les signes des variables elles-mêmes. Le principe contraire admis par un grand nombre de géomètres distingués, qui veulent que les signes des différentielles soient les mêmes que ceux des variables elles-mêmes, principe qui n’est d’ailleurs que de pure convention, se trouve en effet entraîner avec lui des inconvéniens de plus d’un genre. ”

“ Ces gens-là continueront donc à croire que, par exemple, si le peuple se figure le soleil et la lune à peu près de même grandeur, c’est qu’il voit ces deux astres à peu près sous le même angle, et qu’il les croit fixés à la même voûte ; et que si la lune leur paraît à eux-mêmes d’une grandeur démesurée à l’horizon, bien que pourtant elle soit vue là sous un plus petit angle qu’en tout autre point de son cours, c’est que, par l’effet de diverses causes, faciles à décrire, il s’exagère alors l’intervalle qui les en sépare. ”

“ II. La caustique par réfraction, pour une courbe plane quelconque, et pour un point rayonnant situé d’une maniera quelconque dans le plan de cette courbe, est la développée de l’enveloppe de tous les cercles qui ont leurs centres sur la courbe séparatrice des deux milieux, et dont les rayons sont aux distances de ces mêmes centres à une circonférence décrite du point rayonnant comme centre, avec un rayon quelconque, dans le rapport constant du sinus de réfraction au sinus d’incidence. ”

“ Supposons, en effet, qu’en prenant les parties égales entre elles, les angles forment une suite convergente dont la somme ait une limite moindre que l’angle droit, égale à l’angle aigu par exemple. Il est évident qu’alors toute oblique située au-dessous de quelque voisine qu’elle en puisse être d’ailleurs, rencontrera tandis qu’au contraire aucune oblique au-delà de cette droite ne pourra jouir d’une pareille propriété. ”

“ Si, en effet, par l’un quelconque des points du périmètre de cette courbe on conduit une droite hors de son plan, et qu’ensuite on conçoive deux sphères à la fois tangentes au plan de la courbe en ses deux foyers et tangentes à la droite arbitraire ; en faisant tourner tout le système autour de la droite qui joint les centres des deux sphères, l’arbitraire engendrera l’hyperboloïde demandée.
Il y a un cas particulier qui fait exception ; c’est celui où le plan de la section fait avec l’axe de l’hyperboloïde un angle précisément égal à celui que fait avec lui la génératrice de cette surface. ”

“ Peut-être croirait-on atteindre le but en disant que l’exposant dont il est question dans la définition est supposé réduit à ses moindres termes ; mais ce serait rendre la définition des logarithmes moins générale ; et jamais on ne doit, sans une absolue nécessité, faire de telles restrictions en analise.
Il paraîtra peut-être plus conforme à la marche analitique de supposer, tout au contraire, que l’exposant a été amené à avoir un dénominateur infini ; ce qui rendra la puissance aussi générale qu’elle puisse l’être. ”

“ I. Dans tout système dont la base est positive, tout nombre positif a un logarithme réel. Quant aux nombres négatifs, ils se partagent en deux séries telles que chacun de ceux de l’une d’elles a un logarithme réel, le même qu’il aurait s’il était positif ; tandis que ceux de l’autre série ont tous des logarithmes imaginaires.
II. Dans tout système dont la base est négative, il y a une moitié des nombres qui, avec quelque signe qu’on les prenne, ne sauraient avoir de logarithmes réels. ”

“ On doit remarquer aussi que toute formule de trigonométrie sphérique dans laquelle les arcs ne figurent que par leurs sinus ou leurs tangentes, et qui est homogène par rapport à ces deux sortes de fonctions, donne naissance à une formule de géométrie plane qu’on en déduit en substituant simplement les arcs à leurs sinus et tangentes et les considérant ensuite comme des lignes droites ; ce qui revient évidemment à supposer que le rayon de la sphère devient infini. ”

“ Soient en effet un parallélipipède rectangle et un cube équivalent ; et supposons, s’il est possible, que ce cube n’ait pas une moindre surface. En construisant un parallélipipède semblable à et de même surface que ne serait pas moindre que ni conséquemment moindre que contrairement à ce qui vient d’être démontré.
Voilà des démonstrations terre à terre, telles que l’Anonyme paraît les aimer, et telles que tout le monde peut les trouver ; tandis que M. Bouvier les avait abrégées par un coup d’adresse ; et, dans notre opinion, les coups d’adresse qui abrègent constituent le talent. ”

“ Ainsi, il demeure décidé par M. Lehot qu’il y a toujours une distance de l’œil à laquelle la grandeur apparente de chaque objet est maximum, de telle sorte qu’en partant de cette distance, soit qu’on l’approche soit qu’on l’éloigné du spectateur, sa grandeur apparente diminue également ; mais que, tandis qu’il faut l’éloigner à l’infini pour que sa grandeur apparente devienne nulle, il ne le faut rapprocher de l’œil, au contraire, que d’une quantité médiocre, pour obtenir le même résultat ”

“ Lorsqu’ensuite on sera parvenu à la fin du calcul, si le logarithme final est du genre de ceux auxquels il ne répond aucun nombre réel, il suffira également de l’augmenter ou de le diminuer d’une quantité bien inférieure à celles qu’on se permet de négliger dans ce mode de calcul, pour le faire répondre à deux nombres réels ne différant l’un de l’autre que par le signe. ”

“ On voit en même temps que le corps de volume donné dont la surface est minimum doit avoir toutes ses sections planes circulaires ou n’en doit avoir aucune ; et il n’en faut pas davantage pour prouver, sans calcul, que, lorsque sa base plane est une ligne du second ordre, différente du cercle, sa surface ne saurait être une surface du second ordre ; puisqu’une telle surface peut toujours être coupée circulairement par des plans, dans deux directions différentes. ”

“ Un segment de cercle est, en effet, la surface comprise entre un arc quelconque et sa corde ; or, rien n’empêche qu’on ne prenne l’arc plus grand qu’une circonférence et même plus grand que tant de circonférences on voudra ; et alors le segment vaudra lui-même plus d’un cercle entier, et pourra même surpasser tel nombre de cercles on voudra. ”

“ Je vais plus loin, Monsieur, et j’appréhende fort que quelques raisonneurs obstinés ne prétendent que, puisque des couleurs appliquées, avec tant soit peu d’art, tout à plat sur une toile, suffisent pour nous faire éprouver le sentiment du relief ; il se pourrait, en toute rigueur, que l’auteur de la nature n’eut pas mis plus de finesse dans l’organisation de l’œil, et qu’une peinture faite tout à plat sur la rétine fut également suffisante pour nous avertir de la présence des corps extérieurs, et pour nous en faire connaître les formes réelles ”

“ Il ne faudra donc pas partager l’unité linéaire en un nombre fini mais en un nombre infini de parties ; c’est-à-dire qu’il faudra donner aux des dénominateurs infinis ; et ce que nous avons dit plus haut montre qu’il n’est pas permis de réduire les valeurs fractionnaires de à leur plus simple expression.
§. V. Réponse aux objections. On pourrait peut-être nous objecter ici qu’en supposant le dénominateur de infini, il n’en reste pas moins une indétermination dans la définition des logarithmes ; puisque ce nombre infini peut être, à volonté, supposé pair ou impair. ”

“ THÉORÈME XVI. Si un quadrilatère est à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre cercle, il y aura une infinité d’autres quadrilatères qui seront aussi inscrits au premier cercle et circonscrits au second, dont les diagonales passeront toutes par un même point, et dont les points de concours des directions des côtés opposés seront sur une même droite, polaire de ce point par rapport à l’un et à l’autre cercles. ”