Polaire (géométrie)

“ Quand on a deux coniques quelconques dans un plan, il y a à considérer : 1° Trois points A, B, C, qui jouissent de la propriété que l'un quelconque d'entre eux a même polaire, par rapport à l'une ou à l'autre courbe : cette polaire commune est la droite qui joint les deux autres points. ”

“ Des considérations de Géométrie analytique, fondées sur la théorie des polaires réciproques, conduisirent l'éminent géomètre non-seulement à la démonstration des théorèmes déjà connus, mais à diverses propriétés nouvelles, qui établissent des relations intimes entre la surface de l'onde et l'ellipsoïde qui sert à sa construction.
Ainsi il vit que : La polaire réciproque de la surface des ondes par rapport à une sphère concentrique est une nouvelle surface des ondes. (Art. 22.) ”

“ La droite d'intersection de deux plans tangents à une surface du second degré s'appelle la polaire de la corde qui joint les deux points de contact de ces plans. Le théorème que nous venons de démontrer prouve donc que : toutes les droites qui passent par un même point ont leurs polaires situées dans un même plan ”

“ S'il y avait une étoile qui fût précisément placée dans la direction de l'axe , c'est-à-dire au pôle, elle seule resterait immobile , quand toutes les autres se mouvraient. Celle qu'on appelle étoile polaire est très-près de notre pôle , et pour cette raison décrit un très-petit cercle.
Tous les astres varient de position par rapport à nous. Les astronomes mesurent le nombre de degrés, en latitude et en longitude, qui marquent cette position à certaines heures du jour, et pour chaque jour. ”

“ D'après cela, soient trois diamètres conjugués de la première surface Σ; la polaire de chacun d'eux est située à l'infini, dans le plan des deux autres; donc, à ces diamètres correspondront, dans la surface homographique Σ', trois droites passant par le point C', qui seront telles que la polaire de l'une d'elles sera dans le plan des deux autres ”

“ Équation polaire du cercle. — Pour montrer le parti que l'on peut tirer de l'équation polaire d'une courbe, proposons-nous de déterminer celle du CERCLE, au moyen de la transformation des coordonnées (278) , en prenant pour pôle un point quelconque 0 (fig. 130) pris dans son plan.
L'équation du cercle rapportée à son centre et à des axes rectangulaires étant 1'2+ X2= R\
il suffit de remplacer x et y par leurs valeurs (3) ; et l'on obtient, toute simplification faite, p2 + 2 (a cosφ + b sinφ) p+ fl!+ b2 — R2 = o. ”

“ Un pôle de la terre devient le sommet d'un cône ayant pour base chacune des lignes courbes à tracer sur l'hémisphère le plus éloigné. L'intersection de ce cône avec le plan de l'équateur est la projection polaire de cette courbe
ments de rotation d'un axe à un autre, les deux axes n'étant pas parallèles. ”

“ Si ce point fixe est le centre de la première surface, son plan polaire sera à l'infini, et le théorème prendra cet énoncé : Quand deux sur faces du second degré sont homologiques; si, du centre d'homologie, on mène deux rayons aux extrémités d'un diamètre de la première surface, la somme ou la différence de ces rayons, divisés respectivement par les rayons menés aux points homologues de la seconde surface, sera constante. ”

“ La polaire réciproque d’une courbe donnée, sur le plan d’une section conique, est à la fois le lieu des pôles de toutes les tangentes à cette courbe, et l’enveloppe de l’espace parcouru par les polaires des points de cette même courbe. ”

“ Si l'on tourne maintenant la sphère de manière à ce que l'on voit l'étoile polaire à travers le tube qui passe par les deux pôles, c'est-à-dire par le commencement de la ligne graduée et par le point qui lui est opposé, le globe se trouve orienté, et cette dernière ligne est le méridien, tandis que les autres représentent l'équateur, les tropiques et les cercles polaires. ”

“ En effet, le degré, ou l'espace qu'il faut parcourir entre deux verticales pour avoir un degré, n'est pas le même à toutes les latitudes : il est d'autant plus long qu'on s'approche davantage des pôles ; il est à son minimum sous l'équateur : ce qui indique bien évidemment un aplatissement des pôles, et non un allongement comme on l'avait d'abord conclu par une étrange erreur.
La mesure de cet aplatissement, déduite des inégalités lunaires (Voyez la leçon XVIII) , a donné 4/3051, c'est-à-dire que le diamètre polaire est plus petit de 4/305 que le diamètre équatorial. ”

“ Considérons maintenant, comme le centre de la terre, l’intersection du diamètre de l’équateur et de l’axe du pôle ; la somme des deux tangentes à la développée du méridien, menées de ce centre, la première, suivant l’axe du pôle, et la seconde, suivant le diamètre de l’équateur, sera plus grande que l’arc de la développée qu’elles comprennent entr’elles : or le rayon mené du centre de la terre, au pôle boréal, est égal au rayon du degré polaire, moins la première tangente ; le demi-diamètre de l’équateur est égal au rayon du degré du méridien de l’équateur, plus la seconde tangente ”

“ L'inégalité des jours est une conséquence immédiate de la déclinaison du soleil. Le petit cercle de la sphère parallèle à l'équateur, et à la distance de 25" 1/2 de chaque pôle, est le cercle polaire; à cette latitude le soleil, lorsqu'il est à sa plus grande déclinaison, arrive à l'horizon exactement à minuit sans se coucher. ”

“ La terre fut considérée en France, pendant quarante ans, comme un sphéroïde allongé vers les pôles; mais l'illustre Académie des sciences ne désespéra point des théories établies par les calculs les plus sublimes. Deux commissions, prises dans son sein , furent envoyées, l'une, en 1736, au Pérou, et l'autre, en 1737, au cercle polaire, pour mesurer les degrés du méridien dans le voisinage de l'équateur et auprès du pôle. ”

“ L'étoile polaire l'indique à peu près dans l'hémisphère boréal de la terre ; mais c'est la marche du soleil qui le fait connaître d'une manière universelle et exacte. Supposons le soleil à un des points du solstice; l'astre, dans cette position, reste sensiblement à la même distance de l'équaeur, et paraît décrire un cercle parallèle à l'équateur, et dont la partie comprise au-dessus de l'horizon, a, b, c, figure \, est partagée en doux portions égales par le méridien. ”

“ L'équateur.-Cercle placé à égale distance des deux pôles
et partageant la terre en deux demi-sphères ou hémisphères.
L'hémisphère qui renferme le pôle Nord est l'hémisphère boréal; l'autre est l'hémisphère austral.
Les tropiques. — Deux cercles placés à égale distance de l'équateur. Celui qui est situé dans l'hémisphère boréal est appelé tropique du Cancer. L'autre est appelé tropique du Capricorne.
Les cercles polaires. — Deux cercles placés à égale distance des pôles. Celui qui est situé dans l'hémisphère boréal est appelé cercle polaire arctique ou boréal. ”

“ Le pole arctique, polus arcticus.
On appelle aussi arctique tout ce qui est du côté du pole arctique, tout ce qui est septentrional. L’hémisphère arctique est la moitié de la sphère, qui a pour pole ou pour centre le pole arctique. Le cercle arctique est le cercle polaire septentrional, éloigné de 23 degrés, 29 minutes du pole arctique, & selon M. Harris, 23 degrés, 30 minutes. Les terres arctiques, terræ arcticæ, ou septentrionales, sont des terres inconnues, situées au septentrion de l’Europe & de l’Amérique vers le pole arctique. ”

“ L'espace renfermé entre le cercle polaire et le Pôle a été divisé en climats de mois, c'est-à-dire en zones d'une largeur telle, que, sous les deux parallèles qui renferment chaque climat, les plus longs jours varient d'un mois. Le Pôle est six mois de suite dans la lumière, et six mois dans l'obscurité : en effet, à l'équinoxe de mars, quand le Soleil est sur l'Equateur, le cercle d'illumination coupe celui-ci perpendiculairement, laisse autant de jour que de nuit à tous les points de la Terre, et passe par les Pôles, qui sont alors sur la limite de la lumière et de l'obscurité. ”

“ On sait que la polaire conique relative à chaque point d'inflexion, première polaire relative à ce point, est le système de deux droites, dont l'une est la tangente au point d'inflexion, et l'autre l'axe harmonique du point par rapport aux points de rencontre de la courbe autres que le point d'inflexion avec les sécantes qui en sont issues. ”

“ Chacun des points où l’extrémité de l’axe terrestre perce le globe est un pôle. Celui tourné du côté de l’étoile polaire est le pôle nord, boréal ou arctique. Le pôle opposé est le pôle sud, austral ou antarctique. S’appellent zones glaciales ou régions polaires, les pays ou océans compris autour des pôles dans l’intérieur des cercles polaires, lesquels sont respectivement situé à 66° 33’de l’équateur. ”

“ D'un autre côté ces surfaces des terres et des mers sont très inégalement distribuées ; l'examen d'une mappemonde et surtout d'un globe nous le montre immédiatement avec la plus grande netteté. Il est facile de voir que les terres sont surtout développées dans l'hémisphère nord et d'autant plus qu'on s'élève vers le cercle polaire, tandis que le contraire a lieu dans l'hémisphère sud: en effet, abstraction faite du continent polaire, les terres deviennent plus rares à mesure qu'on descend au Sud. ”

“ Car le soleil répand alors toujours sa lumiere jusqu’à ce cercle polaire qui est tout entier au-delà du terme de la lumiere & de l’ombre, les rayons ne pouvant plus indépendamment de la rotation de la terre, s’étendre au-delà du cercle polaire arctique. ”

“ La hauteur du pole ôtée de 90 degrés, fait connoître la hauteur de l’équateur, c’est-à-dire, l’angle de l’équateur avec l’horison. Voyez Equateur.
Si la plus grande hauteur méridienne de l’étoile polaire ou d’une autre étoile quelconque de l’hémisphere septentrional, excede la hauteur de l’équateur, en soustrayant cette derniere de la premiere, on aura la déclinaison septentrionale de l’étoile. Si la hauteur de l’étoile est plus petite que celle de l’équateur, la premiere étant soustraite de la derniere, donne la déclinaison méridionale de l’étoile. ”

“ Mais, quand on descend vers nos latitudes, le phénomène se complique d’un élément assez difficile à apprécier, et sur lequel je désire bien vivement d’attirer l’attention des géomètres. À mesure que l’on s’approche de l’équateur, le plan de l’horizon prend sur l’axe de la terre une position de plus en plus oblique, et la verticale, au lieu de tourner sur elle-même comme au pôle, décrit un cône de plus en plus ouvert ; il en résulte un ralentissement dans le mouvement apparent du plan d’oscillation, mouvement qui s’annule à l’équateur pour changer de sens dans l’autre hémisphère. ”

“ L’axe autour duquel notre globe fait un tour entier chaque vingt-quatre heures, perce-t-il constamment le sphéroïde terrestre aux mêmes points matériels ? En d’autres termes, les pôles de rotation qui, d’année en année, correspondent à des étoiles différentes, se déplacent-ils aussi à la surface de la Terre ?
Dans le cas de l’affirmative, l’équateur se promène comme les pôles ; les latitudes terrestres sont variables ; aucune contrée, pendant la suite des siècles, ne jouira, même en moyenne, d’un climat constant ; les régions les plus diverses pourront tour à tour devenir circompolaires. ”

“ A une distance de 23 degrés de chaque pôle, se trouve un parallèle qu'on appelle cri-cie polaire, et qui marque la latitude sur laquelle le Soleil passe plus d'un jour sans se coucher, en été ; plus d'un jour sans se lever, en hiver. ”

“ Les deux pôles sont les parties du globe où le soleil a le moins d'action et où il fait le plus froid. On appelle zones glaciales les deux régions qui s'étendent de l'un ou de l'autre pôle jusqu'à l'un des deux cercles polaires: cercle
polaire du nord et cercle
polaire du sud. > Les deux régions si-
- tuées entre un cercle polaire et un tropique sont les zones tempérées. La chaleur et le froid y sont relativement modérés.
La Terre a une surface cinquante et une fois grande comme celle de l'Europe.
Près des trois quarts de la surface de la Terre sont couverts par la mer ”

“ Comme ce cercle coupe l'axe et tous les méridiens en deux parties égales et perpendiculairement, chacun de ses points se trouve à 90 degrés des pôles. L'angle formé par la verticale du pôle boréal et celle d'un point de 1 équateur est donc de gjo0, et telle est aussi alors la différence entre les angles donnés par une même étoile et deux horizontales. Or, si l'étoile visée est la polaire, la ligne de mire PE dirigée du pôle P (F. 11) est le prolongement de l'axe du globe. Elle est donc verticale et fait
un angle droit avec l'horizontale PH'. ”

“ Cette distance s'obtient donc en multipliant 1600 lieues par 23 300 et le résultat par 206 265, ce qui donne 7 689 559 200 000 lieues ou plus de 7 trillions de lieues !
Si vous voulez une autre preuve, remarquez que quelle que soit la position d'un observateur sur l'hémisphère boréal de la Terre, la sphère étoilée lui paraît
toujours tourner autour de la droite qui va de son œil à l'étoile polaire, ou, pour parler plus exactement, à un point très-voisin de cette étoile et qu'on nomme le pôle nord. ”

“ La seule influence qui rayonne du centre polaire tend à troubler cet équilibre, car les débris de roche, enlevés au pôle arctique par les glaces flottantes ne sont emportés que dans une seule direction jusqu'aux limites de la zone torride, et cette direction est celle des courants qui descendent dans l'Atlantique; partout ailleurs les produits de l'érosion s'arrêtent aux abords du cercle polaire. ”

“ Les questions scientifiques qui se rattachent à la connaissance de la zone polaire sont nombreuses et très-complexes. Nous n'aborderons que les principales. Presque toutes sont en discussion, et ce n'est pas à notre siècle qu'il appartiendra de les résoudre. Elles s'enchaînent d'ailleurs si étroitement les unes aux autres que chaque découverte nouvelle modifie les vues antérieurement acquises sur chacune d'elles. ”