Ellipsoïde

“ C'est en vertu de ces mêmes lois qu'au lieu d'être une sphère, ce globe est un ellipsoïde aplati aux extrémités, de l'axe et renflé à l'équateur.
Si la masse fluide, au moment où a commencé le mouvement de rotation, avait été homogène et libre de toute influence extérieure, le globe en voie de formation n'aurait pu être que l'ellipsoïde de révolution lui-même engendré par l'ellipse tournant autour de son petit axe ; l'équilibre ne pouvant s'établir et subsister dans une masse de cette nature, si elle tournait autour du grand axe de l'ellipse. ”

“ Un premier travail ( 1) a pour objet de montrer que les formules connues pour l'attraction de l'ellipsoïde sur un point extérieur conduisent immédiatement, par un simple changement de variables, auquel on n'avait pas encore songé, à l'expression de l'attraction d'une couche infiniment mince comprise entre deux surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement placées; attraction qu'on prouve être normale à l'ellipsoïde mené par le point et homofocal à la surface externe de la couche; ce qui fait connaître les surfaces de niveau relatives à l'attraction de la couche. ”

“ Nous avons vu que, si l'on suppose qu'une ellipse est une ligne polie à l'intérieur, tous les rayons calorifiques ou lumineux, émanés de l'un des foyers, iront converger à l'autre; imaginons actuellement que cette ligne tourne autour de son grand axe, elle engendrera une surface que nous avons désignée sous le nom d'ellipsoïde allongé. Il est à remarquer que tous les méridiens de cette surface de révolution auront les mêmes foyers et que l'effet dont nous venons de parler se produira pour chacun de ces méridiens. ”

“ Dans le cas particulier de cristaux à un axe l’ellipsoïde d’élasticité est de révolution ; l’ellipsoïde réciproque, et par suite la surface d’onde le sont également. L’intersection de cette surface par deux des plans de symétrie se compose d’une ellipse et d’un cercle ; l’intersection par le troisième plan de symétrie est formée de deux cercles. — La surface d’onde se compose alors d’une sphère et d’un ellipsoïde de révolution tangents. ”

“ Occupons-nous d'abord des cristaux uniaxes. Si l'axe de révolution des ellipsoïdes est l'axe de plus petite élasticité, la surface d'onde se décompose en un ellipsoïde et en une sphère extérieure à l'ellipsoïde.
Il en résulte que le rayon de la sphère est plus grand qu'un rayon vecteur quelconque de l'ellipsoïde. Autrement, la vitesse du rayon ordinaire est plus grande que la vitesse d'un rayon extraordinaire, quel qu'il soit. On dit alors que le cristal est positif. ”

“ Puis, comme toutes les couches concentriques éprouveront des modifications semblables, le corps tout entier prendra la figure de l'ellipsoïde engendré par la révolution autour de son petit axe d'une demi-ellipse méridienne. — Le mot méridien, que nous venons d'employer plusieurs fois, s'applique à toute courbe qui entoure la sphère ou le sphéroïde en passant par les extrémités de l'axe, et équateur se dit du grand cercle perpendiculaire à l'axe. ”

“ Prenons d'abord une sphère : le principe de déformation donnera un ellipsoïde à trois axes inégaux; et les propriétés de la sphère se convertiront immédiatement en propriétés de l'ellipsoïde. Il est évident qu'au centre de
la sphère correspond le centre de l'ellipsoïde ”

“ L’intersection de l’ellipsoïde d’élasticité par un plan sera une ellipse que nous désignerons par un déplacement suivant un des axes de cette ellipse donnera naissance à une force élastique qui, en général, ne sera pas dans le plan de l’ellipse mais dont la projection sur ce plan sera dirigée suivant l’axe lui-même. ”

“ La plus grande partie de la matière tend à se rapprocher de la forme sphérique, pendant que la plus petite partie sort de l'ellipsoïde par un des sommets du grand axe, comme si elle cherchait à se détacher de la masse principale. ”

“ Pour rendre cela sensible par les résultats du calcul dans un cas que j’ai soumis à l’Analyse [5] , concevons que la Terre soit un ellipsoïde de révolution recouvert en partie par la mer, dont nous supposerons la densité très petite par rapport à la moyenne densité de la Terre. Si l’ellipticité du sphéroïde terrestre est moindre que celle qui convient à l’équilibre de sa surface supposée fluide, la mer recouvrira l’équateur terrestre jusqu’à une certaine latitude. ”

“ La biréfringence suivant une direction est donnée par la forme de l'ellipse découpée dans l'ellipsoïde optique par le plan normal à la direction et passant par le centre.
Cet ellipsoïde doit avoir au moins la symétrie de la particule ; tout axe binaire de celle-ci est un axe de l'ellipsoïde; tout axe ternaire, quaternaire ou sénaire de la particule est un axe de révolution de l'ellipsoïde qui est une sphère quand la particule a plus d'un axe quaternaire, c'est-à-dire quand elle a la symétrie cubique. ”

“ L’ellipsoïde de polarisation se réduisant à un cylindre de révolution, l’un des axes de cet ellipsoïde devient infini, et la vitesse de propagation correspondante, qui est l’inverse de la longueur de cet axe, devient nulle. ”

“ Enfin, une idée simple et décisive vint s'offrir à quelques esprits supérieurs que fatiguait l'interminable dispute sur l'aplatissement du globe. On pensa que la courbure du sphéroïde terrestre pourrait bien être sujette à quelques légères irrégularités. Pourquoi la nature, qui n'aime point les figures géométriques, aurait-elle fait de la terre un ellipsoïde exactement régulier? ”

“ II. Si trois ellipsoïdes, tellement situés dans l’espace que trois diamètres conjugués de l’un quelconque soient respectivement parallèles trois diamètres conjugués de chacun des deux autres, se coupent en huit points ; ces huit points seront sur un quatrième ellipsoïde dans lequel les diamètres conjugués égaux seront respectivement parallèles aux diamètres conjugués que l’on suppose être déjà parallèles dans les trois premiers. ”

“ Recherche de l’ellipse de plus grande surface inscriptible à un triangle donné, de l’ellipse de moindre surface circonscriptible à un triangle donné, de l’ellipsoïde de plus grand volume inscriptible à un tétraèdre donné et de l’ellipsoïde de moindre volume circonscriplible à un tétraèdre donné ”

“ Si l'on demande un ellipsoïde de révolution dont trois diamètres conjugués aboutissent à trois points donnés, une infinité d'ellipsoïdes satisferont à cette question, leurs centres seront situés sur deux coniques, ellipse et hyperbole, situées dans deux plans rectangulaires, et dont l'une aura pour sommets et pour,foyers les foyers et les sommets de l'autre. ”

“ On nomme ellipsoïde une courbe plus allongée que l'ellipse. Le tracé des ellipses allongées est d'un usage fréquent; il y en a de plusieurs formes.
1° Soit une ligne A D (figure 77) , construire une ellipsoïde sur cette ligne, qui en sera le grand axe. Partagez la droite A D en quatre parties égales, et sur le centre de similitude 0, élevez une perpendiculaire P Q: prenez OJ, 01= 06; puis,
Fig. ”

“ Si l'on coupe un ellipsoïde par un plan perpendiculaire soit au grand axe, soit à l'axe moyen, il existe sur la focale contenue dans le plan de ces deux axes deux points tels, que la somme des rayons vecteurs menés de ces points à un point quelconque de la section est constante, et que la normale à la surface en ce point est dans le plan des deux rayons et divise leur angle en deux également. ”

“ Lorsqu'on veut recouvrir entièrement par une seule et même voûte un espace dont le plan offre deux dimensions inégales, il faut donner à l'intrados la forme d'un ellipsoïde; mais pour simplifier les opérations graphiques, on peut encore faire en sorte que cet ellipsoïde soit de révolution autour d'un de ses deux axes horizontaux : si c'est le plus petit, la voûte sera surhaussée, et elle se trouvera surbaissée si c'est le plus grand. ”

“ Des considérations de Géométrie analytique, fondées sur la théorie des polaires réciproques, conduisirent l'éminent géomètre non-seulement à la démonstration des théorèmes déjà connus, mais à diverses propriétés nouvelles, qui établissent des relations intimes entre la surface de l'onde et l'ellipsoïde qui sert à sa construction.
Ainsi il vit que : La polaire réciproque de la surface des ondes par rapport à une sphère concentrique est une nouvelle surface des ondes. (Art. 22.) ”

“ Pour compléter cette théorie, il resterait à assigner, 1.o la plus grande ellipse circonscrite à un quadrilatère quelconque ; 2.o le plus grand ellipsoïde inscrit à un hexaèdre octogone quelconque ; 3.o le plus petit ellipsoïde circonscrit à un octaèdre hexagone quelconque. Si nous sommes assez heureux pour jamais parvenir à ces diverses déterminations, nous nous empresserons de faire connaître les résultats auxquels nous serons parvenus. ”

“ Que l'on conçoive un ellipsoïde (dont les trois demi-diamètres principaux sont proportionnels aux racines carrées des trois élasticités principales du milieu, ou bien aux vitesses de la lumière suivant les axes de ces élasticités) ; qu'on mène par le centre de cette surface une transversale quelconque, et qu'on porte sur cette droite, à partir du centre, des segments égaux aux demi-diamètres de l'ellipse résultant de la section de la surface par le plan diamétral perpendiculaire à la transversale : les extrémités de ces segments seront sur la surface du quatrième degré en question. ”

“ Si le corps attirant est un ellipsoïde et que le corps attiré lui soit intérieur, une seconde intégration s'effectue encore aisément, et les trois composantes de l'attraction sont exprimées par des intégrales simples, réductibles à deux fonctions elliptiques de première et de deuxième espèce, dont les valeurs s'obtiennent sous forme finie, quand il s'agit d'un ellipsoïde de révolution. ”

“ De plus, il est aisé de démontrer (en se bornant toujours aux premières puissances de ) que
représentant la surface de la section du corps faite par le plan de flottaison, dans sa position d’équilibre. Donc, substituant ces dernières expressions dans les équations (11) et intégrant, on aura
étant les constantes arbitraires.
Appliquons ces formules à l’ellipsoïde. Nous aurons d’abord
étant les trois axes de l’ellipsoïde, de manière à ce que l’axe soit vertical, dans la position d’équilibre. ”

“ Forme de la Terre : un ellipsoïde de révolution, dont le plus long rayon est de 6,377,398 mètres ou 1,594 lieues de 4 kilomètres en nombres ronds — le plus court étant de 6,356,080 mètres ou de 1,589 lieues. ”

“ Addition à la même solution ; par le même.
Démonstration de deux théorèmes sur l’ellipsoïde, par M. Durrande.
GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Sur la nature des courbes qu’on obtient en coupant un cône par un plan ; par M. Gergonne.
Démonstration d’un théorème sur le tétraèdre ; par M. Vallès.
Démonstration élémentaire de diverses propriétés de l’ellipse et de l’ellipsoïde ; par M. Durrande.
Sur l’équivalence des tétraèdres de même base et de même hauteur ; par MM. Gergonne et Querret.
GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE.
Démonstration de deux théorèmes appartenant à la géométrie de la règle ”

“ Une seule suffit pour le calcul de l'attraction sur des points situés à la surface, ou dans l'intérieur de l'ellipsoïde, la voici : « Étant données deux ellipses semblables, semblablement placées et » concentriques; par un des sommets de la plus petite, on lui mène sa tan» gente, qui rencontre l'autre ellipse en deux points ; » Par l'un de ces points, on mène, dans cette seconde ellipse, deux » cordes quelconques, mais également inclinées sur la tangente en question ; » Par le sommet de la première ellipse, on mène, dans cette courbe, deux » cordes parallèles à celles de l'autre ellipse; » ”