Alexandre Bezodis

“ THÉORÈME VII. — Le lieu géométrique des projections
des foyers sur les tangentes est une circonférence qui a pour diamètre le grand axe de l'ellipse.
On sait qu'on appelle projection d'un point sur une droite, le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite. ”

“ Si, par exemple, une lampe est renfermée dans une lanterne percée d'une ouverture circulaire, les rayons qui s'en échappent sont tous contenus dans l'intérieur d'un cône, qui a pour sommet le point lumineux, et pour base, l'ouverture de la lanterne. Lorsqu'on reçoit ce faisceau sur un plan, la ligne qui sépare l'ombre de la lumière est un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que le plan est plus ou moins incliné sur l'axe du cône. ”

“ Il est à remarquer que, si la courbe est convexe, la sécante n'a, par définition, que deux points communs avec elle ; par suite, ces deux points venant à se confondre, la tangente n'a qu'un point commun avec la courbe. On voit en même temps que la courbe est tout entière d'un même côté de sa tangente. ”

“ La courbe qu'on appelle anse de panier, qui est d'un usage très-fréquent en architecture, n'est pas, à proprement parler, une courbe particulière, c'est un composé d'arcs de cercle raccordés les uns aux autres, au moyen desquels on imite à peu près une ellipse. ”

“ On voit par là que tous les diamètres d'un cercle sont des axes.
6. SOMMETS. — Les extrémités d'un axe, c'est-à-dire les points où il rencontre la courbe, s'appellent les sommets. Ainsi tous les points de la circonférence peuvent être considérés comme des sommets. ”

“ HÉLICE SOUFFLANTE. — On fait encore usage de l'hélicoïde gauche d'une autre manière, pour produire un courant gazeux. Imaginons un axe vertical armé d'une spire d'hélicoïde gauche et enfermé dans un tube cylindrique. C'est là une véritable vis fixe dont l'écrou est l'air qui remplit le tube. Si donc cet appareil est installé au-dessus d'un puits de mine, par exemple, la rotation de
la vis produira, selon le sens dans lequel elle aura lieu, un mouvement ascendant ou descendant de l'écrou, c'està-dire un appel de l'air venant de la mine, ou une injection d'air extérieur. ”

“ SOUS-NORMALE. — On appelle sous-normale, la projection sur l'axe, de la partie de la normale comprise entre la courbe et l'axe. Ainsi, la sous-normale est la longueur PN (fig. 64) .
COROLLAIRE lIT. — Dans la parabole, la sous-normale est constante et égale au paramètre.
Nous savons, en effet, que la droite FH (fig. 64) est perpendiculaire à la tangente, et, par suite, parallèle à la normale; la figure MHFN est donc un parallélogramme, et FH = MN. Conséquemment, les deux triangles rectangles HDF, MPN sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et un côté égal DH = MP ”

“ Or il est clair qu'un point, placé dans l'intérieur de ce cône, dans la région opposée au point lumineux S, sera entièrement privé de lumière; tandis qu'un point quelconque, extérieur au cône, sera éclairé comme si la sphère opaque n'existait pas. Si l'on coupe ce cône d'ombre par un plan, la courbe d'intersection formera sur cet écran, la séparation de
l'ombre et de la lumière. ”

“ REMARQUE. Il est important de remarquer que les méthodes que nous venons d'exposer n'exigent pas que l'ellipse soit tracée. C'est là un très-précieux avantage; quand on construit une ellipse par points, il est utile de tracer en même temps les tangentes aux divers points que l'on a déterminés. Ces tangentes font, pour ainsi dire, sentir la forme de la courbe et l'on peut se borner à construire rigoureusement un petit nombre de points. ”

“ On évite cet inconvénient, en ayant soin de faire passer une tangente par chacun des points d'inflexion ; de cette manière, la ligne brisée 'circonscrite est la somme de plusieurs lignes brisées, dont chacune est plus longue que l'arc correspondant.
Si la courbe dont on veut évaluer la longueur forme le contour extérieur d'un corps solide, on se contente assez souvent de la mesurer en appliquant sur elle un cordon flexible; c'est ainsi, par exemple, que l'on évalue la circonférence d'un tronc d'arbre. ”

“ Celui-ci ne s'avance donc qu'en vertu de la différence qui existe entre la vitesse qu'il prendrait si l'écrou restait immobile, et la vitesse rétrograde du liquide. C'est pour cette raison qu'on esiobligé de donner à l'hélice un mouvement de rotation très-rapide.
Il serait fort incommode d'employer pour l'hélice propulsive un tour de vis tout entier; l'appareil aurait ainsi une trop grande longueur. Aussi a-t-on l'habitude de former l'hélice des navires de plusieurs portions égales de spire, disposées régulièrement autour de l'axe. ”

“ Une courbe est plane, lorsque tous ses points sont dans un même plan; dans le cas contraire, on dit que la courbe est gauchi ou à double courbure.
5. On dit qu'une ligne courbe est convexe, lorsqu'elle
ne peut être coupée par une droite en plus de deux points. ”

“ Une ellipse est évidemment déterminée., lorsque l'on donne son excentricité et son grand axe. C'est ordinairement au moyen de ces quantités que l'on détermine, en astronomie, les orbites des planètes.
29. THÉORÈME IV. — L'ellipse partage son plan en deux régions; dans l'une, la somme des rayons vecteurs d'un point est supérieure au grand axe; dans l'autre, elle est inférieure à cette même quantité.
Considérons un point P (fig. 17) , situé hors de l'ellipse, et joignons-le aux deux foyers. Puisque ce point est extérieur à la courbe, ses rayons vecteurs couperont celle-ci ”

“ Plaçons en l'un des foyers un corps sonore, c'est à l'autre foyer que le son sera perçu avec le plus d'intensité. C'est ainsi que dans une salle couverte d'une voûte ellipsoïdale, deux personnes placées aux foyers pourront converser à voix basse et s'entendre mutuellement, tandis que les personnes placées dans d'autres points de la salle, -
ne sauraient distinguer les paroles que prononcent les premières. ”

“ Cependant, on assimile souvent une ligne courbe à une ligne brisée dont les côtés seraient très-petits, et l'on dit que la courbe est la limite d'une pareille ligne. Il faut entendre par cette expression, que l'on peut toujours imaginer une suite de lignes droites assez petites et assez peu inclinées les unes sur les autres, pour que la ligne brisée qu'elles forment, diffère de la courbe donnée aussi peu que l'on voudra.. Ainsi, dans l'exemple précédent, supposons que l'homme s'arrête de temps à autre, et que le chien ne marche que tandis que son maître reste en place ”

“ Il est, d'ailleurs, évident qu'il n'est pas nécessaire que le miroir forme un ellipsoïde complet et qu'une calotte ellipsoïdale produira le même effet, bien qu'avec moins d'intensité.
COUPOLES ELLIPTIQUES. — Les dômes qui surmontent certains édifices ne sont pas toujours des hémisphères; ce sont, très-souvent, des demi-ellipsoïdes dont l'axe de révolution est vertical. ”

“ Lorsque la vis est fixe, c'est-à-dire lorsqu'elle se termine par des tourillons cylindriques, reposant sur des coussinets qui s'opposent au mouvement de translation, l'écrou, engagé dans des guides qui l'empêchent de tourner, se meut parallèlement à l'axe du cylindre. ”

“ VOÛTES PARABOLIQUES. — La parabole à axe vertical est une des meilleures formes que l'on puisse adopter pour l'intrados d'une voûte destinée à supporter une charge considérable. Il faut toutefois se rappeler qu'elle présente un inconvénient assez grave, c'est de ne pas être tangente à la direction des pieds-droits.
, Les joints des voussoirs et l'extrados se déterminent i comme pour les voûtes elliptiques.
MOUVEMENT DES PROJECTILES. — Lorsqu'un corps pesant est lancé dans une direction qui n't't pas verticale, il est animé de deux mouvements ”

“ La chaîne d'arpenteur présente toujours la figure d'une chaînette, c'est pourquoi l'on doit s'attendre, dans les mesures les mieux faites, à trouver des résultats trop forts, puisque l'on évalue à dix mètres la corde d'un arc de chaînette, tandis que c'est l'arc lui-même qui présente cette longueur. ”

“ Pour comprendre l'avantage de ce dispositif, il suffit de se rappeler ce principe de
mécanique : dans une machine en équilibre, la force motrice et la résistance sont entre elles dans le rapport inverse des chemins parcourus par leurs points d'application. Or il est clair que, le pas de la vis étant court, le chemin parcouru par la main qui agit à l'extrémité du levier est beaucoup plus grand que le chemin parcouru par l'extrémité de la vis. ”

“ A
partir du point 0, où elles se coupent, on portera de part et d'autre, sur l'une, deux longueurs OA, OA' égales à a; sur l'autre, deux longueurs OB, OB' égales à b; cela
fait, du point B comme centre, avec OA pour rayon, on décrira un arc de cercle, qui rencontrera la droite AA' en deux points F et F', lesquels seront les foyers de la courbe. On pourra ensuite, exécuter l'un des tracés expliqués plus haut.
26. CENTRE. THÉORÈME III. — Le point de rencontre des axes est le centre de l'ellipse. ”

“ Usages de la vis. — Tout le monde connaît les usages de la vis, il est à peine utile de les rappeler. Nous indiquerons seulement quelques-unes des applications les plus importantes.
On sait qu'un écrou est une pièce dans laquelle est creusé un sillon hélicoïdal qui présente exactement un creux, l'empreinte du filet de la vis. On voit, dans les figures 100 et 101, la coupe EE' de l'écrou.
Si l'écrou est fire, le mouvement circulaire de la vis produit en même temps une translation de celle-ci dans
le sens de son axe. ”

“ VOÛTES. — Toutes les fois qu'un berceau cylindrique est rencontré par un plan oblique à son axe, l'in-
tersection est une demi-ellipse. C'est ce qui arrive, par exemple, lorsqu'une descente biaise de cave est voûtée en plein cintre, c'est-à-dire lorsque le berceau qui la surmonte, est un cylindre circulaire droit.
TROMPES SUR LE COIN. — On appelle trompe sur le coin, une voûte destinée à soutenir l'angle saillant d'un édifice, dont la partie inférieure a été enlevée de façon à former un angle rentrant. ”

“ Par tous les points de division, on mène des normales (47) , sur lesquelles on porte des longueurs égales à l'épaisseur de la voûte ; en joignant par un trait continu les points ainsi construits, on obtient la courbe de l'extrados, et, en même temps, les profils des têtes de voussoirs. Il est important en effet, pour la solidité de la construction, que les joints soient dirigés suivant des normales à l'intrados. ”

“ Conséquemment, la verticale du point le plus bas est un axe de symétrie.
I-40. TRACÉ DE LA CHAÎNETTE. — Il n'existe aucun moyen simple de construire la chaînette ; le seul procédé que nous puissions indiquer est le suivant. On placera une feuille de papier contre un mur vertical, et l'on suspendra devant ce papier une chaîne fine, à maillons égaux, très-petits et parfaitement mobiles; cette chaîne prendra la figure de la courbe cherchée, dont on pourra marquer avec un crayon autant de points que l'on voudra. ”

“ Or les deux triangles OED, OQM sont semblables, on a donc,
ou bien, en désignant par p, le poids qui charge une longueur de chaîne dont la projection horizontale est l'unité,
C'est, comme nous l'avons vu (105) , le caractère de la parabole.
MIROIRS PARABOLIQUES. — Concevons qu'un paraboloïde de révolution ait été poli à l'intérieur, et, qu'au foyer commun de tous les méridiens, on place une source de lumière ou de chaleur, tous les rayons réfléchis seront rendus parallèles à l'axe (98) . ”

“ Dans le triangle AflAj, nous connaissons la hauteur AAi et la base aA, laquelle est égale à la circonférence de base; on peut donc construire ce triangle et déterminer ainsi la position de la droite génératrice aAi.
Si l'on veut se reporter à la seconde définition de l'hélice (144) , nous ferons observer que le pas étant connu, ainsi que le rayon, il est facile de déterminer le rapport constant K qui existe entre l'ordonnée et l'abscisse curviligne. On a en effet,
Tangente à l'hélice. ”

“ Dans la circonstance qui nous occupe, on pourrait employer, au lieu d'une demi-ellipse, un arc de cercle inférieur à la demi-circonférence, mais il faut remarquer qu'alors l'intrados ne serait pas tangent aux piedsdroits ; il en résulterait que la voûte exercerait sur ceuxci une poussée latérale très-considérable, qui tendrait à les écarter l'un de l'autre. On emploie, il est vrai, assez fréquemment ce tracé pour les arches des ponts ”

“ C'est de cette façon que servent les vis qui sont destinées à serrer deux objets l'un contre l'autre; telles sont les vis à bois, les vis de pression, les boulons, etc. La vis à écrou fixe est employée, en général, toutes les fois que l'on veut exercer une pression considérable. ”

“ Lorsqu'une droite rencontre une courbe en deux ou en plusieurs points, on dit qu'elle est sécante à cette
Fig. 2.
courbe. Cela posé, concevons qu'une sécante AB, se déplace de façon que deux points d'intersection serapprochent l'un de l'autre; la droite occupera ainsi successivement les positions AB, A'B', A"B", etc. (fig. 2) ; il arrivera un moment où
les deux points se seront confondus en un seul ; la sécante devient alors la droite CT et prend le nom de tangente. ”

“ Traçons les rayons vecteurs de ces points et abaissons, sur la directrice, les perpendiculaires MP, M'P'; enfin, construisons le point H, symétrique du foyer par rapport à la sécante abaissons la perpendiculaire HR sur la directrice, et joignons MH, M'H et GF. On a évidemment : MH = MF =MP, M'H=M'F = M'P', GH = GF.
Le point H est, d'ailleurs, nécessairement du même côté
de la directrice que le loyer (92) ; on a, conséquemment, GH ”

“ Ainsi, au lieu d'un fil flexible, si nous prenons une tige métallique courbée en forme de chaînette, il ne se produira entre ses molécules aucune action qui tende à la déformer, et elle conserverait sa figure, lors même que la roideur serait anéantie. On pourrait dire que cette forme est celle qui fatigue le moins litige. On conçoit aisément que si nous retournons cette tige de façon à placer en haut le point qui se trouvait le plus bas, l'équilibre existera de même, pour chaque élément, entre son poids et les tensions, lesquelles seront alors devenues des pres-
sions. ”

“ On voit que, pour l'hyperbole comme pour l'ellipse, il existe deux cercles directeurs, avec c tte différence toutefois, que dans l'ellipse, le cercle directeur qui a l'un des foyers pour centre, contient l'autre foyer, tandis que, dans l'hyperbole, chaque foyer est extérieur au cercle dont l'autre foyer est le centre. ”

“ Il en résulte que ses diagonales se coupent en parties égales, en sorte que la droite MN', passe au milieu 0 de la ligne FF' et que OM = ON'. Donc les points de la courbe sont deux à deux symétriques par rapport au point 0 (7) .
27. EXCENTRICITÉ. — Si, sans faire varier le grana axe d'une ellipse, on augmente le petit, ou, ce qui revient au même, on diminue l'écartement des foyers, l'ellipse sera de moins en moins aplatie. ”

“ THÉORÈME I. La parabole est une ligne courbe, convexe.
Procédons comme pour l'ellipse et l'hyperbole; cherchons les points d'intersection d'une droite et d'une parabole données, ou ce qui revient au même, f roposons-noiis le problème suivant : trouver sur une droite, un point également distant d'une droite et d'un point donnés.
Soient F, le foyer, 1H, la directrice, et MM', la droite donnée (fig. 61) ; supposons que le problème soit résolu et que M soit le point cherché. On a alors : FM = MH.
Si nous construisons un point F,, symétrique du foyer
Fig. 61. ”

“ Nous avons dit plus haut (50) , que l'ellipse peut être considérée comme la projection d'un cercle sur un plan oblique au sien. Cette considération, de laquelle nous avons déjà tiré plusieurs propositions importantes, nous permettra d'en étudier encore quelques autres dont nous trouverons plus loin des applications.
THÉORÈME IX. — Toute droite qui passe par le centre de l'ellipse est un diamètre. ”

“ Le problème à résoudre pour tracer l'intrados est trèssimple. On connaît le grand axe de l'ellipse, qui n'est autre chose que l'écartement des pieds-droits, et le demi-
* On appelle intrados, la base du cylindre qui forme la surface intérieure d'une voûte. Vextrados est la base du cylindre qui limite la surface supérieure des pierres dont la voûte est composée, ou l'oussoirs.
Les pieds droits sont les murs ou piliers verticaux sur lesquels reposent les deux extrémités delà voûte.
Le plan de naissance est le plan qui passe par les extrémités supérieures des pieds-droits. ”