Diagonale

“ On peut prouver de plus que, lorsque ces composantes égales sont en outre rectangulaires, la diagonale dont il vient d’être question représente la résultante non seulement en direction mais encore en intensité. ”

“ On donne le nom de diagonale à la droite qui joint deux sommets non consécutifs d'un polygone.
On distingue parmi les quadrilatères: le trapèze, dont deux côtés sont parallèles ; le parallélogramme, dont les côtés opposés sont parallèles ; le losange, qui a les côtés égaux et les angles inégaux ; le rectangle, dont les angles sont égaux et les côtés inégaux ; enfin le carré, qui a les côtés égaux et les angles égaux. ”

“ Quand un homme a dans l'esprit l'idée de deux lignes, savoir, le côté et la diagonale d'un carré, dont la diagonale a un pouce de longueur, il peut avoir aussi l'idée de la division de cette ligne en un certain nombre de parties égales, par exemple, en cinq, en dix, en cent, en mille, ou en tout autre nombre , et il peut avoir l'idée de cette ligne longue d'un pouce comme pouvant, ou ne pouvant pas être divisée en parties égales, de manière qu'un certain nombre de ces parties soit égal au côté. ”

“ Soit donné le grand tableau et le petit: il faut mener la diagonale du grand et reporter la largeur du petit sur le grand, de A en B; de B élever une verticale; à sa rencontre avec la diagonale, elle détermine 0; la grandeur B 0 est la hauteur exacte du petit tableau.
Fig. 4 et 5. Pour obtenir le milieu d'un carré ou d'un rectangle, il faut mener ses diagonales; si alors de leur rencontre 0, qui est le milieu, on élève une verticale, elle servira à déterminer le sommet d'un toit en fronton.
Pour mener des parallèles et pour élever des perpendiculaires. ”

“ Si nous ployons un carré parfait diagonalement une seule fois, d'un angle à l'autre qui lui est opposé, nous obtenons deux triangles rectangles isocèles, ayant pour hypoténuse la diagonale ou le pli qui adonné les deux triangles, et pour côtés, les côtés du carré.. ”

“ II. Soient les trois arêtes d’un même angle d’un parallélipipède quelconque ; et soit la diagonale qui joint le sommet de cet angle au sommet opposé ; soient en outre
On peut parvenir d’une extrémité à l’autre de la diagonale en cheminant extérieurement sur trois arêtes consécutives, égales et parallèles à d’où il suit que la projection de la diagonale, sur une droite quelconque est égale à la somme des projections des trois arêtes sur la même droite. ”

“ Ces objections que je me fais me paraissent assez fortes, et je les fortifie encore par ce raisonnement-ci :
Le corps A, poussé dans la diagonale A R, n’y est poussé que par les quatre degrés de force qu’il a dans la ligne horizontale, et les deux degrés qu’il a dans sa perpendiculaire. ”

“ Chaque diagonale, les parallèles partant de ses deux extrémités et l’une quelconque des deux autres diagonales seront quatre droites dont l’ensemble formera un quadrilatère simple, dont on pourra mener les deux diagonales, lesquelles se couperont en un certain point.
Or, comme chacune des trois diagonales du quadrilatère complet, combinée tour-à-tour avec les deux autres, donnera naissance à deux de ces quadrilatères simples ; il arrivera qu’ils seront en tout au nombre de six. ”

“ Lorsqu'on joint un point quelconque 0 aux quatre - sommets d'un parallélogramme, le triangle qui a ce point pour sommet et une diagonale pour base est la somme ou la différence des triangles qui ont même sommet, et pour bases respectives les deux côtés adjacents qui aboutissent à une des extrémités de la diagonale considérée. ”

“ Une diagonale des forces peut être obtenue avec des composantes en nombre illimité, et elle sera d'autant plus fixe et stable que les éléments variés qui entrent dans sa composition y seront plus solidement incorporés. ”

“ Construire un quadrilatère, connaissant deux angles non opposés, les diagonales et leur angle.
Fig. 672.
Sur la diagonale BD, on décrit un segment capable de l'angle donné BAD. Par le centre 0, il faut mener une droite OF qui coupe BD, en faisant l'angle donné pour les diagonales; prendre OF égale à la seconde diagonale AC, décrire du centre F une circonférence égale à la première. Toute droite AC, parallèle à la ligne des centres, aura la langueur deman-
dée; ilsuffit de la mener de manière que l'angle ABC ait la grandeur donnée (n" 919) . ”

“ Un parallélogramme ABCD (P. III, F. 12) dont les quatre côtés sont égaux et obliques les uns sur les autres, s'appelle losange.
Les diagonales inégales d'un losange se coupent par le milieu et d'équerre.
Elles se coupent par le milieu, comme diagonales d'un parallélogramme (248) , et conséquemment AE = EC. Les deux triangles AEB, CEB sont donc égaux (216) . Par suite, l'angle AEB = BEC, et ces deux angles sont droits (45) .
252. Tracer un losange dont on connaît le côté L et une diagonale M (P. III, F. 12) .
Tirez une droite et portez-y la diagonale M, de A en C ”

“ En effet, les quatre droites et forment un quadrilatère complet, dont les trois diagonales sont et et l’on a, par construction,
mais, dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est harmoniquement coupée par les deux autres ; d’où il suit qu’on doit avoir
on aura donc aussi
comme nous l’avions annoncé [1] . ”

“ Toute ligne droite qui est tirée d'un angle d'une figure à un angle opposé de cette même figure, s'appelle diagonale.
Enfin, on nomme hauteur d'un triangle, d'un quadrilatère, et généralement d'une figure plane quelconque, une perpendiculaire qui est abaissée de l'un des angles de cette figure, au côté de cette même figure qui est opposé à cet angle et que l'on prolonge s'il est nécessaire, alors ce même côté s'appelle la base de cette figure.
La ligne qui termine le cercle en est la circonférence; on la divise toujours en 360 parties égales que l'on nomme des degrés ”

“ Si le spectateur , est placé dans la diagonale, ce porte-à-faux devient choquant, parce qu'il est alors de toute la différence qui existe entre le rayon du cercle inscrit dans le carré et la diagonale de ce carré. Pour corriger ce défaut, les Byzantins changèrent la forme du chapiteau, et ils lui en donnèrent une qui semblait reporter vers le centre la charge des sommiers. ”

“ Ensuite, sans recourir à l'autre diagonale R'D, il suffira de tirer par les cinq points obtenus des parallèles à X'Y', lesquelles fourniront les nouveaux points M', H', L' et N', K', Q', ce qui fait en tout huit points de la perspective demandée et quatre tangentes; car, d'après le théorème du n° 575, la courbe sur le tableau doit toucher les droites A'B', B'E', E'F' et F'A'; de sorte que ces données suffiront ordinairement pour tracer la courbe avec toute l'exactitude désirable. ”

“ Soit le carré, fig. 25 ; tirez des angles du carré deux diagonales, ouvrez le compas de la moitié d'une des diagonales, mettez la pointe du compas sur un des angles du carré, et décrivez un arc qui doit être un quart de cercle ; faites-en autant à chacun des autres angles ; où les arcs auront coupé les côtés du carré, tirez une ligne droite d'un point à l'autre le plus près; les lignes étant toutes les quatre terminées, l'octogone sera formé. ”

“ Soit 3 modules 15 parties, prenez de la ligne 3 des modules sur l'horizontale 15 des parties jusqu'à la diagonale au point c, etc.
Faire un triangle semblable à celui a b c, fig. 52, dont la base a b ou longueur A B, soit réduite à celle D E ; portez cette longueur sur la base du grand triangle de b en d, de ce point d menez une parallèle à a c, elle viendra au point e et donnera votre triangle semblable, et ses trois côtés seront réduits dans les mêmes proportions. ”

“ THÉORÈME. Si tant de quadrilatères qu’on voudra, inscrits à un même cercle, ont un côté commun, les droites qui, dans ces quadrilatères, joindront l’intersection des diagonales et le point de concours des côtés adjacens au côté commun iront toutes concourir en un même point de la perpendiculaire sur le milieu de ce côté commun. ”

“ Comme dans le Tableau (5) les termes de la diagonale principale sont égaux à 1, on passera de à en annulant un certain nombre des éléments de ce déterminant on aura donc
Mais, si le produit (8) converge, le second membre de cette inégalité tend vers zéro quand et croissent indéfiniment. Il en est donc de même du premier membre, ce qui prouve que tend vers une limite finie et déterminée.C.Q.F.D.
Donc, pour que le déterminant converge, il suffit que la série obtenue en prenant dans ce déterminant tous les éléments qui n’appartiennent pas à la diagonale principale converge absolument. ”

“ IV. Si, sur les trois côtés d’un triangle, pris tour à tour pour diagonales, on construit des parallélogrammes dont les côtés soient parallèles à deux droites données, les trois autres diagonales de ces parallélogrammes concourront au même point, lequel sera la centre de l’hyperbole circonscrite au triangle qui aurait ses asymptotes parallèles aux deux droites fixes. ”

“ On connaît les droites et les rapports de leurs parties.
Puisque cette inscription est ramenée à notre lemme, elle est possible et unique, lorsque le nombre des côtés du polygone proposé est impair ; elle est susceptible d’impossibilité ou d’indétermination, lorsque le nombre des côtés de ce polygone est pair.
Je crois devoir éclaircir l’indétermination, si elle a lieu, par quelques exemples.
Premier exemple. Soit un quadrilatère (fig.9) dont et soient les diagonales. À la diagonale soit menée arbitrairement une parallèle, se terminant en et aux côtés et de ce quadrilatère. ”

“ Voici ce que nous avons observé à cet égard : soit bn (fig. 137) la même diagonale que fig. 133, et soient p, r les deux points visibles. Concevons que le rayon visuel étant d’abord incliné vers e, et situé dans le plan abne (fig. 133) , l’œil fasse un mouvement circulaire en allant de e vers h ; l’observateur ne pourra voir coïncider deux des images qu’en plaçant les points p, r (fig. 138) sur une direction inclinée à la diagonale. Supposons que le point p reste fixe ; il faudra placer le point r à la droite de la diagonale, comme en r′ ”

“ Un choix convenable d'éléments graphiques suffisamment petits étant fait pour les cylindres, pour les cônes, ou des portions de ces surfaces, on aurait des éléments trapézoïdaux ou parallélogrammiques dans le cylindre, et des triangles ou des quadrilatères pour les cônes et parties de cônes. Il convient, dans tous les cas, de partager par une diagonale ces quadrilatères, ou ces trapèzes, ou ces parallélogrammes, et de construire cette diagonale; alors tous LES DÉVELOPPEMENTS SE RAMÈNENT A DES CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES*. ”

“ Ainsi soient a le côté de l'oblong et b sa cathète; a2 + b2 sera le carré de sa diagonale. Nous supposons qu'il est formé suivant la règle du paragraphe 35; de sorte que sa diagonale, ~sera un nombre rationnel.
On prendra (a2 + b2) pour la valeur des trois côtés égaux du tétragone, et (3a2 - b2) sera l'expression du quatrième côté.
§ 38. Les côtés des cathètes de deux triangles rectangles, multipliés réciproquement par
les hypoténuses, sont les quatre côtés inégaux d'un trapèze. ”

“ Même question pour le dodécaèdre régulier reposant sur le plan horizontal et dont un des côtés du pentagone inférieur est parallèle à xy.
142. Même question pour l'icosaèdre ayant une diagonale perpendiculaire au plan horizontal.
143. Construire un tétraèdre régulier, connaissant les projections d'un côté et la ligne de plus grande pente de la face qui le contient.
144. Déterminer la longueur de la diagonale d'un parallélipipède rectangle et l'angle qu'elle forme avec chaque arête, connaissant la longueur de chaque arête. ”

“ Après avoir élevé en A' et B' deux verticales de longueur arbitraire, mais terminées à une droite A"F qui fuit au même point F que la droite donnée, on joindra ce point F avec le milieu M de A'A" par une ligne MF qui coupera aussi B'B" en son milieu, et l'on tracera la diagonale A'M' qui ira déterminer le point C. De même, on élèvera une troisième verticale C'C", et l'on tirera B"M" qui ira déterminer le point E'; puis la verticale E' E", et la diagonale C" M'fi qui fournira lu point G', et ainsi de suite. Parla, on obtiendra des intervalles B'C', CE', E' G',. ”

“ Du point R ainsi trouvé on tracera un rayon 811 centre C de la figure. Des autres quinze rhombes égaux au rhombe décrit on tracera des diagonales égales, et du point d'intersection de ces diagonales semblables à R on tracera des rayons au centre C de la figure. Ces rayons coupent proportionnellement les côtés des carrés ci-dessus décrits, et par ces intersections les côtés des nouveaux carrés se trouvent 'concentriques aux carrés ci-dessus. Les nouveaux carrés ainsi obtenus sont :
SS', TT', UU', W, YY'. ”

“ Menons la diagonale AC, et faisons passer une circonférence par trois sommets A, B, C : il faut prouver que le sommet D se trouve sur cette circonférence.
On a B + D = A + c, ou
m n-\-D — DAC -f- l -f- m - (- DCA -f- n -f-1 donc D — ( DAC + DCA ) = 21 quantité constante qui correspond au triangle isocèle AOC, donc le sommet D est sur le cercle décrit du centre O, avec OA pour rayon.
697. Théorème. Lorsqu'un quadrilatère curviligne, circonscrit à un cercle, est formé par quatre arcs de même rayon, et dont la concavité est tournée vers
Fig. 464. ”

“ Les géomètres ayant remarqué que les droites que déterminent deux sommets non consécutifs d’un polygone ou d’un polyèdre, ainsi que les plans que déterminent deux arêtes non consécutives d’un angle polyèdre, jouaient un rôle assez important en géométrie, ont cru utile de leur donner des dénominations particulières, et ils les ont appelés diagonales et plans diagonaux. ”

“ Côté d'un triangle rectangle opposé À l'angle droit, c'est-à-dire qui ne concourt pas à la formation de l'angle droit. - Une diagonale divise un carré en deux triangles rectangles, et elle est l'hypoténuse de chacun de ces triangles.
13. — INTERSECTION : Point où deux lignes se coupent. ”