Tétraèdre

“ Si l’on enlève les quatre tétraèdres excédans pour les transporter sur celles des faces de l’octaèdre, qui, en premier lieu, étaient à découvert, ces tétraèdres, ainsi disposés, formeront avec l’octaèdre le tétraèdre conjugué du tétraèdre total, ayant cet octaèdre pour sa partie commune avec lui. Les deux tétraèdres conjugués seront inscrits au même parallélipipède ; leur douze arêtes seront les diagonales de ses faces, et leurs sommets correspondans seront les sommets de ses angles opposés. ”

“ II. Un tétraèdre peut être coupé par un plan, qui ne passe par les sommets d’aucun de ses angles, de deux manières différentes.
1.o Trois des sommets peuvent être situés d’un même côté du plan coupant, et un seul de l’autre ; ce plan coupe ainsi les trois arêtes d’un même angle trièdre, la section est triangulaire, et le tétraèdre se trouve divisé en deux nouveaux corps, dont l’un est encore un tétraèdre, tandis que l’autre est un tronc de tétraèdre, à bases parallèles ou non parallèles. ”

“ Il est très-facile, en la multipliant par 3, d'en faire un cube ou un hexaèdre, et en la multipliant par 4 d'en faire un tétraèdre. Dans le cube, les atomes occupent les six sommets, deux à deux vis-à-vis, ce qui forme deux tétraèdres réguliers identiques croisés. ”

“ Exprimez, en fonction du côté a d'un tétraèdre régulier, la surface et le volume de la sphère inscrite et de la sphère tangente aux arêtes du tétraèdre.
Fig. 1234.
Soit ABC l'une des faces que nous prenons comme base. Par la droite AD, médiane de cette base, et par le quatrième sommet S, menons le plan ASD, rabattu ici sur le plan de la base.
La hauteur SE du tétraèdre tombe sur la médiane AD; et comme elle doit aussi bien tomber sur une autre médiane quelconque, le point E ne peut être que le
point de concours des médianes. ”

“ DODC le tétraèdre A'B'C'D' égale 27 fois le tétraèdre ABCD.
Autre démonstration. Chaque sommet du petit tétraèdre est le centre de gravité de l'une des faces du grand.
En effet, AB, parallèle à EF, l'est à A'B'.
Ainsi, E, F, G sont les milieux des côtés de A'B'C'.
Donc D est le centre de gravité de A'B'C'.
On a: A'B' = 2EF=2 . ~ . AB = 3AB.
Le rapport de similitude des deux solides étant 3, le volume du grand égale 27 fois celui du petit.
Théorème 712. ”

“ Voilà donc le problème propose à la page 127 de ce volume résolu, pour le cas particulier où le plan coupant serait assujetti à passer par l’un des axes du tétraèdre, et conséquemment aussi pour le cas où l’on exigerait simplement que ce plan passât par son centre : car De tous les plans conduits par le centre d’un tétraèdre, il n’y a uniquement que ceux qui passent par quelqu’un de ses axes qui le divisent en deux parties équivalentes. ”

“ En considérant le tétraèdre régulier et les quatre cônes de révolution inscrits ayant pour sommets respectifs un des sommets du tétraèdre, on arrive au théorème suivant : Si on inscrit une ellipse dans chaque face d'un tétraèdre quelconque, de manière qu'elle soit tangente à chaque côté du triangle, au point milieu de chaque côté, les quatre cônes qui 'auraient pour bases ces ellipses et pour sommets le sommet opposé du tétraèdre sont équivalents entre eux. ”

“ M. Legendre, en suivant le mode de décomposition indiqué par Euclide, est parvenu directement, d’une manière fort élégante, à l’expression du volume du tétraèdre, de laquelle il a pu conclure ensuite que les tétraèdres de même base ou seulement de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalens ; mais comme, dans la géométrie plane, on s’occupe de la comparaison des surfaces avant de chercher à en déterminer l’étendue ”

“ La question proposée se trouve donc ramenée à déterminer, en fonction de le rayon de la sphère qui touche à la fois les six arêtes du tétraèdre et le rayon de la sphère circonscrite au même tétraèdre : problème qu’au surplus on ne saurait se proposer pour un tétraèdre quelconque. ”

“ C C. — La molécule de la blende est hémiaxe dichosymétrique ; on observe fréquemment la forme p, la forme b1, et le tétraèdre
Fig. 210.
droit ainsi que le tétraèdre gauche ; assez souvent, ces tétraèdres se trouvent sur le même cristal, qui affecte alors la forme d'un octaèdre, mais les faces des deux tétraèdres présentent des caractères physiques différents ; les faces de l'un sont polies et brillantes, celles de l'autre sont
ternes et rudes (fig. 210) . Les cristaux peuvent être maclés suivant a1 ; ils offrent douze plans de clivage, parallèles aux douze faces du rhombododécaèdre. ”

“ On donne : 1° un tétraèdre régulier de 7 centimètres de côté, reposant sur le plan horizontal par une de ses faces : l'une des arêtes de cette face est perpendiculaire à la ligne de terre; 20 un cylindre de révolution de 3 centimètres de rayon tangent au plan horizontal ; l'axe est parallèle à la ligne de terre, et sa projection horizontale passe par la projection horizontale du sommet du tétraèdre. Construire les projections des couches d'intersection du cylindre et des faces du tétraèdre. ”

“ IV. Soit présentement un tétraèdre quelconque. Désignons par les rapports de ses angles trièdres à l’angle droit trièdre, et par les rapports de ses angles dièdres à l’angle dièdre droit ; nous aurons, par ce qui précède,
En ajoutant d’abord toutes ces équations et transposant, nous aurons
c’est-à-dire, la somme des angles dièdres d’un tétraèdre, moins la somme de ses angles trièdres vaut huit angles droits trièdres, ou l’espace entier. ”

“ Quand un tétraèdre est circonscrit à une surface du second degré, les droites qui joignent ses sommets respectivement aux points de contact des côtés opposés, sont quatre génératrices, d'un même mode de génération, d'un hyperboloïde à une nappe. ”

“ On a remarqué que les échantillon de zinc sulfuré noirs sont ferrugineux; les biendes de Marmato en offrent des exemples prononcés. Les cristaux de zinc sulfuré n'ont pas la double réfraction. L'une des formes les plus ordinaires est le tétraèdre régulier, fig. 170, pl. 79. On rappellera que ce solide est un demi-octaèdre régulier ; il est placé dans le. cube fig. 169, ainsi qu'il est indiqué par les lignes en points; chacune de ses arêtes représente une des diagonales du cube.
Le tétraèdre est toujours dominant dans ce minéral; fréquemment il est simple, ainsi qu'on vient de l'indiquer ”

“ Si l’on voulait assujettir les plans coupans à être parallèles aux faces opposées et à passer en outre par le centre du polyèdre, ce qui rentrerait pour le cube dans le cas proposé ; on exclurait d’abord le tétraèdre, où il n’y a point de faces opposées. Or, en opérant sur l’octaèdre, une première opération donnerait six octaèdres et huit tétraèdres, tous réguliers ; et, à raison de ces tétraèdres, l’opération ne pourrait plus se poursuivre. ”

“ Deux polyèdres symétriques sont équivalents.
Il suffit de démontrer le théorème pour deux tétraèdres. Soit ABCD (fig. 362) un tétraèdre; si nous prenons le plan de la
Fig. 362.
base BCD pour plan de symétrie, il faudra, pour former le tétraèdre symétrique A'BCD, abaisser du sommet A une perpendiculaire AH sur la base et la prolonger d'une longueur HA' égale à AH. Dans cette position, les deux tétraèdres symétriques ont même base BCD et des hauteurs égales AH et A'H ; ils ont donc même volume et par suite sont équivalents. ”

“ Le rapport des sinus des inclinaisons d'un plan mené par une arête d'un tétraèdre, sur les deux faces adjacentes, est égal au rapport des perpendiculaires abaissées, d'un point de ce plan, sur ces deux faces; le théorème donne donc le suivant : Étant donné un tétraèdre; si l'on prend, dans l'espace, un point qui soit tel que ses distances à trois faces du tétraèdre, étant divisées par sa dis- tance à la quatrième face, les trois quotients aient entre eux une relation constante, du degré n, ce point aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n. ”

“ Mais alors, chacun des tétraèdres résultant de la décomposition de la pyramide, se trouvant sollicité comme l’était le tétraèdre unique du cas précédent (4) , sera de lui-même en équilibre ; la pyramide le sera donc aussi ; et conséquemment elle devait l’être déjà antérieurement à l’introduction des nouvelles forces.
8. Soit enfin un polyèdre quelconque aux centres de gravité des aires des faces duquel soient appliquées perpendiculairement à leurs directions, des forces proportionnelles à l’étendue de ce faces, et agissant toutes également soit du dehors au dedans soit du dedans au dehors. ”

“ Solution. Soient les sommets du tétraèdre, et le centre de la sphère inscrite ; de ce centre soient abaissées sur les faces des perpendiculaires dont les pieds soient respectivement par ces perpendiculaires, prises deux à deux, soient fait passés six plans ces plans diviseront le tétraèdre en quatre exaèdres octogones à faces quadrilatères. Bornons-nous à considérer l’un d’eux : celui qui contient le sommet et dont conséquemment les trois arêtes de l’angle opposé sont Nommons les trois sommets non encore désignés ”

“ Enfin, on a 1 hexaèdre 3 A, 3B (Fig. 12) , ce qui répond aux trois formes primitives appartenant à ces molécules : le tétraèdre, le cube et le rhomboèdre.
Pour le type 1A, 2B, il y a une diversité encore plus grande de molécules primitives. En le multipliant par 2, on forme 2 A, 4 B, octaèdre obtus, deutoxyde d'étain et de titane; en le multipliant par 3; 3 A, 6 B (Fig. 15) , dodécaèdre à triangles isocèles, de l'eau, de la silice ”

“ Cependant, il faut remarquer que si, par le mode de génération, ces solides (autres que le cube, l'octaèdre et son hémièdre, le tétraèdre régulier qui a seulement deux formes symétriques, gauche et droit, et le dodécaèdre rhomboïdal) peuvent exister en nombre infini ; la nature ne réalise jamais, pour chacun d'eux, qu'un très-petit nombre de combinaisons, qui correspondent à des rapports très-simples entre les deux lignes qui représentent l'inclinaison des faces modifiantes. ”

“ Si, par exemple, on exigeait que ces plans passassent par les milieux des arêtes des divers sommets du polyèdre, on tirerait du tétraèdre quatre autres tétraèdres réguliers comme lui, plus un octaèdre également régulier ; mais, en opérant de la même manière sur cet octaèdre, on en obtiendrait six pyramides quadrangulaires, plus un corps terminé par six carrés et par huit triangles équiltéraux ; la même opération faite sur le cube conduirait de prime abord à ce même corps et à huit tétraèdres non réguliers. ”

“ Cela posé, soient [1] les quatre sommets d’un tétraèdre ; soit le point où l’arête est coupée par le plan qui divise en deux parties égales l’angle dièdre dont l’arête est ; soit en outre le point de où la face est rencontrée par la droite qui, partant du sommet , fait des angles égaux avec les trois faces adjacentes à ce sommet.
I. En considérant les deux tétraèdres et comme ayant leur sommet commun en , leurs volumes seront proportionnels aux aires de leurs bases ”

“ En l'absence des hexoctaèdres, la coexistence de formes anti-et parahémièdres révèle la tétartoédrie et suffit à donner les deux formes non superPosables de l'holoaxie. Exemple, dans le chlorate de sodium, coexistence d'un même dodécaèdre pentagonal avec les deux tétraèdres complémentaires, ou, Ce qui revient au même, d'un même tétraèdre avec les deux dodécaèdres pentagonaux complémentaires.
Chlorate de Na, droit
Chlorate de Na, gauche
5. Aucun autre mode de symétrie n'est possible tant qu'il subsiste plus d'un axe d'ordre supérieur à 2. ”

“ Mais si celte surface avait des facettes inclinées, la décomposition en prismes laisserait des résidus tétraédriques, dont l'équilibre, non établi par les seules équations (4) , exige de nouvelles relations.
§ 9. —Imaginons un tétraèdre infiniment petit, dont un sommet soit en M, et dont les trois arêtes qui partent de ce sommet soient parallèles aux axes. Désignons par nr l'aire de la face triangulaire opposée-, laquelle forme la base du tétraèdre, et soient m, ?z, p les cosinus des angles que la hauteur ou la normale à l'élément-plan nr fait avec les axes des x, y, z. ”

“ Les deux faces (p q r) et (p r q) se confondent en une seule. Donc, solide à 24 faces, appelé trioctaèdre. (Ressemble à un octaèdre dont les faces seraient remplacées par P des trièdres.) Notation : Miller (p q q) , avec toujours p < q. Lévy am (m = p < 1) .
q 1 1 1 Exemple : trioctaèdre a2, ou (122) (FIG. 3) . On trouve assez souvent a2 et a3
Les autres sont rares.
Fig- 3 Fi g-. 3
c. — Le pôle est dans le plan n, entre Q et B, Alors p = O. La face est parallèle à une arête du cube. Les faces (p q r) et (pqr) se confondent en une seule. Donc, solide à 24 faces, appelé hexa.tétraèdre. ”

“ Il cristallise en tétraèdres ou en octaèdres à base carrée, d'un éclat vitreux, et alors il contient 6 équivalents d'eau ; il a une saveur amère, avec un arrière-goût sucré. Il s'effleurit à l'air, en perdant son eau de cristallisation. Il est soluble dans 4,000 parties d'eau froide, dans 750 d'eau bouillante, et dans 48 d'éther. L'alcool le dissout très-bien. Chauffé à 200°, l'acide à 6 équivalents d'eau se transforme en acide choloïdique, et, à 300°, en dyslysine (voy. p. 657) ; il se dégage de l'eau ”

“ Soient les centres de ces sphères et leurs rayons respectifs.
En désignant simplement les angles dièdres par leurs arêtes, l’angle trièdre donnera, par les formules connues,
Mais on a (Probl. I)
donc
ou, en développant et réduisant,
de là
Si l’on se rappelle que le volume d’un tétraèdre est les deux tiers du produit des aires de deux de ses faces multiplié par le sinus de leur inclinaison et divisé par l’arête qu’elles déterminent ; et si l’on fait attention (Prob. I) que
on trouvera facilement
fonction symétrique de comme on pouvait bien s’y attendre. ”