Lieu géométrique

“ Si c'est le plan fixe qui est à l'infini, le centre des moyennes har- moniques des points de contact devient leur centre des moyennes distances; et le théorème (218) exprime une propriété générale des surfaces géométriques, déjà démontrée. (1re partie, n° 68.) 221. Ces théorèmes ont également lieu pour une courbe géométrique plane, ou à double courbure. ”

“ Les découvertes les plus étonnantes de cet art furent sans doute le parallélisme des verticales, c’est-à-dire les perpendiculaires et l’angle droit. Je veux expliquer seulement par là en quel sens la géométrie est une des sciences naturelles. Ce qui est géométrique, c’est la ligne sans corps, c’est-à-dire droite, qui à la fin ne compte plus que deux points et les joint hardiment comme on fait un pas ; cela veut dire que la géométrie fut d’abord ce qu’indique son nom, c’est-à-dire une mesure de la terre. ”

“ Le monde non euclidien. — Si l’espace géométrique était un cadre imposé à chacune de nos représentations, considérée individuellement, il serait impossible de se représenter une image dépouillée de ce cadre, et nous ne pourrions rien changer à notre géométrie. ”

“ Ces trois théorèmes s'appliquent à des courbes géométriques homologiques, planes ou à double courbure. Conséquemment ils s'appliquent à deux sections planes d'un cône quelconque géométrique, parce que ce sont deux courbes homologiques, dont le centre d'homologie est le sommet du cône.
Appliquons donc le théorème (312) à deux sections planes d'un cône, et remarquons que les perpendiculaires, abaissées des différents points d'un plan sur un autre plan fixe, sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées,
des mêmes points, sur la droite d'intersection des deux plans ”

“ Il est véritablement surprenant qu'une figure géométrique aussi simple que celle qui est sous vos yeux, appliquée sur le globe de telle manière qu'un de ses côtés sui ve la ligne Etna-Ténériffe, donne en même temps par ses autres côtés et quelques lignes d'une construction simple les cercles qui représentent le mieux les systèmes de montagnes, et s'adaptent le mieux aux ligures des continents. ”

“ Ainsi les diverses relations métriques qui existent entre deux figures homographiques, ont lieu aussi entre une figure à trois dimensions et sa perspective-relief, de même qu'entre une figure plane et sa perspective sur un plan. Et si, au lieu de supposer qu'un relief est fait pour une position unique de l'œil, de même qu'une perspective plane, on le considère plus généralement comme une représentation d'un objet, dans laquelle des points correspondent à des points et des surfaces planes correspondent à des surfaces planes ”

“ Dans la seconde Géométrie, on regarde la droite, ou le plan, suivant qu'on opère sur un plan ou dans l'espace, comme l'être primitif, ou l'unité qui doit servir à former toutes les autres parties de l'étendue. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ On appelle ainsi toute surface engendrée par le mouvement d'une droite qui, sans cesser d'être parallèle à un plan donné, glisse à la fois le long d'une droite fixe de position dans l'espace et appelée PREMIÈRE DIRECTRICE, puis le long d'une courbe aussi donnée, et appelée SECONDE DIRECTRICE.
Pour faire concevoir une semblable génération, supposons que l'on ait mené dans l'espace une infinité de plans parallèles au plan donné ; chacun d'eux coupe la droite fixe en un point, et la courbe en un ou plusieurs points. ”

“ Supposons qu’on ait constitué une géométrie purement qualitative, j’entends par là non la géométrie projective, mais l’Analysis situs. On sait que l’espace est continu, qu’il a trois dimensions ; on sait ce que c’est qu’une surface, ce que c’est qu’une ligne ; on sait distinguer une courbe fermée d’une courbe non fermée ; mais on ne sait pas distinguer un segment de droite d’un arc de courbe, ni une ligne droite indéfinie d’une branche de courbe infinie dans les deux sens, ni une surface plane d’une surface courbe. ”

“ Si le point fixe est le centre de la surface, les trois axes seront trois diamètres conjugués de cette surface; le plan polaire du point fixe sera à l'infini, et aura une direction indéterminée; de sorte que toute droite, menée par le point fixe, pourra être considérée comme parallèle à ce plan. ”

“ En effet, la géométrie descriptive, plus élégante que la géométrie simple, plus générale dans les rapports qu'elle saisit et les résultats qu'elle présente, est plus applicable à un art qui a pour objet de représenter les corps suivant les lois de la vision, et de faire voir tout ce qui peut résulter, dans l'espace, de leurs formes et de leurs combinaisons ”

“ Un point est déterminé dans l'espace, quand on connaît sa projection orthogonale sur le géométral, sa perspective, la base du tableau et le centre des projections ou point de vue. Mais on peut aussi définir la position d'un point dans l'espace par sa perspective, sa cote de hauteur au-dessus du géométral ”

“ Géométrie, — Les volumes, les surfaces et les lignes ont des formes diverses, et, par suite, des-propriétés particulières à chacune de ces formes. Ainsi les propriétés de la sphère ne sont pas celles du cube; de même toute ligne courbe ne jouit pas des propriétés de la circonférence. La géométrie a pour but d'étudier ces propriétés diverses, mais l'objet principal de cette science, c'est la mesure des volumes, des surfaces et des ligne s.
RÉSUMÉ.
Le volume d'un corps est l'espace qu'il occupe. ”

“ La géométrie est une science qui détermine synthétiquement, et pourtant à priori, les propriétés de l’espace. Que doit donc être la représentation de l’espace pour qu’une telle connaissance en soit possible ? ”

“ Les surfaces de tous les corps de la nature pouvant être considérées comme composées de points, le premier pas que nous allons faire dans cette matière doit être d’indiquer la manière dont on exprime la position d’un point dans l’espace. ”

“ En effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1, et un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée. ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”

“ Pour faciliter la solution d'un grand nombre de questions de Géométrie descriptive, on peut faire un changement de plan vertical ou de plan horizontal de projections. Le nouveau plan auxiliaire employé est perpendiculaire au plan conservé; la nouvelle ligne de terre fait avec l'ancienne un angle égal à celui que fait le nouveau plan avec l'ancien de même nom. ”

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ La ligne droite, les angles, les perpendiculaires et les obliques.
LA géométrie a pour objet de mesurer les étendues et d'en évaluer les rapports.
Une étendue peut être prise en trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou épaisseur.
Tous les corps que renferme la nature, et tous ceux que l'industrie façonne, présentent ces trois dimensions.
Tout espace, soit vide, soit occupé par un corps, possède aussi ces trois dimensions.
La surface d'un corps se compose de tous les points qui séparent la portion de l'espace occupée par ce corps, et le reste de l'espace. ”

“ Du reste, cet autre théorème est plus général que le précédent, qu’il peut aussi être censé comprendre, si pour ligne donnée nous adoptons un cercle infiniment petit décrit autour de comme centre. Enfin, nous avertissons qu’ici encore des considérations géométriques peuvent tenir lieu de l’analyse. Comme elles se présentent assez naturellement, nous ne nous y arrêterons pas. ”

“ Soit, par exemple, l'idée d'espace; elle est le fondement de la géométrie, et, par elle, de toutes les sciences qui, directement ou indirectement, ressortissent à là science de l'étendue. Cette idée se manifesté en acte par une infinité de conceptions particulières, ligne, surface, solide, ligne droite, lignes courbes, triangle, quadrilatère, cercle, ellipse, carré, sphère, cylindre, cône, etc., objets des définitions, géométriques. ”

“ Or la géométrie est la science qui initie aux rapports et aux propriétés des limites soit des surfaces, soit des corps ou solides. Les limites des surfaces sont des lignes, et les limites ou extrémités des corps ou solides sont des surfaces. ”

“ Ainsi dans la géométrie descriptive, pour exprimer la forme et la position d’une surface courbe, il suffit, pour un point quelconque de cette surface, et dont une des projections peut être prise à volonté, de donner la manière de construire les projections horizontales et verticales de deux génératrices différentes qui passent par ce point.
13. Appliquons actuellement ces généralités au plan, qui, de toutes les surfaces, est la plus simple, et celle dont l’emploi est le plus fréquent. ”

“ En nous servant, ainsi que nous venons de le faire, d'une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface générale, nous avons employé une méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. ”

“ En effet, considérons les deux surfaces et le plan transversal, et formons la figure homographique, de manière que le plan transversal passe à l'infini ; ses pôles deviendront les centres des nouvelles surfaces; les droites menées de ces pôles au point A deviendront deux diamètres de ces surfaces, parallèles entre eux, et leurs plans conjugués seront aussi parallèles entre eux, parce qu'ils passeront par la droite correspondant à la droite BC, laquelle sera à l'infini; il en sera de même des droites menées, des deux pôles, à chacun des points B, C, si ces points sont réels ”

“ Dans le cas linéaire, les géomètres ont supposé que le mouvement s’exécute tout entier dans une direction perpendiculaire au plan de la lame en repos : j’admis la même chose par rapport aux surfaces planes. Guidée ensuite par l’analogie seule, je crus pouvoir supposer que le mouvement des divers points d’une surface courbe s’exécute tout entier dans des directions perpendiculaires aux plans tangents à chacun des mêmes points, considérés sur la surface en repos. ”

“ Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi, dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. ”

“ Mais comment détermine-t-on la place des points de concours en général; comment apprécier à vue leur position dans le dessin d'après nature ?
Il suffit d'imaginer par l'œil une droite parallèle géométrale à la ligne ou aux lignes dont on cherche le point de concours. Cette droite qui n'est autre chose qu'un rayon visuel ira rencontrer le tableau ou son prolongement au point cherché sur la ligne d'horizon.
Qu'entend-on par parallèle géométrale? C'est une ligne réelle ou imaginaire qui, étant située dans un même plan qu'une autre droite, conserve constamment avec elle la même distance. ”

“ Si l'espace considéré est sphérique ou pseudo-sphérique, son étendue est limitée ; si l'espace est plan, il s'étend à l'infini, * géométriquement et non philosophiquement parlant *. Pour ce qui regarde l'espace pseudo-sphérique, 'nous ajouterons que, s'il est construit dans l'espace à quatre dimensions, son étendue peut êtreinfinie.
Dans l'aperçu que nous venons de présenter des fondements de la géométrie non-euclidienne, nous avons admis tacitement que la mesure d'un même segment était indépendante de sa situation. ”

“ Plan coupant dans un solide. — A ce sujet, nous dirons pour fixer les idées plus exactement sur le sens du mot plan, que cette expression, en géométrie, veut dire une superficie plate terminée par une ou plusieurs lignes; ainsi l'étendue renfermée parla circonférence d'un cercle est un plan aussi bien que toute portion de mon papier figurant l'espace compris sous trois, quatre ou un nombre quelconque de lignes droites ou courbes. On appelle également plan une superficie mathématique, qu'on imagine couper les solides de la géométrie, comme le ferait une lame de couteau. ”