Michel Chasles

“ Le goût et l'aptitude rares du jeune ingénieur constructeur de vaisseaux, sorti de l'Ecole Polytechnique en 1803 , se sont révélés dès la première année de son séjour à cette école, par la solution du problème de la sphère tangente à trois autres, et par la découverte des théorèmes admirables auxquels cette question l'a conduit. Il nous suffira de dire, pour justifier ce mot, qu'il s'agit de cette propriété de la surface enveloppe des sphères tangentes à trois autres, d'avoir pour lignes de courbure deux systèmes de cercles, et de cette propriété des coniques, d'avoir une infinité de foyers. ”

“ Euler et Laplace avaient fait connaître quelques théorèmes relatifs aux moments d'un système de forces ; mais on n'avait point eu l'idée de composer ces moments à l'instar des forces, parce qu'ils étaient de simples produits numériques, des quantités abstraites. La composition des moments demandait une notion nouvelle; et cette notion s'est présentée dans le développement naturel de la conception des couples qui fait la base et le caractère original de la Statique de Poinsot. Un système quelconque de forces dans l'espace se réduit, d'une infinité de manières, à une force et à un couple. ”

“ M. Transon donne l'expression du rayon de courbure de la courbe décrite par un point dans le roulement d'une courbe sur une courbe fixe, en fonction des rayons de courbure de ces deux dernières en leur point de contact : puis le rayon de courbure de la courbe décrite par un point d'une figure dont le mouvement est défini par celui de deux de ses points ; ce qui comprend toutes les courbes, comme le dit M. Transon, auxquelles s'applique la méthode des tangentes fondée sur la considération du centre instantané de rotation d'une figure qui se déplace sur son plan. ”

“ Les normales principales d'une courbe ne peuvent jamais former une surface du second ordre.
Lorsque les normales principales d'une courbe sont en même temps les normales principales de deux autres courbes, elles sont les normales principales d'une infinité de courbes. Toutes ces courbes sont des hélices tracées sur des cylindres concentriques, et leurs normales principales communes sont les génératrices d'un héliçoïde à plan directeur. ”

“ Les questions du déplacement fini ou infiniment petit d'une figure dans son plan, ou dans l'espace, considérées au point de vue purement géométrique, c'est-à-dire en faisant abstraction du temps et des forces, se réduisent à l'étude des propriétés relatives à deux figures égales, placées d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre, car le mode de déplacement même résultera de ces propriétés. ”

“ On vient de voir effectivement, dans l'article précédent, que l'on peut décrire d'une manière uniforme des courbes de tous les ordres sur toute surface réglée d'ordre quelconque, au moyen des génératrices de la surface.
Mais l'hyperboloïde à une nappe se distingue entre toutes les surfaces réglées par une propriété qui lui appartient exclusivement : c'est d'avoir un double système de génératrices rectilignes. Ces deux séries de génératrices donnent lieu à un système de coordonnées rectilignes qui présente de l'analogie avec le système en usage sur le plan. ”

“ Des considérations de Géométrie analytique, fondées sur la théorie des polaires réciproques, conduisirent l'éminent géomètre non-seulement à la démonstration des théorèmes déjà connus, mais à diverses propriétés nouvelles, qui établissent des relations intimes entre la surface de l'onde et l'ellipsoïde qui sert à sa construction.
Ainsi il vit que : La polaire réciproque de la surface des ondes par rapport à une sphère concentrique est une nouvelle surface des ondes. (Art. 22.) ”

“ Mémoire sur la surface engendrée par la révolution d'une conique autour d'une droite située d'une manière quelconque dans l'espace (2) — Une conique C tourne autour d'un axe X; son plan enveloppe ainsi un cône de révolution autour de cet axe. La surface décrite par la conique est du quatrième ordre. Elle possède un parallèle double. Chaque plan tangent au cône de révolution coupe la surface suivant deux coniques, dont une est la conique génératrice et l'autre est égale à celle-ci et est placée symétriquement par rapport à l'arête de contact du plan tangent au cône. ”

“ Le Mémoire sur les routes de la lumière renferme la généralisation importante, et dont on avait pu douter, de ce théorème de Malus : Des rayons de lumière partis d'un même point se réfléchissent sur une surface quelconque dans des directions toutes normales à une même surface. M. Dupin démontre généralement que des rayons normaux à une surface se réfléchissent ou se réfractent suivant des directions normales à une surface. ”

“ On sait que le lieu des sommets des angles trièdres trirectangles circonscrits à une surface du second ordre est une sphère concentrique dont le carré du rayon est égal à la somme des carrés des demi-axes de la surface. M. Picquet, jeune officier du génie, a communiqué à la Société philomathique, en décembre 1865 (1) , plusieurs propriétés nouvelles des surfaces du second ordre tangentes à huit ou à sept plans, propriétés relatives à ces sphères, qu'il appelle sphères orthogones.
Pour un paraboloïde, la sphère devient un plan, qui est dit aussi plan orthogone. ”

“ Résumé d'une théorie des surfaces du second ordre hornofocales (2) .— Cette théorie des surfaces du second ordre hornofocales repose sur cette propriété empruntée de l'Aperçu historique, comme on l'a vu (chapitre II ) , savoir, que les surfaces dont il s'agit sont toutes inscrites dans une même surface développable dont trois des lignes de striction sont les coniques focales (deux réelles, et la troisième, imaginaire) du système, et la quatrième est le cercle imaginaire situé à l'infini. ”

“ La considération d'un système de forces sollicitant un corps solide libre conduit à un pareil système de figures corrélatives , d'après ce théorème: Si l'on conçoit dans l'espace un système de forces, et que l'on prenne les plans des moments principaux de ces forces, relatifs à tous les points d'une figure, ces plans envelopperont une figure corrélative.
On peut se servir d'une surface du second ordre pour former des figures corrélatives différentes des polaires réciproques, et qui se prêtent à des conséquences particulières. ”

“ M. Puiseux avait démontré d'une manière fort élégante, mais analytique ( 2) , que la courbe dont les deux courbures sont constantes est l'hélice tracée sur le cylindre de révolution; M. Bertrand donna de ce théorème une démonstration purement géométrique d'une simplicité parfaite, qui le conduisit en outre à ce théorème plus général : Les hélices tracées sur un cylindre quelconque sont les seules courbes dont les deux courbures ont un rapport constant (3) . ”

“ Dans les premières années de ce siècle, Ivory, par sa conception heureuse des points correspondants sur des ellipsoïdes homofocaux, ramena le calcul relatif aux points extérieurs à celui des points intérieurs, ce qui permettait encore de conclure le théorème de Maclaurin. Peu de temps après, Gauss traita aussi cette grande question de l'attraction. Une analyse, qui embrasse les deux cas d'un point extérieur et d'un point intérieur, a conduit l'illustre géomètre au théorème de Maclaurin et à l'expression de l'attraction sur un point intérieur (3) . ”

“ Les travaux nombreux et importants de M. Liouville se rapportent spécialement aux diverses branches de l'Analyse pure, aux fonctions transcendantes, à la théorie des nombres et aux applications de l'Analyse infinitésimale à l'Astronomie et à la Physique mathématique. Mais on y trouve souvent des résultats qui intéressent la Géométrie, qui concernent même directement la théorie des surfaces, et des vues qui, en donnant lieu à de nouvelles recherches , ont contribué aux progrès de la science. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ Dans toute surface, à aire minima provenant de la déformation d'une surface de révolution, les lignes de courbure sont coupées sous un angle constant par une même ligne géodésique, transformée d'un des méridiens. ”

“ Poncelet a remarqué que, dans ce système, la transformée polaire d'une sphère est une surface du second ordre de révolution, ayant un foyer au centre de la sphère directrice : ce qui permet de transporter les propriétés connues d'un système de sphères à un système de surfaces de révolution de même foyer. ”

“ La question de construire une sphère tangente à quatre sphères données a fixé l'attention d'un grand nombre de géomètres. Descartes dit, dans une de ses lettres à Mersenne, qu'il l'a résolue par la ligne droite et le cercle (2) . Fermat en a fait le sujet d'un travail, dans lequel il ramène la solution cherchée à celles de plusieurs autres problèmes qu'on peut regarder comme des cas particuliers de celui des quatre sphères (3) . Ce travail laissait donc à désirer une solution générale et directe, de laquelle se pourraient conclure au contraire celles des cas particuliers. ”

“ Nous citerons encore un travail fort important : Sur les intégrales communes à plusieurs problèmes de Mécanique (1) , dans lequel plusieurs théorèmes appartiennent, par leur énoncé comme par la forme de leur démonstration, à la théorie des surfaces applicables l'une sur l'autre. On y trouve en particulier ce théorème remarquable : Les surfaces applicables sur les surfaces de révolution sont les seules sur lesquelles deux points mobiles sollicités par des forces différentes puissent avoir une intégrale commune indépendante du temps, pour les équations différentielles de leur mouvement. ”

“ Tous les cônes de révolution de même sommet ont pour bases, sur un plan quelconque, des coniques qui ont toutes un double contact avec un même cercle imaginaire, dont le centre est le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet des cônes sur le plan. ”

“ Une sphère doublement tangente à une cyclide coupe la surface suivant deux cercles. M. Mannheim complète cet énoncé en démontrant que : Les plans des deux cercles sont eux-mêmes doublement tangents à la cyclide (3) .
M. Mannheim, revenant, dans un autre travail (4) , sur le même mode de transformation, appelle pôle principal un point par rapport auquel une figure est à elle-même sa transformée. Il démontre entre autres cette proposition importante dans la théorie des surfaces : Lorsqu'une surface a un pôle principal, il en est de même de sa transformée relative à un pâle quelconque. ”

“ La droite qui mesure leur plus courte distance rencontre l'axe de rotation, et lui est perpendiculaire. Les distances des deux droites à cet axe sont dans le rapport des tangentes des angles que les deux droites font avec l'axe.
Toute droite qui s'appuie sur deux droites conjuguées est normale aux trajectoires de tous ses points.
Les points dont les trajectoires se dirigent vers un point fixe de l'espace sont sur une courbe à double courbure du troisième ordre qui passe par ce point; et les directions des trajectoires sont les arêtes d'un cône du second ordre. ”

“ Développements sur un théorème de Géométrie (1) . — Ce travail fait suite au Mémoire précédent, et se rapporte à la même propriété des tangentes parallèles dans une courbe géométrique. L'auteur y démontre ce théorème nouveau : Le centre des moyennes distances des points de contact d'une courbe et de ses tangentes parallèles est aussi le centre des moyennes dislances des points de rencontre mutuelle des asymptotes de la courbe. ”

“ Théorie générale des systèmes de surfaces du second ordre satisfaisant à huit conditions M. — La théorie des systèmes de courbes planes représentés par deux caractéristiques s'étend naturellement aux systèmes de surfaces que l'on représente par trois caractéristiques fi, v, p, exprimant respectivement le nombre des surfaces qui passent par un point, le nombre des surfaces tangentes à une droite, et le nombre des surfaces tangentes à un plan. ”

“ Si, autour d'une tangente d'une surface en un point A, on fait tourner un plan, et que dans chacune de ses positions on construise la conique qui a en A. avec la surface un contact du quatrième ordre : 1° il existera deux positions, réelles ou imaginaires, du plan sécant, pour lesquelles le contact montera au cinquième ordre; 2° l'ensemble de toutes les coniques forme une surface du second ordre simplement osculatrice à la proposée. ”