“ L’équation (I) est celle d’une seconde parabole cubique, tout à fait indépendante de la nature des données, et dont le paramètre est l’unité, c’est-à-dire, le demi-grand axe de l’orbite terrestre. En prenant donc une ligne droite, d’une longueur arbitraire, pour ce demi-grand axe, on pourra construire cette courbe avec soin, une fois pour toutes, et s’en servir pour tous les problèmes particuliers qu’on aura à résoudre [2] . ”

“ De là résultent évidemment les théorèmes que voici :
I. Pour qu’une proposition universelle affirmative soit vraie, il est nécessaire et il suffit que le sujet n’ait aucune partie de son étendue hors de l’étendue de l’attribut.
II. Pour qu’une proposition universelle négative soit vraie, il est nécessaire et il suffit que ses deux termes n’aient aucune partie de leur étendue qui leur soit commune.
III. Pour qu’une proposition particulière affirmative soit vraie, il est nécessaire et il suffit que ses deux termes aient au moins une partie de leur étendue qui leur soit commune. ”

“ Pour parvenir à la résolution complète d’un problème, il y a inévitablement à exécuter un certain nombre d’opérations qui dépendent de la nature de ce problème et qu’on ne saurait, avec toute l’adresse possible, abréger et réduire indéfiniment. Or, dès qu’on a le centre et le rayon du cercle cherché, le problème est à peu près résolu ; donc, la recherche de ce centre et de ce rayon doit compter toute la somme de constructions que la résolution du problème, simplifiée autant qu’elle peut l’être, peut exiger. ”

“ Mais souvent un théorème à démontrer ou un problème à résoudre, quoique dépendant bien réellement de quelque autre théorème ou problème déjà démontré ou résolu, n’a point avec lui une liaison aussi apparente. Alors, pour rendre manifeste la dépendance entre l’un et l’autre ; il devient nécessaire de combler l’intervalle qui les sépare par une suite plus ou moins étendue d’autres théorèmes ou problèmes, tels qu’on puisse dire de chacun qu’il est un corollaire de celui qui le précède et qu’il a pour corollaire celui qui le suit. ”

“ Le problème de la moindre surface entre des limites données est évidemment identique avec celui où l’on demanderait quelle courbure doit affecter une toile parfaitement flexible et élastique, tendue par ses extrémités, sur des lignes fixes données, planes ou courbes, à simple ou à double courbure ; et l’on voit par là que ce problème peut être considéré comme n’appartenant pas moins à la mécanique qu’à la géométrie. ”

“ Imaginons une masse quelconque, lancée par une force de projection quelconque, et qui, après avoir éprouvé à chaque instant l’effet des forces accélératrices et retardatrices qui auront pu agir sur elle, ait acquis, au bout du temps la vitesse Désignant par la somme des forces accélératrices et par la somme des forces retardatrices qui agissent sur cette masse dans l’instant ; on devra avoir nécessairement ; équation qui ne repose sur aucune hypothèse, et qui, par sa simplicité et sa généralité, est applicable à toutes les suppositions de mouvement quelconques. ”

“ Mais on conçoit qu’ici encore on pourra passer éternellement de traduction en traduction sans rencontrer sur sa route aucun théorème antérieurement démontré ou aucun problème antérieurement résolu. Ainsi, dans la découverte de la vérité, on ne saurait se promettre plus de succès de l’analise que de la synthèse, si cet instrument de découverte n’est manié, tout comme l’autre, par une main habile et exercée. ”

“ Dans le cas où la force accélératrice est exactement égale à la somme des résistances, on aura ainsi l’intégrale sera égale à la constante seule ; et cette constante, dans le cas actuel, n’est autre chose que la vitesse que l’onde de sang avait reçue du cœur. Cela ne doit surprendre personne. Deux forces égales et contraires, dont par conséquent l’effet réuni est nul, agissent à la fois sur un corps, en repos ou en mouvement : on demande ce qui en résultera ? ”

“ Mais d’abord, on ne voit pas bien clairement pourquoi l’analise devrait être une méthode telle qu’on n’en pût attribuer l’invention qu’aux modernes. Ce sont eux, à la vérité, qui ont généralisé, étendu et perfectionné l’application de ce que les anciens appelaient analise à la résolution des problèmes, application dont Diophante leur avait offert le premier exemple, en réduisant en algorithme l’analise logique de Platon. Mais c’est moins l’invention d’un algorithme que la manière dont on en fait usage, qui constitue une méthode ”

“ Mais, si les deux forces sont égales, et qu’elles agissent dans des directions opposées, il est clair qu’elles n’en produiront pas : le corps persistera dans l’état de repos ou de mouvement qu’il avait d’abord. Dans l’état de santé, d’après l’idée que nous devons nous en faire, des causes retardatrices agissent sur l’onde de sang sortie du cœur : elles sont nombreuses et évidentes ; opposons-leur des causes accélératrices qui leur soient égales et contraires, et le mouvement du sang continuera, tel qu’il aurait eu lieu sans l’existence d’aucune de ces deux causes ”

“ L’irritabilité suppose une artère qui, semblable au cœur, se vide entièrement à la fin de chaque contraction, ce qui contredit formellement la nature des artères, lesquelles restent toujours pleines ; la contractilité suppose précisément qu’elles sont pleines, sans quoi elle ne pourrait guère se manifester. Kurt Sprengel, comme on voit, n’y regarde pas de si près, pourvu qu’une fibre ait la faculté de se contracter, quel que soit le stimulus qui l’irrite, quel que soit le temps que cette contraction dure, il suffira pour lui de la croire inévitable. ”

“ Si l’on conçoit un cône circonscrit à la sphère, dont le sommet soit l’œil du spectateur, en imaginant le même mouvement que tout-à-l’heure, nos tangentes deviendront les intersections du cône avec le plan perpendiculaire au tableau conduit par d’où il est aisé de conclure que est le grand axe de l’ellipse cherchée. ”

“ D’après la théorie générale des équations, l’équation du troisième degré, à titre d’équation d’un degré impair, doit avoir au moins une racine réelle ; ce que je pourrais d’ailleurs démontrer par mes formules.
Une des trois racines est donc réelle ; mais, lorsque négatif, une de ces racines ne peut être réelle, sans que les deux autres ne le soient aussi.
En effet, si est réelle, est aussi réel. D’ailleurs, est réel ; donc, puisque est réel, doit l’être pareillement. De plus, on a
d’où
or, le premier membre de cette équation est réel ”

“ À la vérité, on pourrait en faire usage pour substituer à six des neuf arbitraires des fonctions équivalentes des trois autres, qui alors entreraient seules dans les formules ; mais, en faisant même de celles-ci le choix le plus avantageux ; c’est-à-dire, en prenant, avec M. Monge, les cosinus des angles que forment respectivement les nouveaux axes avec ceux que l’on suppose leur correspondre dans le système primitif, on ne parvient qu’à des formules radicales, dont la symétrie ne saurait racheter la complication ; et qui sont conséquemment plus curieuses qu’utiles. ”

“ On reconnaît que le calcul est bien fait, et à l’abri de toute erreur, lorsque les ordonnées également distantes des extrêmes, telles que et et et et sont multipliées par le même coefficient numérique, et lorsque, de plus, en faisant les huit ordonnées égales à l’unité, l’intégrale devient elle-même égale à l’unité. Un autre avantage de cette méthode, c’est que les valeurs numériques des coefficiens de paraissent toutes développées, sans être déduites d’aucun système d’équations du premier degré qu’il faille préalablement résoudre. ”

“ Ici il se présente deux cas très-distincts ; tantôt, en effet, on n’a d’autre but que de découvrir des vérités nouvelles sans en avoir spécialement aucune en vue ; tandis que d’autres fois, au contraire, l’analogie ou le besoin nous conduit à pressentir quelque vérité dont nous désirons nous assurer, sans savoir précisément à quelle vérité antérieurement établie elle peut se rattacher, ou à désirer la solution de quelque problème, sans connaître de quel problème déjà résolu on peut le faire dépendre. ”

“ Loin donc qu’il soit paradoxal de dire que la surface dont les deux rayons de courbure sont, en chacun de ses points, égaux et de signes contraires, soit en même temps celle dont l’aire est un minimum ; loin que l’on conçoive possible de prouver qu’elle ne l’est pas, il nous semble, au contraire, qu’il est peu de propositions aussi faciles à deviner ; parce qu’il en est peu, en effet, qui soient aussi exactement conformes aux indications du simple bon sens. ”

“ Il demeure donc établi par là que le système de diamètres conjugués dont les directions sont venant à varier d’une manière quelconque, de sorte cependant que l’un d’eux reste fixe, le plan coupera constamment, en un même point fixe, le diamètre de dont tous les conjugués sont dans le plan et, comme il est d’ailleurs connu qu’on peut toujours passer d’un système de diamètres conjugués à un autre quelconque, au moyen de trois transformations successives telles que, dans chacune d’elles, un des diamètres reste fixe [1] , il s’ensuit que le théorème est complètement démontré. ”

“ Dès que l’uniformité du mouvement du sang ne peut être maintenue que sous la condition exclusive que la force vitale des vaisseaux et la somme des résistances, c’est à-dire, que les forces accélératrices et retardatrices de la masse sanguine soient rigoureusement égales entre elles ; voilà ce qui fait vraiment dresser les cheveux, et ce qui révolte le sens commun. Et que restera-t-il donc, dans le cas d’une égalité parfaite entre ces deux forces opposées ? ”

“ « Cette singularité semblerait assez difficile à expliquer autrement que par quelque erreur de calcul ; mais le point essentiel est de savoir laquelle des deux formules doit être préférée ; et l’expérience assure l’avantage à la nôtre ». Cette expérience sur laquelle M. Bérard croit pouvoir s’appuyer se réduit au simple calcul du logarithme naturel de deux, qu’il trouve, d’après sa formule et, d’après la mienne, ce qui présente une différence d’une unité dans la dixième décimale. ”

“ S’ils construisent successivement la perspective de la sphère par nos méthodes et par un cercle, dont je leur abandonne d’ailleurs le choix du centre et du rayon, ils sentiront bientôt que, tandis que, dans le premier mode de construction, tout se trouve dans une harmonie parfaite, le second, au contraire, est tout-à-fait insoutenable pour la vue. ”

“ Il suit de ces notions, généralement admises, qu’aucun théorème ne pourrait être démontré ni aucun problème résolu, et que conséquemment toute science certaine serait impossible, si tous les théorèmes avaient besoin de démonstration, et tous les problèmes de solution. Mais il existe heureusement des théorèmes dont il suffit de connaître l’énoncé pour en apercevoir la vérité, et des problèmes qu’il suffit également d’énoncer pour que chacun comprenne clairement ce qu’il faut faire pour les résoudre. ”

“ Loin donc que l’extrême rigueur que personne n’a jamais songé à contester aux sciences mathématiques ait sa cause dans la perfection du langage de ces sciences ; il y a beaucoup plus d’apparence que c’est au contraire à cause de l’extrême simplicité des objets auxquels ces sciences sont relatives, qu’on a pu parvenir à donner tant de précision à la langue qui en exprime la nature et les propriétés. ”

“ Quelle que soit la ligne parcourue, sur un terrain quelconque, par des hommes ou des animaux qui traînent un fardeau, la force instantanée qu’ils transmettent à cette masse, après la production de la vitesse, qui doit rester uniforme, est contre-balancée par la résistance que des obstacles de différente nature opposent au mouvement ; de sorte que, la vitesse uniforme propre à l’espèce de moteur employé étant supposée connue, la théorie du tracé des routes est indépendante de toutes considérations de dynamique, et rentre entièrement dans le domaine de la géométrie. ”

“ On conçoit que l’on peut arriver d’un point à un autre, sur une surface quelconque, par une infinité de routes obliques de pentes différentes. M. Dupin pose en principe que l’on doit choisir, entre ces routes, celle dont la pente est égale à la plus grande suivant laquelle une route directe puisse être parcourue ; et il dérive de cette condition la théorie générale qu’il expose. ”

“ La proposition est dite simple lorsqu’elle n’est relative qu’à deux idées seulement ; c’est la seule dont il sera question ici.
9. Toute proposition doit, au moins implicitement, présenter trois parties ; savoir : 1.o le sujet ou petit terme, qui est l’idée que l’on dit être ou n’être pas, en tout ou en partie, contenue dans l’autre ; 2.o l’attribut ou grand terme, qui est, au contraire, l’idée de laquelle on dit que le sujet fait ou ne fait point partie ; 3.o enfin, la copule qui exprime la nature du rapport entre les deux termes de la proposition. ”

“ Le mode de solution dont nous venons de faire usage est très-général, et il n’est pas difficile de voir que puisqu’on sait, au moyen de points et de tangentes à une section conique, trouver tant d’autres points et de tangentes à cette courbe qu’on peut en désirer ; on pourra aussi, par des méthodes analogues à celle dont nous venons de faire usage, résoudre tous les cas de ce problème général : connaissant points et tangentes à une parabole, déterminer tant d’autres points et tant d’autres tangentes à cette courbe qu’on voudra ? ”

“ Mais il est essentiel de remarquer que ce dernier problème est indéterminé, puisqu’un même point peut être déterminé d’une infinité de manières différentes par l’intersection de deux lignes. C’est de la même manière que, lorsqu’on a deux équations entre deux inconnues et on peut remplacer ces deux équations d’une infinité de manières différentes, par le système de deux autres équations ayant lieu en même temps qu’elles, et donnant conséquemment les mêmes valeurs pour les deux inconnues [2] .
Rapportons les données et les inconnues du problème à deux axes rectangulaires. ”

“ Quant à et ce sont évidemment les coordonnées du point où le plan de l’écliptique est percé par le rayon visuel. Il sera donc possible d’en déterminer les valeurs si, comme nous devons le supposer, l’on connaît, pour l’époque la situation de la terre par rapport à l’écliptique, et celle de l’observateur sur sa surface. Cette manière de calculer et aura, comme on le voit, l’avantage d’éliminer l’erreur provenant tant de la parallaxe inconnue de l’astre que de la petite latitude que le centre de la terre peut avoir, par rapport au plan moyen de l’écliptique. ”

“ Cherchons donc l’équation de cette surface.
Dans le mouvement de torsion du quarré, on peut concevoir que les deux bases tournent, d’un mouvement égal et contraire, autour des points jusqu’à ce qu’elles soient devenues perpendiculaires l’une à l’autre ; les fibres horizontales n’étant sollicitées, que par des forces qui sont elles-mêmes horizontales, conservent cette direction, et ne font que tourner simplement, autour du point où elles coupent l’axe dans un plan parallèle à ceux des bases du cube, en demeurant toujours rectilignes [1] . ”

“ De trouver une surface qui, passant par les diagonales inverses de deux faces opposées d’un cube, ait sa partie interceptée entre les faces de ce cube, de la moindre étendue possible. Or, il paraît que ce problème est susceptible d’une infinité de solution : tout porte à croire qu’il doit être résolu par une équation différentielle partielle du premier ordre, dont l’équation de M. Tédenat ne serait alors qu’une intégrale particulière. Il y aurait donc lieu, dans ce cas, à chercher un minimum minimorum ; et lui seul alors pourrait fournir la véritable solution du problème. ”

“ Il est connu depuis long-temps que tout changement de situation d’un angle trièdre dans l’espace, autour de son sommet, peut être censé résulter, non seulement de trois rotations successives autour de ses trois arêtes, mais encore d’une rotation unique autour d’un axe fixe, passant par ce même sommet. On a donc lieu d’être surpris ; d’après cela, qu’on n’ait point encore songé jusqu’ici à fonder sur cette remarque un mode de transformation de coordonnées. Cependant, dans cette manière d’envisager la chose, les trois axes des coordonnées étant absolument traités de la même manière ”