équation aux dérivées partielles

“ La dérivée est en effet le quotient de l’accroissement infiniment petit [3] de la fonction par l’accroissement infiniment petit correspondant de la variable. Le calcul infinitésimal comprend deux grands chapitres : le calcul différentiel, qui est le calcul des dérivées, et plus généralement se propose de trouver les relations entre « infiniment petits » qui résultent des relations données entre « quantités finies correspondantes. » Dans le calcul intégral, l’on se propose la question inverse (intégration) . ”

“ Ces deux développements ne diffèrent l’un de l’autre qu’en ce que, dans les dérivées du premier, on suppose et dans, celle du second, La manière de déduire les dérivées suivies d’un point, de celles sans point a été exposée aux n.os 7 et 8.
L’équation (21) fournit donc le moyen de résoudre cette question : étant une fonction donnée de , ou un polynôme en ; développer, selon les puissances de , une fonction quelconque ? En effet, d’après le n.o 3, l’équation (20) peut être mise sous la forme
(22) et l’on a
(23) c’est-à-dire, que doit être considéré comme un premier terme de polynôme. ”

“ Si l'on considère deux ou plusieurs éléments comme des variables indépendantes, on peut former aussi un très grand nombre d'équations linéaires aux dérivées partielles.
Tous nos coefficients B, et toutes les dérivées partielles peuvent s'exprimer linéairement en fonctions de seize de ces coefficients, ou bien encore en fonction de l'un d'eux et de quinze de ses dérivées partielles.
295. Passons maintenant au cas de l'expression (2) et des coefficients Amm" qui sont ceux du développement suivant les anomalies moyennes. ”

“ Ainsi on ne peut énoncer les relations entre fonction totalisée et totale indéfinie en n'employant que la dérivation ordinaire prise sur un intervalle ; il est indispensable de recourir à une généralisation de la dérivée : dérivée prise sur un ensemble ou dérivée approximative. Par suite aussi la généralisation de cet énoncé : toute fonction absolument continue a une dérivée presque partout, laquelle s'énonce : toute fonction résoluble a une dérivée approximative presque partout ne peut être remplacée par une proposition relative à l'existence de la dérivée ordinaire (1) . ”

“ D’autre part est supérieure à , donc est au moins égale à la dérivée de , et, puisque est quelconque, est au moins égale à .
a donc une dérivée à droite égale à ; en raisonnant de même sur l’intervalle négatif , on voit que admet aussi pour dérivée à gauche ; le théorème est démontré.
Nous pouvons dire aussi : si des fonctions dérivées tendent en croissant vers une fonction dérivée , leurs fonctions primitives tendent vers la fonction primitive de si les constantes sont choisies convenablement. ”

“ Or est une fonction linéaire et homogène des dérivées partielles, une fonction du second degré de ces mêmes quantités, donc le premier terme de est une constante et le second une fonction du premier degré des dérivées partielles. Lorsque le milieu est dans sa position d’équilibre, les quantités sont nulles et, comme zéro est un minimum pour ces quantités, leurs dérivées sont nulles aussi ”

“ La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. ”

“ Chaque élément de l'intégrale, en un mot, peut être rendu maximum individuellement, de sorte qu'une simple dérivation donne la relation cherchée, qui n'est autre chose que l'équation, rapportée à des coordonnées particulières, l'une linéaire, l'autre angulaire, de la surface gauche que doivent former les ailes. ”

“ On peut aller plus loin et démontrer qu'une fonction à variation bornée et à nombres dérivés finis a une dérivée pour un ensemble de points dont le complémentaire est de mesure nulle ; de plus une telle fonction est l'intégrale indéfinie de sa dérivée considérée seulement pour l'ensemble des points où elle existe (') . Ces deux propriétés, qui s'appliquent en particulier aux fonctions à nombres dérivés bornés (2) , résultent des considérations suivantes : Les intégrales indéfinies des fonctions sommables ont toutes, nous allons le voir, des dérivées en certains points ”

“ La loi des Dérivations, ou de la formation des dérivées successives, est évidemment la même que celle des differentiations, à la seule exception près que nous supprimons les dénominateurs inutiles ce qui revient à supposer En effet, on sait, et il est d’ailleurs évident que le coefficient différentiel d’un ordre quelconque de la fonction d’un binôme est le même, soit qu’on la différencie en regardant comme variable et comme constant, soit qu’on la différencie en regardant comme variable, et comme constant ”

“ Supposons, pour donner un exemple particulier, que cette fonction soit
qui se vérifient, comme l'on voit, d'elles-mêmes. En effet, la fonction proposée est la dérivée de —'
En général, il est facile de prouver que l'équation de condition .f` (.r) f,f' (.r) '+ f.f' (.r" ) 7° = 0
ne saurait être identique, à moins que la plus haute des fonctions dérivées y', y", qui entrera dans la fonction proposée (x, y, y', y") n'y soit qu'à la première dimension, afin qu'elle puisse disparaître dans la fonction dérivée qu'on prendra relativement à cette même dérivée de y. ”

“ Si l'intégrale indéfinie est donnée comme fonction d'ensemble ou d'intervalle, le problème n'en est pas moins résolu. Examinons ce que devient alors l'opération de dérivation. Que h soit positif ou négatif, le rapport /- [F (x) , x0, xu-{-h] est égal au quotient de la valeur de la fonction considérée W, pour l'intervalle â d'extrémités ,r0 et x0 -+- h, par la mesure de cet intervalle
C'est donc par la considération de tels rapports qu'on obtiendra la dérivée ”

“ Ainsi, exprimera la dérivée de la somme des deux fonctions de même exprimera la dérivée du produit des deux fonctions en général exprimera la dérivée de la fonction des fonctions
Qu’on ait, par exemple, et que le mode de dérivation désigné par consiste à changer en on aura dans ce cas
quoique résultat d’une dérivation, peut, à son tour, devenir le sujet d’une dérivation nouvelle. Soit la caractéristique de cette seconde dérivation, nous représenterons son résultat par Cette dernière dérivée peut pareillement devenir le sujet d’une troisième dérivation ”

“ Ainsi, si les équations différentielles admettent une intégrale uniforme, l’un des exposants caractéristiques d’une solution périodique quelconque sera nul, à moins que toutes les dérivées partielles de l’intégrale ne s’annulent en tous les points de cette solution périodique. ”

“ Dans les surfaces d'ordres supérieurs, comme celle que nous traitons, , et dont l'équation de l'enveloppée contient plus d'une fonction arbitraire de a, quelque loin que l'on pousse les différentiations ordinaires , il est en général impossible d'éliminer toutes les fonctions ,parce que chaque différentiation introduit des dérivées nouvelles ; et l'on ne peut avoir pour l'arête de rebroussement une équation délivrée de a et de toutes ses fonctions , qu'aux différences mêlées , ordinaires et finies. ”

“ Lorsqu’on se sera assuré que est une différentielle exacte, les équations (3) et (4) offriront le moyen le plus simple pour remonter à son intégrale par les quadratures seulement. Mais il nous reste à démontrer présentement que toute fonction différentielle qui satisfait identiquement aux dernières équations (3) et (4) est nécessairement par là même une différentielle exacte.
Premièrement, soit une fonction quelconque de
assujettie à la seule condition de satisfaire à l’équation
(7) dans laquelle est une quantité constante quelconque. ”

“ Lorsqu'un ensemble n'est pas réductible, deux cas sont, a priori, possibles. Ou bien, au cours des opérations de dérivation, on arrive à un ensemble dérivé Ex qui est parfait et alors, suivant nos conventions, nous arrêtons à cet ensemble nos opérations de dérivation, c'est-à-dire que nous ne considérons que les dérivés différents E 1, E 2, ... Eα, Ou
bien, les opérations de dérivation donneront toujours des dérivés différents, on aurait un ensemble non dénombrable semblable à S0 de tels dérivés. ”

“ Définissons la dérivée partielle de la forme quadratique extérieure F (u) par la relation
La dérivée de chaque monôme est nulle si ne figure pas parmi les facteurs du monôme ; si ui figure comme premier facteur, comme dans le terme la dérivée est a^vô ; si ue figure comme second facteur, on a la même règle, mais en prenant soin, au préalable, de faire passer u1 en avant, la dérivée par rapport à ui de aii [uiUi] étant celle de — aii [uiui] , c'est-à-dire — djiiû = aiiui. ”

“ Le cas dans lequel nous savons résoudre le problème C' est celui où le nombre dérivé donné est intégrable. Ce nombre dérivé a alors des points de continuité; en ces points il y a une dérivée égale au nombre dérivé donné, et l'on connaît partout la dérivée de la fonction inconnue, sauf aux points de discontinuité, c'est-à-dire sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. Il suffirait de se servir des valeurs connues de la dérivée pour avoir la fonction. ”

“ Une fonction continue est en général dérivable, c’est là un second caractère important. Prenons un train en marche ; l’espace parcouru est fonction du temps employé à le parcourir, la vitesse à chaque instant varie, elle est aussi fonction du temps. Il y a un lien très précis entre la fonction espace et la fonction vitesse, celle-ci est la dérivée de celle-là.
Notre image a quelque valeur ; c’est elle, en effet, qui a conduit Newton à introduire dans la science le concept de dérivée. ”

“ Supposons donc que les dérivées
soient toutes de la forme (α) et cherchons à démontrer qu’il en sera encore de même des
En effet, ces dérivées nous seront données par une équation de la forme
étant une combinaison de fonctions de la forme (α) sera encore de la même forme. ”