Enveloppe (géométrie)

“ Donc la caractéristique jouit de la double propriété d'être l'intersection de deux enveloppées consécutives inscrites dans la même enveloppe , et d'être l'intersection de deux enveloppes consécutives circonscrites à une même enveloppée.
Il est facile de vérifier ce résultat sur toutes les surfaces dont nous avons étudié les générations, nous allons le faire sur celles de révolution prises pour exemple.
Une surface de révolution est l'enveloppe d'une suite de sphères dont les centres sont sur raxe, et dont les rayons sont variables suivant une certaine loi. ”

“ C'est cette équation qui , dans tous les cas, produira l'équation (b) de la caractéristique.
Considérons actuellement l'équation (a) comme appartenant aux enveloppes. Des cinq quantités x, y, z, p, q, les denx derniercs sont encore les seules par lesquelles peuvent différer entre elles les équations individuelles de deux enveloppes différentes ; elles sont donc
les seules qui dépendent de la forme de la fonction p qui particularise l'enveloppe. ”

“ L'enveloppe est une parabole, car un théorème connu (G., n° 710) prouve que la parabole tangente en M, N aux lignes données, est tangente à toute droite AC qui divise les côtés DM, DN en parties inversement proportionnelles. ”

“ Remarque. Lorsque le point de concours des hauteurs est hors du cercle, l'enveloppe est une hyperbole. (G., n°660.) 131. Enveloppe d'une courbe variable. L'enveloppe d'une courbe qui varie suivant une loi donnée, est une seconde courbe tangente à la première dans toutes les positions que celle-ci peut occuper.
Exemple. L'enveloppe d'un cercle de rayon constant dont le centre décrit une circonférence donnée, est l'ensemble de deux circonférences concentriques à celle que décrit le centre du cercle mobile. ”

“ Donc , la caractéristique de l'enveloppe est réduite à un point unique , qui est le point correspondant de la développante , et l'enveloppe ellemême est réduite à la courbe parcourue par ce point, c'est-à-dire, à la développante. Et en effet, si de la dernière équation on élimine la quantité sous le signe d'intégration, au moyen de l'équation de la sphère, elle devient
qui, étant la somme de trois carrés , ne peut produire rien de réel, à moins qu'on n'égale à zéro les racines de chacun de ces carrés. ”

“ La SECONDE MÉTHODE consiste à trouver l'équation de la surface enveloppe 2 des plans normeaux à la courbe e, et de voir si cette équation appartient ou non à un cylindre. Si cette surface enveloppe 2 est cylindrique, la courbe C est plane; si cette surface 2 n'est pas cylindrique, la courbe C est à double courbure.
Mais qui ne voit de suite que dans l'emploi de cette méthode peuvent se présenter
des difficultés d'analyse de divers genres, et que nous ne savons pas encore résoudre ”

“ L'angle donné est constant, mais il n'égale pas un' droit.
L'enveloppe est encore une circonférence concentrique aux deux premières.
Problème 191.
813. Quelle est l'enveloppe de la base d'un triangle dont le périmètre est constant et dont l'angle opposé à la base est donné de grandeur et de position ?
(Voir Méthodes, n° 123) .
Note. L'enveloppe de la base d'un triangle dont la somme des côtés latéraux est constante, et dont l'angle opposé à la base est donné de grandeur et de position, est une parabole. (G., n" 1015; E. ni: G.. n° 2171.) ”

“ Mais, pour exécuter cette transformation, il n’est pas nécessaire de remonter jusqu’à l’équation de la dernière enveloppe, pour en conclure ensuite celle du corps enveloppé ; car le corps engendré par la surface primitive en vertu de l’existence de paramètres l’est aussi par la première enveloppe, en vertu de l’existence des paramètres restans, ou par la seconde, en vertu de l’existence des paramètres qui suivent les deux premiers, et ainsi de suite, et par conséquent par l’avant-dernière enveloppe, en vertu de l’existence du dernier paramètre ”

“ Voici les théorèmes que l'on utilise le plus fréquemment : Toute ligne convexe enveloppée est plus petite que la ligne enveloppante. (G., n° 36. — Exemples, nos 574, 589, 5'Jl.) La perpendiculaire est plus courte que toute oblique qui part du même point. (G., n° 38. — Exemples, no. 584, 587.)
On emploie aussi les lieux géométriques déjà étudiés; car tous les points d'un lieu considéré jouissent de la même propriété, tandis que les autres points sont ou plus éloignés ou moins éloignés d'une droite donnée. (Exemple, n° 580.) La méthode par duplication donne parfois des solutions très simples. ”

“ Dans l'ellipse, la somme des rayons vecteurs est donnée; car cette proposition exprime que la somme des rayons vecteurs est une chose constante dont la valeur est à déterminer. On dit maintenant : Dans l'ellipse, la somme des rayons vecteurs est constante.
Aux yeux des anciens, cet énoncé n'aurait point exprimé un théorème, ou du moins aurait été un théorème incomplet, parce que l'énoncé d'un théorème ne devait rien laisser de non déterminé. Aussi disaient-ils : La somme des droites menées des foyers à un point de la courbe est égale au grand axe (1) . ”

“ Si, au lieu d’avoir ajouté nous l’eussions retranché, l’équation aurait appartenu à une suite d’enveloppes sphériques concentriques ayant leurs rayons croissant, sans interruption, de à l’infini ; d’où il suit qu’elle aurait été satisfaite par tous les points et par les seuls points de l’espace extérieurs à une sphère ayant son centre à l’origine et son rayon égal à [7] .
Lorsqu’on peut connaître directement l’enveloppe et les lois de sa génération, on peut facilement en déduire l’équation du corps enveloppé, mais souvent sous une forme plus compliquée. ”

“ Aujourd'hui, rien qu'en France, on fabrique près de cinq millions d'enveloppes par jour. Les principaux fabricants d'enveloppes français sont M. Legrand, M. Laroche-Joubert et M. Marion. v L'usage de l'enveloppe offre certainement de très grands avantages, mais il présente un inconvénient qui a son importance, c'est celui de faire disparaître des lettres le timbre de la poste qui constitue la preuve d'une date certaine : - A l'époque où l'enveloppe était inconnue, on pliait les
lettres en quatre, de façon à écrire l'adresse sur la dernière page, qui restait blanche. ”

“ Quoique la ligne droite soit plus simple que la circulaire, cependant il est à propos de traiter de l’une & de l’autre, ensemble & non séparément, dans des élémens de Géométrie ; parce que les propriétés de la ligne circulaire sont d’une utilité infinie pour démontrer d’une maniere simple & facile ce qui regarde les lignes droites comparées entr’elles quant à leur position. La mesure d’un angle est un arc de cercle décrit du sommet de l’angle comme rayon. ”

“ En Géométrie on se sert du mot engendré, pour désigner une ligne produite par le mouvement d’un point, une surface produite par le mouvement d’une ligne, un solide produit par le mouvement d’une surface, ou bien encore pour désigner une ligne courbe produite dans une surface courbe par la section d’un plan. ”

“ Pour calculer le volume d'une sphère dont on connaît le rayon , il faut, d'après les règles précédentes, multiplier le carré du rayon par le rapport de la circonférence au diamètre, ce qui donne la surface d'un grand cercle, multiplier ce produit par 4 pour avoir la surface de la sphère, et, en dernier lieu, multiplier ce second produit par le tiers du rayon. Ces opérations successives reviennent à multiplier le cube du rayon par quatre fois le tiers du rapport de la circonférence au diamètre, ou par le nombre 4,188, si nous prenons le nombre 3,141 pour ce rapport. ”

“ Toute direction de plans de lignes ou de surfaces différentes des situations verticales et horizontales, s'appelle oblique ou inclinée.
En ployant sur elle-même une bande de papier le long d'une ligne parfaitement droite, de manière à ce que le bord de droite couvre parfaitement le bord de gauche, le pli rectiligne qui en résulte forme un angle parfaitement droit, intérieur aux deux lignes exactement perpendiculaires, et peut servir d'équerre, à défaut d'équerre de bois, il fournit même un moyen très-précis de vérifier l'exactitude des angles d'un carré parfait ou d'un carré long (3) . ”

“ Ainsi la caractéristique est la génératrice commune à toutes les enveloppes différentes et en nombre infini que l'on peut produire par la même enveloppée , tandis que la trajectoire n'est la génératrice que d'une seule de ces enveloppes; la caractéristique, dont la nature ne dépend absolument que de celle de l'enveloppée, est donc la seule qui porte le caractère général de la génération exprimée par l'équation
aux différences partielles. ”

“ QUADRATURE, s. f. terme de Géométrie ; maniere de quarrer ou de réduire une figure en un quarré, ou de trouver un quarré égal à une figure proposée.
Ainsi la quadrature d’un cercle, d’une parabole, d’une ellipse, d’un triangle, ou autre figure semblable, consiste à faire un quarré égal en surface à l’une ou à l’autre de ces figures. Voyez Cercle. &c.
La quadrature des figures rectilignes est du ressort de la Géométrie élémentaire ; il ne s’agit que de trouver leurs airs ou superficie, & de la transformer en un parallelogramme rectangle. ”

“ Construire un rectangle dont la surface soit égale à celle d'un carré donné, et dont la base et la hauteur réunies fassent en somme une ligne égale à une ligne donnée.
Soit AB (fig. 135) , la ligne donnée, qui doit être égale à la somme de la base et de la hauteur demandées. J'élève sur AB, au point A, une perpendiculaire AS égale au côté du carré auquel ce rectangle doit être équivalent. Je décris sur AB comme diamètre une demi-circonférence, et je mène par le point S une parallèle à AB, qui rencontre la demi-circonférence au point I. J'abaisse
la droite IH, perpendiculaire sur AB ”

“ Quand les Géometres disent qu’un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur, ils ne veulent pas dire par-là, comme quelques-uns se l’imaginent, qu’une surface est le produit de deux lignes droites ; car on ne multiplie point une ligne droite par une ligne droite, parce qu’on ne multiplie jamais deux concrets l’un par l’autre (voyez Concret) ; ce langage des Géometres est une façon de parler abregée, que j’ai expliquée à la fin de l’art. Équation, tom. ”

“ Fig. 86.
fois une certaine ouverture de compas qui détermine sur la ligne un segment MN ; du point N comme centre, avec une ouverture égale à 2 divisions, décrivez un arc de cercle audessus du point N; décrivez encore du point M comme centre avec un rayon MN un autre arc de cercle, qui coupe
le premier au point P; joignez MP; NMP est l'angle de réduction. Voulez-vous avoir une ligne égale aux deux tiers de AB?
Prenez AB pour ouverture de compas, et du point M comme centre décrivez un arc ab; la corde ab sera les deux tiers de AB.
Car la corde ab est parallèle à NP, et par suite (§ 105) . ”

“ Elever une perpendiculaire à l'extrémité d'une ligne droite qu'on ne peut pas prolonger.
Supposons qu'on se propose d'élever une perpendiculaire à l'extrémité B de la ligne AB (fig. 93) , et qu'on ne puisse pas prolonger AB. On ne peut plus appliquer la règle du n° 12. Alors on décrit des points A et B comme centres , et d'un même rayon plus grand que la moitié de AB, deux arcs de cercle qui se coupent au point O ; on joint le pointé A au point O, et on prolonge AO d'une quantité OK égale à AO ; la ligne BK sera la perpendiculaire demandée. ”

“ Les lignes courbes étant représentées de la même manière que les lignes droites, au moyen de deux projections, on doit en conclure que, si deux courbes, C et C', situées dans l'espace, se coupent en un point m, leurs projections Ch, C'h et C", C'° se couperont respectivement en des points qui seront mh et mv projections du point m, et dès lors tels qu'ils pourront (sur l'épure) être unis par une même perpendiculaire à la ligne de terre. ”

“ Il ne suffit pas à l'industrie de savoir exécuter une figure symétrique ou égale à une autre; elle a souvent besoin de produire des figures exactement pareilles à d'autres, mais plus grandes ou plus petites. La géométrie en fournit le moyen, par les propriétés des lignes proportionnelles et des triangles semblables.
Supposons qu'on divise une ligne droite AF, fig. 3, en parties égales AB, BC, CD, DE,
Supposons de plus qu'on mène, par chaque point de division, suivant une direction quelconque, les parallèles Aa, Bb, Ce, Dd, Ee,. ”

“ Pour s'assurer de la perfection de l'équerre, il suffit de tirer, en l'appliquant sur le papier, les deux lignes qui forment l'angle droit, puis faisant tourner, sur un des côtés de l'angle droit comme sur une charnière, la face de l'équerre, de manière à venir l'appliquer à angle droit sur le papier à l'inverse, ou symétriquement au premier, on trace la base du second angle droit, cette base devra être le prolongement en ligne droite de l'angle droit tracé en premier ”

“ La différentielle de cette dernière équation est d’ailleurs, en considérant à la fois comme variables, et comme constans,
(6) Suivant donc la théorie des enveloppes (exposée à la page 361 du III.me volume de ce recueil) , l’équation de la courbe demandée sera le résultat de l’élimination de entre les quatre équations (I, II, III, IV) et leurs différentielles ; c’est-à-dire, entre les huit équations (I, II, III, IV, 4, 5, 6) . À la vérité, elles ne sont qu’en nombre égal à celui des quantités à éliminer ”

“ Corollaire L Si la sécante MAF tourne autour du point P jusqu'à ce que les deux points M et MI coïncident, elle devient tangente à l'ellipse, et la droite PF est perpendiculaire au rayon vecteur du point de contact; car l'angle MFN est alors égal à deux angles droits. De là résulte ce théorème : Si par un point P de la directrice DDI d'une ellipse (fig. 289) on mène la tangente PM à cette courbe, la droite qui joint le point P au foyer F correspondant à DD' est perpendiculaire au rayon vecteur FM du point de contact. ”