A. Desvignes

“ Construire les axes d'une ellipse dans laquelle on connaît l'angle et les longueurs de deux diamètres conjugués.
Je suppose le problème résolu : soient CA, CB les axes demandés (fig. 299) , et CM, CN les diamètres conjugués dont la position et la grandeur sont données. Je mène par le point M une parallèle au diamètre CN; cette droite qui coupe les axes CA, CB aux points inconnus D, E est tangente à l'ellipse, et le demi-diamètre CN est moyenne proportionnelle entre les deux segments MD, ME, déterminés sur la tangente par son point de contact et les deux axes. ”

“ En effet, si 0 est le point d'intersection des trois hauteurs, le quadrilatère ODBF dont les angles opposés D et F sont droits est inscriptible, et les angles ODF, OBF inscrits dans le même segment sont égaux. Les quatre points A, B, D et E sont aussi sur la même circonférence, puisque les angles AEB, ADB sont droits; donc l'angle EDA est égal à l'angle EBA, et par suite à l'angle ODF, la droite DA divise dès lors l'angle EDF en deux parties égales. ”

“ Je désigne par A, B, C, D les quatre points donnés, et je commence par remarquer que si le quadrilatère ABCD est inscriptible (fig. 46) , toute circonférence OM ayant le même centre 0 que la circonférence OA, circonscrite au quadrilatère ABCD, est une solution du problème. Les quatre points donnés seront à l'extérieur du cercle OM, si le rayon arbitraire OM est plus petit que OM; ils seront à l'intérieur dans l'hypothèse contraire. ”

“ PROBLÈME VIII.
Pour construire l'ellipse dont les points F et FI sont les foyers (fig. 304) et à laquelle la droite AB est tangente, j'abaisse du foyer F la perpendiculaire FP sur AB, et je la prolonge d'une longueur PN égale à FP; puis je tire la droite FIN qui représente la longueur du grand axe de l'ellipse. La question proposée revient dès lors à décrire une ellipse dont la longueur du grand axe et les foyers sont donnés.
Remarque. L'intersection M de la droite FIN et de la tangente AB est le point de contact de cette tangente. ”

“ Ainsi, le lieu des points d'un plan desquels on voit sous un angle constant une droite de longueur donnée est un arc de cercle, et le lieu des points de l'espace jouissant de la même propriété est la surface de révolution engendrée par cet arc de cercle tournant autour de sa corde. Mais cette surface de révolution n'est sphérique que si l'angle donné est droit. ”

“ C'est pourquoi, lorsqu'on veut résoudre un problème de géométrie, on commence toujours par tracer avec soin, mais arbitrairement, l'espèce de figure dont il s'agit de trouver une construction rigoureuse. ”

“ De là résulte cette construction d'une tangente parallèle à une droite donnée : on trace une corde parallèle à la droite donnée; on en construit ensuite le diamètre, et l'on mène des parallèles à la corde par chacune des extrémités de ce diamètre.
Ces parallèles sont les tangentes demandées.
Remarque. On dit que deux diamètres de l'ellipse sont conjugués, lorsque chacun d'eux divise en parties égales les cordes parallèles à l'autre. — Deux diamètres conjugués d'un cercle sont perpendiculaires l'un à l'autre.
THÈORÈME II.
Tout diamètre de l'ellipse a son conjugué. ”

“ Je remarque d'abord que la droite SD (fig. 256) qui fait des angles égaux avec les faces ASB, BSC, CSA du tétraèdre est l'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres de l'angle trièdre S. En effet, si j'abaisse du point D les perpendiculaires DE, DF et DG sur les faces de cet angle trièdre, et que je tire les droites SE, SF, SG, les triangles rectangles SDE, SDF, SDG sont égaux parce qu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal chacun à chacun. ”

“ Comme le segment capable de l'angle D peut être décrit sur un côté quelconque du triangle ABC, et qu'il en est de même du segment capable de l'angle E, il est possible de circonscrire au ■ triangle ABC six triangles DEF, semblables au triangle D'ET', et tels que chacun d'entre eux soit maximum parmi tous les triangles semblables qui ont deux angles inscrits dans les mêmes segments. C'est le plus grand de ces six triangles qui résoud véritablement la question proposée. Or, la droite DE égale le double de la distance des centres G et H des deux segments, puisqu'elle est parallèle à GH ”

“ Comme l'angle AMB qui a son sommet plus près du point 1 que celui de l'angle APB est plus grand que APB, il est évident que si le point P parcourt la droite indéfinie CD, l'angle APB, d'abord nul, croît jusqu'à l'angle maximum AIB; puis il décroît et
devient nul lorsque son sommet se trouve au point E. Au delà, il croît de nouveau et passe par un second maximum AKB pour décroître ensuite jusqu'à zéro. -' Si la droite AB est parallèle à CD, le point E et l'un des deux points 1 et R sont à l'infini; de sorte que l'angle APB n'a plus qu'un maximum. ”

“ Lorsque le nombre e est égal à l'unité, le lieu cherché est une parabole; si ce nombre est plus grand que l'unité, ce lieu est une hyperbole (voir la définition de cette courbe dans les Eléments de géométrie, 26e problème de la première leçon des courbes usuelles) . L'hyperbole jouit de propriétés analogues à celles de l'ellipse, par rapport aux tangentes, aux foyers, aux directrices et aux diamètres. ”

“ La droite cherchée est l'intersection EF de deux plans dont l'un passe par le point P et la droite AB, et l'autre par le même point P et la droite CD. Le problème proposé n'est possible que si la droite EF rencontre à la fois les lignes AB et CD. Remarque. Ce problème peut être résolu d'une autre manière : je mène un plan par le point P et la droite AB; je détermine ensuite l'intersection F de ce plan et de la droite CD, et je joins cette intersection au point P par une ligne droite qui résoud la question. ”

“ PROBLÈME XI.
Soient les deux cercles A et B (fig. 144) que je suppose extérieurs ou intérieurs l'un à l'autre, sans être tangents ; je construis leur axe radical qui rencontre la droite AB au point C, et je mène de ce point les tangentes CD, CE aux cercles A et B,
Je décris ensuite du point C comme centre, avec le rayon CD, une circonférence qui coupe la droite AB aux points demandés 0 et 0'. ”

“ La ligne droite et la circonférence sont les seuls lieux géométriques qu'on emploie pour résoudre les problèmes de la géométrie élémentaire. Aussi, la solution d'un problème graphique consiste généralement dans la détermination des lignes droites et des circonférences qu'il faut décrire pour trouver les points inconnus de la figure qu'on veut construire. ”

“ Lorsqu'un diamètre est perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales, on lui donne le nom d'axe.
THÉORÈME I.
Tout diamètre d'une ellipse est une ligne droite, passant par le centre de cette courbe.
Soient C le centre de l'ellipse AAI (fig. 204) , et DE l'une des cordes parallèles à la direction donnée; j'abaisse des extrémités de cette corde les perpendiculaires DP, EQ sur le grand axe AA' de l'ellipse; ces lignes, prolongées, rencontrent aux points DI et E' la circonférence décrite sur AA' comme diamètre. ”

“ En faisant les angles AOB, AOC de l'autre côté de la droite OA, on trouve un second triangle Abc satisfaisant à la question. Lorsque le sommet A est sur la plus petite des trois circonférences données, on peut mettre le sommet B sur la plus grande et le sommet C sur la moyenne; ce qui donne deux autres solutions. En plaçant ensuite chacun des sommets B et G successivement sur la plus petite circonférence, on a huit nouvelles solutions, qui font, avec les quatre précédentes, douze manières de résoudre le problème proposé, en se servant du point 01. ”

“ Par conséquent le point de la droite CE, d'où l'on voit la distance AB sous l'angle maximum, se trouve sur MN : soit 1 la position de ce point. La circonférence déterminée par les trois points A, B et 1 doit être tangente à la droite CD ; car, si elle la coupait en un autre point F, il résulte du raisonnement précédent que l'on verrait la distance AB d'un point quelconque de la corde III sous un angle plus grand qu'au point 1; ce qui est contraire à l'hypothèse. ”

“ Je suppose maintenant que le point M partant du point C parcoure l'arc CC ; la droite MQ croît d'une manière continue depuis CP qui est son minimum, jusqu'à la moitié de AB, maximum qu'elle atteint lorsque le point M est au milieu de l'arc CC', c'est-à-dire lorsque les diamètres conjugués AM, BM sont égaux. Cette droite décroît ensuite et repasse parles mêmes étals de grandeur. De là, je conclus que l'angle aigu CRP,
ou 0, commence par être droit et qu'il décroît jusqu'à un minimum correspondant aux diamètres conj ugués égaux. ”

“ Il résulte de cette analyse que, pour résoudre le problème, il faut : 4° élever sur AB une perpendiculaire égale à la hauteur du triangle, et mener par l'extrémité de cette droite la parallèle CC' à AB; 2° déterminer sur la droite AB les points E et F, dont les distances aux points A et B sont dans le rapport donné, et décrire une circonférence sur EF comme diamètre. ”

“ Soient a, b, c les trois côtés du triangle donné, et a < b < c.
L'angle opposé au côté a est aigu ; si l'on désigne par x la projection du côté b sur c, on a a1=b- + c2—2 c. œ, on eu déduit : 2 c. x=6* + cs—a5,
Soit h la perpendiculaire tracée de l'extrémité de b sur c ; on a : hl=bl-x"= (b +x) (b-x) ;
On peut donner à cette expression de la hauteur h une forme plus simple, en y introduisant le périmètre du triangle. En effet, soit a+b+c=2p; an en déduit: éH-6 — c=2 (p—c) , a-\- c—b=<2{p—b) , 6 + c—a=2 (p —a) ”

“ Le centré inconnu C se trouve sur une droite parallèle à AB, ei. menée à une distance de cette ligne, égale au rayon donné CD; il se trouve aussi sur une circonférence décrite du point 0 comme centre, avec un rayon OC égal à la somme ou à la différence des deux rayons donnés, selon que le cercle cherché doit être à l'extérieur ou à l'intérieur du cercle 0. Ce problème est susceptible d'une discussion très-simple, dans laquelle on considère successivement la droite AB comme extérieure an cercle 0, puis tangente, et enfin sécante. ”

“ Cette conséquence étant indépendante de la position du point 1 où la droite DE touche l'arc BC qui tourne sa convexité vers le sommet de l'angle BAC, j'en conclus ce théorème : Un cercle OB étant inscrit dans un angle BAC, si l'on mène une tangente quelconque DE à l'arc BC dont la convexité est tournée vers le sommet de l'angle, cette droite fait avec tes côtés de l'angle un triangle ADE de périmètre constant. ”