“ Théorème. Lorsque plusieurs angles sont égaux, l'arc opposé à l'angle au centre égale une quelconque des valeurs suivantes : 1° La moitié de l'arc de l'angle inscrit; 2° La moitié de la somme des arcs opposés à l'angle dont le sommet est entre le centre et la circonférence; 3° La moitié de la différence des arcs compris entre les côtés de l'angle, dont le sommet est hors de la circonférence, et réciproquement. ”

“ La seule difficulté est de mener une tangente qui soit divisée en deux parties égales par le point de contact. On sait néanmoins mener la tangente dans un assez grand nombre de cas (nos 310 à 319) ; dans les autres circonstances, lorsque la règle et le compas ne suffisent plus pour résoudre géométriquement le problème de la tangente, la méthode algébrique cesse d'être élémentaire, et il en est de même de l'emploi de la Trigonométrie. ”

“ De tous les triangles qui ont même base et dont le point d'intersection des hauteurs se trouve sur une droite donnée parallèle à la base, quel est celui dont l'angle au sommet est minimum ?
Les hauteurs abaissées des sommets A et C se coupent sous un angle égal au supplément de l'angle B; donc l'angle au sommet est minimum quand l'angle des hauteurs est maximum ; on obtient donc aussi un triangle isocèle. ”

“ Il en résulte que la variation de la somme algébrique des sections faites dans ces corps par un plan perpendiculaire à l'axe, dépend du corps de révolution qui est la somme algébrique de tous les volumes engendrés par la rotation des lignes données.
1° SI le corps de révolution se compose d'un ellipsoïde et de l'hyperboloïde à deux nappes complémentaire, il y aura une section maxima à égale distance des sommets de l'ellipsoïde. ”

“ Théorème. On donne une droite XY, une circonférence et deux points A et B sur celle courbe; on joint chaque point M de la circonférence aux points A et B, l'on détermine ainsi des points C, D sur la droite; prouver qu'il existe sur XY deux points fixes 1, J, tels que le produit CI. DJ soit constant. (Concours de 1876, Mathématiques élémentaires. )
On ne peut être conduit à la détermination des points 1 et J, qu'en présupposant l'existence d'une certaine symétrie dans les éléments de la figure. ”

“ Les deux valeurs de x correspondent aux abscisses AG, AH des deux points d'intersection; la demi-somme de ces lignes est l'abscisse AP du point milieu de la corde ; de même que CP est la demi-somme des ordonnées BH et DG. Or, on sait que la somme des racines égale le coefficient de x, pris en signe contraire ; donc l'abscisse AP du point milieu est toujours réelle, même lorsque les racines sont imaginaires, c'est-à-dire lorsque la sécante ne rencontre pas la circonférence. Il en est de même de l'ordonnée; dans ce cas, on dit que les points de rencontre sont imaginaires. ”

“ Toute droite perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon est tangente à la circonférence, et, réciproquement, toute droite tangente à la circonférence est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact. ”

“ Circonscrivons au triangle DEF un triangle égal à ABC.
Sur DE décrivons un segment capable de l'angle B; sur DF, un segment capable de l'angle A; par le point D menons une sécante ab égale à AB (n° 139) .
Les triangles abc, ABC sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux; donc la figure de droite est semblable à celle qu'on demande. Prenons Ad = aD, etc., et def sera le triangle demandé.
Remarque. Dans bien des cas, on se borne à traiter le problème contraire; car de ce dernier on passe facilement à la question proposée. ”

“ Le cercle circonscrit à un triangle, et les cercles circonscrits aux trois triangles formés par un côté quelconque du premier et le point de concours de ses hauteurs, sont égaux entre eux.
En effet, le cercle ABC peut être considéré comme étant le cercle circonscrit au triangle BA'C; or ce triangle égale le triangle BDC, qui donne lieu à un des trois autres cercles; donc tous les cercles sont égaux.
(f) Le produit des segments de l'un quelconque des côtés est égal au produit de la hauteur correspondante par la distance de ce même côté au point de concours des hauteurs. ”

“ Le point milieu de la base est équidistant des deux côtés égaux.
Les perpendiculaires élevées sur la base, en des points équidistants du milieu de cette base, et limitées aux côtés, sont égales entre elles; la droite qui joint leurs extrémités est parallèle à la base, etc.
La Méthode par duplication (n° 145) ou par retournement est la méthode naturelle pour étudier les propriétés du triangle isocèle ; elle conduit à des démonstrations très simples ; néanmoins il est d'usage de recourir aux divers cas d'égalité des triangles. ”

“ On peut placer une conique quelconque sur un cône de révolution (n° 2212) . Par le sommet du cône et par chaque côté des deux quadrilatères, ainsi que par les diagonales, on mène des plans. Le quadrilatère circonscrit donne une pyramide quadrangulaire circonscrite.
En coupant le cône par un plan perpendiculaire à l'axe, on obtient un cercle inscrit et circonscrit à deux quadrilatères ; or, les diagonales de ces deux quadrilatères passent par un même point; il en est donc de même dans la section conique (n° 1274) . ”

“ J.-C.) s'occupe particulièrement de la géométrie de la mesure; il opère la quadrature de la parabole, étudie les spirales, donne l'expression des volumes des segments des ellipsoïdes et des hyperboloïdes, la proposition de la sphère et du cylindre circonscrit, le rapport de la circonférence au diamètre; il lègue aux générations suivantes non seulement un grand nombre de théorèmes nouveaux, mais la méthode d'exhaustion qu'il avait si bien employée. Apollonius (vers 247 av. J.-C.) traite de la Géométrie de l'ordre, de la forme et de la situation des figures. ”

“ Mener un plan tangent à trois sphères A, B, C.
En diminuant le rayon de chacune d'elles d'une longueur égale au rayon de la plus petite, on retomberait sur le problème précédent; mais il est plus simple de procéder comme il suit : D'après le théorème de d'Alembert (n° 176) , les six centres de similitude sont trois à trois en ligne droite et donnent lieu à quatre droites. Par chacune de ces droites il faudra mener un plan tangent à une sphère, et ce plan sera tangent aux trois sphères données. ”

“ L'homologie est un mode de transformation de figures qui permet, par exemple, de remplacer une ellipse ou une hyperbole par un cercle dont la première courbe pourrait être regardée comme la perspective. ”

“ En considérant la tangente mobile comme trouvée, on voit qu'elle est déterminée lorsqu'on connaît sa distance au sommet A; donc, pour construire directement le n° (2) , du sommet A, avec h pour rayon, décrivons un arc et menons une tangente commune BC à cet arc et au cercle inscrit.
3e Solution. Pour le 1er énoncé, à la tangente fixe DX, menons une parallèle HL à la distance h, et du point 0, avec la longueur connue AO , décrivons un arc qui fera connaître la position du sommet de l'angle mobile.
La considération de la hauteur h permet de résoudre directement chaque énoncé. ”

“ La distance d'un point quelconque d'une demi-circonférence au point de contact d'une tangente fixe, est moyenne proportionnelle entre le diamètre du cercle et la distance du point considéré à la tangente fixe. ”

“ Pour un couple donné de génératrices opposées d'un cône droit ayant une courbe à centre pour périmètre de base, la somme des inverses de ces génératrices est constante pour tout plan mené par un point fixe pris sur la hauteur; mais la constante varie suivant le couple considéré.
Dans tout cône droit ayant une courbe à centre pour périmètre de la base, la hauteur est bissectrice d'un couple quelconque de génératrices opposées. ”

“ Si dans un triangle on joint le sommet à un point quelconque de la base, le carré de cette droite, multiplié par la base, égale la somme des carrés des autres côtés, chacun d'eux étant multiplié par le segment opposé de la base, moins le produit obtenu en multipliant la base par chacun de ses deux segments. ”

“ La surface d'un triangle est moyenne proportionnelle entre celle du triangle ayant pour sommets les centres des cercles ex-inscrits, et celle du triangle ayant pour sommets les points de contact du cercle inscrit au premier avec ses côtés. ”

“ Dans un triangle isocèle, la somme des distances d'un point quelconque de la base aux deux autres côtés est constante, et la différence des distances d'un point pris sur le prolongement de la base est aussi constante. ”

“ Note sur l'involution. Le théorème de Desargues est fondamental dans la théorie de l'involution.
Fig. 770.
qui a lieu entre huit quantités peut se transformer en relations à six termes et donner : AB' BM' MA' = A'B B'M M'A * (2) On dit que six points, situés en ligne droite, sont en involution, lorsque le produit de trois segments rectilignes, n'ayant pas d'extrémité commune, égale le produit des trois autres segments.
L'involution est une méthode très féconde, surtout pour l'étude des coniques.
DESARGUES a établi le théorème fondamental ”

“ Droite mobile. La droite qui engendre la courbe enveloppe est assujettie à se mouvoir suivant une certaine loi ; en d'autres termes, chaque tangente jouit d'une même propriété, et l'ensemble de ces lignes constitue une famille de droites, analogue au lieu géométrique formé par l'ensemble des points qui jouissent d'une même propriété. ”

“ Chaque cas de construction de triangle peut en donner un pour le parallélogramme; mais comme il est très facile de passer des uns aux autres, nous ne dirons presque rien du parallélogramme.
Le trapèze offre quelques questions intéressantes, surtout quand on connaît le troisième livre de Géométrie. On peut en dire autant du quadrilatère inscriptible et du quadrilatère quelconque. ”

“ Lorsqu'un triangle curviligne ayant une base donnée est tel que la somme des angles à la base, diminuée de l'angle au sommet, est une quantité constante, le lieu de ce sommet est un arc de cercle qui passe par les extrémités de la base. ”

“ Dans un triangle isocèle, on mène les médianes qui correspondent aux côtés égaux, puis une parallèle quelconque à la base; prouver que le segment compris entre un des côtés et une des médianes égale le segment compris entre la seconde médiane et le second côté. ”

“ A mesure que grandit le nombre de côtés du polygone régulier de surface constante, la forme de ce polygone tend vers le cercle; ainsi le rayon et l'apothème tendent à se confondre en une valeur unique. ”

“ Théorème. Si la hauteur d'un cylindre égale le diamètre, le volume égale la surface totale multipliée par le 1,3 dit rayon.
Considérons une sphère inscrite à ce cylindre.
Ce cylindre peut se décomposer en deux parties : 1° Deux cônes ayant pour sommet commun le centre de la sphère, et pour bases les bases du cylindre; la hauteur est le rayon de la sphère inscrite, lequel est aussi le rayon du cylindre; 2° Une infinité de petits cônes latéraux ayant pour sommet commun le centre de la sphère inscrite, et pour somme des bases la surface latérale même du cylindre ”

“ La surface courbe sera de révolution, et ordinairement ce sera une zone sphérique.
Soit OC l'axe de la zone de révolution, AOY un plan perpendiculaire à cet axe. Pour inscrire dans la zone ou dans le segment un parallélépipède maximum, il suffit de considérer le quart de la zone, en menant par l'axe oz deux plans rectangulaires, car pour une même hauteur du parallélépipède le solide maximum a pour base un carré (n° 355) . De plus le quart ainsi obtenu est symétrique par rapport au plan bissecteur COL; par suite le triangle ABC est toujours isocèle, quand il s'agit d'une surface de révolution. ”

“ Un solide est composé de deux cônes égaux ayant une base commune; couper ce solide par un plan parallèle aux génératrices SB et AT, de manière que la section soit maxima.
Fig. 1379.
La section se compose de deux segments paraboliques.
Si CH et MN sont les lignes principales de la section, on reconnaîtra comme précédemment que le segment parabolique MGN varie comme le triangle MAN, et que le segment MHN varie comme le triangle MBN; donc la section varie comme le quadrilatère AMBN; donc le maximum a lieu quand la section passe par le centre () , car le carré ACBD est le quadrilatère maximum. ”

“ Dans un triangle équilatéral, les trois hauteurs sont égales, ainsi que les trois bissectrices et les trois médianes; il en est de même des perpendiculaires élevées sur les milieux des trois côtés; ces quatre systèmes de droites se confondent en un seul.
Exercice 34
476. Théorème. Un triangle est isocèle lorsqu'il a deux hauteurs égales; il en est de même lorsque deux des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés opposés sont égales. ”

“ Soient EH, FJ les bissectrices des angles E, F formés par les côtés opposés du quadrilatère donné ABCD. il faut prouver que la figure IGJH est un losange. Pour cela, il suffit de démontrer que les diagonales GH, IJ sont à angle droit et se coupent respectivement en leur milieu. On sait déjà que les bissectrices sont à angle droit (n° 554) ; mais pour démontrer directement le théorème proposé ( n° 675) il suffit de prouver que
le triangle FGH est isocèle. ”

“ Deux carrés égaux sont situés dans deux plans parallèles, leurs centres sont sur une même perpendiculaire à leur plan, et les diagonales de l'un sont perpendiculaires aux céiés de l'autre. Par le côté d'un carré et le sommet correspondant du carré opposé, on mène un plan, de manière à limiter latéralement le solide par huit triangles égaux. On demande d'évaluer le volume compris entre les deux carrés et les huit faces latérales: on sait que le côté des
carrés et la hauteur du solide sont respectivement représentés par a et par h. ”

“ Étant donné un cône droit d'une hauteur de 8 décimètres , coupé par un plan parallèle à sa base à une distance du sommet égale à 3 décimètres, on inscrit dans le tronc de cône qui en résulte un tronc de pyramide à base hexagonale. Sachant que le rayon
de la petite base du cône est égal à 1 décimètre, on demande de calculer le volume du tronc de pyramide inscrit et son poids, en supposant qu'il soit formé d'une matière sept fois plus dense que l'eau ? ”

“ Lorsqu'un triangle CAD a un angle A, donné de grandeur et de position, et que la somme AC + AD des côtés qui comprennent cet angle est constante, la circonférence inscrite au triangle passe par un point fixe. ”

“ Dans un cercle, mener une corde parallèle à une tangente donnée, de manière que le rectangle inscrit qui aurait cette corde pour côté, et le côté opposé sur la tangente, ait un périmètre donné.
Le périmètre du rectangle est double de la somme de la base et de la hauteur du triangle isocèle qui aurait la corde pour base et le point de contact pour sommet.
Exercice 492
1506. Problème. On donne une circonférence et une droite; mener une corde telle que le carré qui aurait cette ligne pour un de ses côtés, ait le côté opposé sur la droite donnée. ”

“ Soient BH le diamètre de la sphère donnée, et AB une droite indéfinie servant d'axe à un cône circonscrit.
Supposons le sommet A mobile sur AB. Si le sommet A s'élève indéfiniment, le cône tend vers un cylindre de même diamètre que la sphère, avec une hauteur qui tend vers l'infini : ainsi la surface totale de ce cône tend aussi vers l'infini.
Si le sommet A se rapproche indéfiniment du point H, la hauteur BA tend vers BH, le rayon BC tend vers l'infini, et la surface totale tend aussi vers l'infini. ”