Cercle circonscrit

“ Fig. 7.
1° Pour le point O, centre du cercle circonscrit, l'aire de IHJ égale ABC = s 4 4 chacun des côtés de ce triangle étant la moitié des côtés de l'autre.
2° Quand la distance OM croît de zéro à R = OA = OB = OC, la surface diminue de — à zéro; ainsi, le cercle circonscrit est le lieu des points M qui 4 donnent une aire nulle. En effet, d'après le théorème de Simson, il n'y a plus de triangle, mais seulement une ligne droite.
3° Quand OM croît indéfiniment à partir de R, la surface part de zéro et augmente indéfiniment. ”

“ Figure circonscrite à un cercle ; figure qu’on a décrite autour d’un cercle, & qui le touche par tous ses côtés. Circumscriptus. Cercle circonscrit à un polygone, c’est-à-dire dont la circonférence passe par tous les sommets des angles du polygone.
CIRCONSPECT, ECTE. adj. Qui agit avec circonspection, qui garde beaucoup de mesures, tant dans ses actions que sans ses paroles. Circumspectus, consideratus. Les manières lentes & circonspectes des gens prudens impatientent les esprits vif. Le Pays. L’honnête homme est modeste & circonspect : il remarque les défauts d’autrui, & n’en parle jamais. ”

“ Espace circonscrit & limité, lequel borne & environne un espace plus petit ou un corps. Circumscriptio. C’est une des propriété inséparables des corps, d’être bornés à un certain lieu, & de n’occuper qu’un certain espace déterminé. Cependant Osiander D. Luthérien, a soûtenu que la circonscription n’étoit pas de l’essence des corps.
☞ Circonscription, en Géométrie, est l’action de circonscrire un cercle à un polygone ou un polygone à un cercle ou à toute autre figure courbe. Voyez Circonscrire. ”

“ Circonscrire à un cercle donné un polygone de m côtés, de manière que les sommets des angles du polygone soient situés sur m droites indéfinies, données de position par rapport à ce cercle ?
Solution. Par une propriété du cercle qui lui est commune avec toutes les courbes du second degré [2] ; lorsqu’un angle circonscrit à un cercle est assujetti à avoir son sommet sur une droite donnée, la corde qui joint les points de contact de ses côtés avec le cercle, se trouve par la même assujettie à passer par un certain point qui est aussi donné [3] . ”

“ I. Un cercle étant donné et un point étant donné arbitrairement sur son plan et dans son intérieur, il y a toujours une longueur, et une seule longueur, laquelle étant prise pour rayon d’un nouveau cercle ayant pour centre le point donné, il arrivera qu’un même triangle pourra être à la fois inscrit au premier des deux cercles, et circonscrit au second. ”

“ Ainsi le lieu du sommet S est une circonférence décrite du centre 0 avec \ja- -) - b' 1 pour rayon.
2094 a. Note. Le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à une coniqpe a été nommé cercle orthoptique ou cercle de Monge. Pour l'ellipse, le rayon égale v'a 2 + b2 , le centre est le centre même de la conique. Pour l'hyperbole, le rayon égale \/a 3 — bs ; suivant le cas, le cercle est réel, se réduit à un point, ou est imaginaire. Pour la parabole, le lieu du sommet de l'angle droit circonscrit est la directrice (n° 2134) (Interm., 1905, p. 198) .
Théorème 881. ”

“ Cette transformation a donné d'intéressants résultats dans la Géométrie du triangle. Ainsi toute droite se transforme en une conique qui passe par les sommets du triangle ; suivant que la droite ne rencontre pas, est tangente, ou sécante par rapport au cercle circonscrit, la transformée est une ellipse, une parabole ou une hyperbole (n° 1242 p) ; niais le cercle donne une cubique, dont l'étude échappe aux Eléments de Géométrie. (Voir llevue de mathématiques spéciales de VUIIIKUT 1890, P. 11)
Pour l'historique do {'inversion isogonale, voir ci-après, n° 2306. ”

“ Lorsque je définis la circonférence, une ligne dont tous les points sont à égale distance d’un point intérieur appelé centre, comme j’ai défini auparavant le point par l’absence d’étendue et qu’il ne peut rien exister sans étendue, je sais très bien que ma définition ne correspond à rien de réel ; je sais très bien qu’il n’y a pas dans la nature et que l’art ne peut pas produire de cercles parfaits ; or, un cercle qui n’est pas parfait n’est pas un cercle.
En mathématiques, ma définition n’essaie pas de dire ce qui est, elle crée son objet. ”

“ Le triangle A est inscrit dans le cercle BCDE, & le quarré F G H I est circonscrit autour du même cercle B. C DE; ainsi toute figure, dont les angles touchent la cironférence d'un cercle, est dite inscrite, & toute figure dont les côtés touchent à la circonférence d'un cercle est dite circonscrite.
DES CORPS OU SOLIDES.
Les solides font des figures qui ont la longueur, la largeur & la profondeur.
Le solide est une produâion de la surface, comme la surface est une produaion de la ligne , ainsi que la ligne est une production du point. Le point se mouvant produit une ligne ”

“ Lieu du centre des cercles qui passent par un point fixe, et qui sont tangents à une droite donnée ou à une circonférence donnée.
Ce n'est qu'un cas particulier du lieu précédent : un cercle est réduit à son centre. D'ailleurs, suivant que le point donné est intérieur ou extérieur au cercle donné, on a une ellipse ou une hyperbole. ”

“ Soit AB la ligne droite, C, D les points par lesquels doit passer l'arc du cercle ; il faut, des points C, D'comme centre et avec une ouverture de compas arbitraire, décrire des ares de cercle se coupant en EF, joindre ces points par une droite prolongée jusqu'à la rencontre de la ligne AB au point G, qui sera le centre de l'arc de cercle demandé.
Du Cercle.
On nomme cercle, la surface renfermée par la circonférence ABCD, fig 13; on donne quelquefois le nom de cercle à la circonférence même. ”

“ On appelle aussi souvent cercle la portion de plan limitée par la courbe qu'on vient de définir, et cette dernière courbe, pour éviter toute ambiguïté, est alors appelée circonférence de cercle. L'habitude vicieuse de dire circonférence tout court tend à prévaloir. ”

“ Un cercle est une surface plane dont le contour, appelé circonférence, a tous ses points également éloignés d'un point unique appelé centre.
Toutes les lignes droites menées du centre à la circonférence , mesurant des distances égales, sont égales entr'elles. On appelle rayons ces lignes droites. Donc les rayons d'un cercle sont tous égaux entr'eux.
Quand deux rayons sont directement opposés, l'un à droite, l'autre à gauche dû centre , la ligne droite unique qu'ils forment, est ce qu'on appelle un diamètre du cercle. ”

“ Et une ligne qui passe par le centre de la figure, & la partage en deux parties égales se nomme diamètre. A proprement parler le cercle est tout l’espace renfermé dans cette ligne, ou circonférence, quoique dans l’usage vulgaire on entende par ce mot la circonférence seule.
Un corps qui décrit un cercle, reçoit par-tout une égale impression de la force centrale. Acad. des Sc. 1700, Hist. p. 75, 76.
Le cercle est la plus parfaite des figures, & qui a le plus de capacité. Tout cercle se divise en 360 parties qu’on appelle degrés. Tracer un cercle, décrire un cercle. ”

“ Soient en effet le segment et une autre surface équivalente construite aussi sur et soient respectivement et les longueurs des deux lignes qui, avec terminent ces surfaces. Soit achevée la circonférence dont fait partie ; soient l’arc et le segment supplémentaires ; on aura, par l’hypothèse ; si donc on pouvait avoic on aurait aussi d’où il résulterait cette conséquence absurde que le cercle n’est point la surface du moindre contour, parmi toutes celles de même étendue. ”

“ On peut, sur une surface plane, tracer mécaniquement et d'un mouvement continu, certaines courbes.
Tracer ou décrire un cercle sans compas. - On décrit une circonférence de cercle sans compas, en plaçant un crayon à l'extrémité d'une règle que l'on appuie d'un côté au point donné et qu'on fait glisser circulairementsur le papier : lecrayon, maintenu immobile, à sou extrémité tracera une circonférence de cercle.
Un jardinier se propose de tracer un cercle sur le terrain. Que fuit-il pour y parvenir? ”

“ L'un est le cercle de la sixième heure inégale ou de midi, l'auteur le nomme circulus meridionalis ou meridiei; il donne les sinus droits (cordæ rectse) des ares dont l'origine est à l'extrémité de l'autre rayon ou côté du quadrant. Le second demi-cercle est appelé circu las zénith; il donne les sinus verses (cordæ versœ) des mêmes arcs. ”

“ Comme l’on conçoit que tous les cieux se meuvent tous les Jours d’orient en occident, & qu’ils achèvent leur tour en vingt-quatre heures, l’on imagine en même temps que tous les points de leur superficie, hors deux, décrivent des cercles qui sont parallèles les uns aux autres, & à qui l’on a donné le nom de cercles diurnes. Ces cercles sont tous inégaux, & le plus grand de tous est le cercle équinoctial. ”

“ Lorsqu'une circonférence est circonscrite à un triangle, le produit des distances d'un point du cercle à deux côtés du triangle égale le produit des dislances du même point au troisième côté et à la tangente menée par le sommet opposé. ”

“ Le cercle est un plan terminé par une seule ligne appellée circonférence, dont le point B se nomme centre.
La ligne A F se nomme diametre, A B, demi-diametre, B E, corde, DE F, arc ou portion du cercle, DB E, secteur du cercle, idem A B C, l'un grand, l'autre petit, A B, rayon ou demi-diametre, toutes les fois qu'ils tendent au centre. ”

“ Tout cercle concret, dessiné ou fabriqué au tour, est plein de l’élément contraire au cinquième : il confine, en effet, dans toutes ses parties avec la ligne droite, — mais le cercle en soi, disons-nous, ne contient ni peu ni prou de la nature opposée à la sienne. ”

“ La longueur de la circonférence d'un cercle est la limite du périmètre d'un polygone convexe inscrit dans le cercle, dont le nombre de côtés croît indéfiniment, tandis que chacun d'eux décroît indéfiniment. ”

“ Théorème 408. — II.
1321. On donne deux circonférences qui ont pour centres respectifs A et B et qui se coupent suivant
une corde commune CD ; du point O milieu de AB pris pour centre, on décrit un cercle qui passe par C et D ; prouver que la somme des puissances de chaque point de ce cercle, par rapport aux cercles donnés, est nulle.
Soient OA = OB m ; OC — n ; d et b les rayons donnés.
l'our le point G, la somme des puissances est nulle, car la puissance est nulle pour chaque cercle. ”

“ Donc le lieu du point M est une circonférence dont le centre N est sur OAB.
Le lieu de M1 est la circonférence dont N' est le centre et N'M' le rayon.
L'ensemble des deux circonférences, ayant pour centres respectifs N et N', constitue le lieu complet.
85. Lieu composé. Le lieu géométrique demandé peut être formé par plusieurs lignes d'espèces différentes : par exemple, d'une droite et d'un cercle, ou bien d'un cercle et d'une hyperbole. Dans ce cas, l'étude en est plus difficile, car on est exposé à omettre quelque partie du lieu. ”

“ On n’a pas défini ce qu’est le cercle quand on a défini ce que sont le diamètre, le centre, les rayons, les arcs, les sinus et cosinus, en un mot toutes les parties et les élémens du cercle. Même après ces définitions limitées, et quoique l’idée du cercle soit impliquée dans toutes, le cercle est encore à définir. Oublier cette dernière définition, plus compréhensive que toutes les autres, c’est ne faire les choses qu’à moitié. Il en est de même pour la philosophie et les sciences. Les notions que les sciences nous procurent ne sont que partielles ”

“ La demi-circonférence de cercle est, pour ainsi dire, la seule directrice employée pour les pleins-cintres. Pour les voûtes surbaissées, on a recours à l'arc de cercle, à la demi-ellipse prise sur le grand axe, ou à l'anse de panier, courbe de forme ovale, qui résulte de la réunion de plusieurs arcs de cercle, dont les centres, les rayons et les
amplitudes sont déterminés par la condition qu'elle ne présente ni jarrets, ni changements brusques de courbure, et qu'elle produise un effet satisfaisant. ”

“ Qu'on décrive deux circonférences dont l'une passe par les trois points A, A', S, et l'autre par les trois C, C', S; elles se coupent en un point O qui est le point cherché. > En effet, les angles AOA' et COC' sont égaux, parce que chacun d'eux est égal à l'angle CSC'. Donc si on fait tourner le cercle C'autour du point O de manière que OA'vienne se placer sur OA, OC' viendra sur OC. Mais alors le rayon C'A' se trouvera parallèle au rayon CA, parce que les angles OCS, OC'S sont égaux, comme compris l'un et l'autre dans le même segment de cercle. ”

“ Par le centre A menons la droite AC égale à l et parallèle à XY ; puis, du point C comme centre, décrivons une circonférence égale au cercle A.
Fig. 120.
En d'autres termes : transportons la circonférence A en C, de manière que AC égale l et soit parallèle à XY.
Les points d'intersection M, M' donnent les solutions, puisque les figures ANMÇ et AN'M'C sont des parallélogrammes.
Remarques. La circonférence A peut être remplacée par un polygone quelconque; alors le déplacement pourra être effectué en n'employant que la règle et le compas. ”