Michel Chasles

“ Le Porisme est une proposition dans laquelle on énonce une vérité, en affirmant qu'on peut toujours trouver certaines choses qui la complètent.
II.
On ne peut manquer de remarquer que cette forme de théorèmes non complets tend à devenir le caractère le plus général des propositions dans beaucoup de parties des Mathématiques actuelles; qu'il y a donc à cet égard une analogie incontestable, qu'on était loin de soupçonner, entre les Porismes d'Euclide et la plupart de nos propositions
modernes. ”

“ Eutocius détermine le centre et le rayon du cercle ; puis il prouve, d'abord que chaque point de la circonférence satisfait à l'énoncé de la proposition, et ensuite que, pour les points qui ne sont pas sur la circonférence, la relation n'a pas lieu.
On remarquera que l'énoncé d'Eutocius et celui de Pappus, sans être précisément dans les mêmes termes, sont néanmoins les mêmes au fond. Dans l'un et dans l'autre la
nature du lieu est connue ou donnée, et la chose à trouver est seulement la position de ce lieu (ici la position implique nécessairement la grandeur) . ”

“ Pour la première espèce, la démonstration est absolument la même que pour le cas général (Porisme IV) ; car l'équation à six segments sur laquelle repose la démonstration, subsiste entre les six mêmes segments, quand la transversale qui coupe le quadrilatère passe par un point de concours, soit de deux côtés opposés, soit des deux diagonales. Aussi voyons-nous que Pappus a compris ce cas particulier dans son Lemme IV, en le représentant par une des huit figures auxquelles la démonstration s'applique. ”

“ Cela signifie qu'un point variable a pour lieu géométrique une droite dont la position est déterminée en vertu de l'hypothèse ou des données de la question.
On peut croire que cet énoncé comprend toutes les propositions de lieux qui se trouvaient dans les trois livres d'Euclide ; car ces lieux ne pouvaient être qu'à la droite et au cercle; et l'on ne trouve pas dans les huit genres spéciaux au IIIe livre ni dans aucun de ceux qui les précèdent, un seul énoncé qui exprime un lieu au cercle, tel
que le lieu à la droite ci-dessus. ”

“ Ainsi, l'on y lit que telle droite est connue de grandeur et de position; que tel point (variable) est sur un cercle connu de grandeur et de position ; que le rapport de telle droite (variable) à telle autre, ou de tel rectangle (variable) à tel carré, est un rapport connu, etc. ; propositions qui manifestement sont ou des données comme celles d'Euclide, ou des lieux comme ceux d'Apollonius, ou des Porismes comme ceux d'Euclide d'après le sens que nous avons attribué à la Notice de Pappus, conformément au sentiment de Simson (1) . ”

“ Dans ce cas le théorème prend cet énoncé : Si l'on a un polygone d'un nombre quelconque de côtés, et qu'on le déforme enfaisant tourner tous ses côtés autour d'autant de points fixes pris arbitrairement en ligne droite, et en faisant glisser tous ses sommets moins un sur autant de droites données de position, le dernier sommet décrit lui-même une droite déterminée de position; et en outre, le point d'intersection de deux côtés quelconques du polygone décrit aussi une ligne droite. ”

“ Pappus, après avoir donné la définition des Porismes des Anciens, en fait connaître une seconde introduite plus tard.
Il dit que des géomètres modernes, nonobstant la définition ancienne et les propositions mêmes, donnèrent des Porismes, d'après une circonstance particulière, cette définition : Ce qui constitue le Porisme est ce qui manque à l'hypothèse d'un théorème local ; en d'autres termes : le Porisme est inférieur, par l'hypothèse, au théorème local. ”

“ Car si les Anciens ne regardaient pas un point situé à l'infini, comme un cas particulier d'un point considéré d'abord à distance finie, ainsi que nous l'avons dit précédemment, on conçoit qu'à plus forte raison ils n'ont point dû regarder l'infini comme une droite, ni même comme donnant lieu à des propriétés analogues aux propriétés des droites. ”

“ Les Lemmes I, II, IV, V, VI et VII (propositions 127,.
128, 130, 131, 132 et 133 du VIIe Livres des Collections mathématiques de Pappus) , qui ont pour objet le quadrilatère coupé par une transversale, contiennent chacun une relation entre les segments que les quatre côtés et les deux diagonales du quadrilatère forment sur cette transversale considérée dans des positions différentes.
Dans le Lemme IV (proposition 130) , la transversale
a une position quelconque, et la relation démontrée par
Pappus est une des équations à six segments par lesquelles on exprime l'involution de six points. ”

“ IV. Une droite étant donnée de position, et un cercle étant donné de grandeur et de position, il existe un point tel, que toute droite menée par ce point rencontre la droite et le cercle en deux points dont le produit des distances ait point en question sera donné. ”

“ Le Porisme a pour objet de démontrer qu'on peut trouver une ou plusieurs choses telles, qu'une certaine relation déterminée ait lieu entre ces choses et une infinité d'autres assujetties à une loi donnée. ”

“ Qu'on décrive deux circonférences dont l'une passe par les trois points A, A', S, et l'autre par les trois C, C', S; elles se coupent en un point O qui est le point cherché. > En effet, les angles AOA' et COC' sont égaux, parce que chacun d'eux est égal à l'angle CSC'. Donc si on fait tourner le cercle C'autour du point O de manière que OA'vienne se placer sur OA, OC' viendra sur OC. Mais alors le rayon C'A' se trouvera parallèle au rayon CA, parce que les angles OCS, OC'S sont égaux, comme compris l'un et l'autre dans le même segment de cercle. ”

“ C'est-à-dire que dans beaucoup de questions différentes on arrive à une même conclusion, par exemple, que le lieu d'un certain point est une ligne droite déterminée de position, que certaine droite passe toujours par un point déterminé de position; qu'un certain rectangle dont les côtés sont variables, a une surface donnée de grandeur ; etc. C'est ainsi que l'a entendu R. Simson. « (Multa sunt Porismata quæ diversas hypotheses habent, sed quæ omnia concludunt punctum aliquod tangere rectam positione datam ; val rectam aliquam vergere ad punctum datum, etc. » (R. Simson, p. 349.) ”

“ Considérant le quadrilatère Saa'S', on conclut du Porisme ce théorème : Quand un quadrilatère est circonscrit à un cercle, les cordes qui joignent les points de contact des côtés opposés passent par le point de rencontre des deux diagonales. ”

“ Quant aux lieux, Euclide n'a traité, dans ses trois livres de Porismes, que de la droite et du cercle, ainsi que le dit Pappus, et comme le prouvent ses 38 Lemmes qui ne
se rapportent qu'à des figures rectilignes et au cercle. Et quant à ceux des Porismes qui ne concernent pas des propositions locales proprement dites, on voit par plusieurs énoncés de Pappus, dont il suffit de citer celui-ci, du Ier Livre : « Telle droite passe par un point donné » et les trois derniers du IIIe Livre, qu'il y en avait, même de très-variés, dans l'ouvrage d'Euclide. ”

“ Pappus le démontre dans son VIIIe Livre (I) ; il s'en sert pour la démonstration du 1er Lemme sur les Porismes ; et, de plus, dans le cours de celle du IVe Lemme, il établit la réciproque, en faisant voir que si trois points pris sur les côtés d'un triangle satisfont à la relation de segments qui constitue le théorème en question, ces trois points sont en ligne droite (2) .
Il y a lieu de penser qu'Euclide lui-même faisait usage du théorème, et que c'est par cette raison que Pappus ne fait pas difficulté de l'employer dans ses Lemmes sans le démontrer. ”

“ Remarque. Ce Porisme est un cas particulier d'une proposition des Lieux plans d'Apollonius, rapportée par Pappus, en ces termes : Plusieurs droites étant données, si d'un point on abaisse sur ces droites des obliques sous des angles donnés, et que le rectangle d'une oblique et d'une (ligne) donnée, plus le rectangle d'une autre oblique et d'une donnée, fasse une somme égale au rectangle d'une autre oblique et d'une donnée" et semblablement pour les rectangles des obliques restantes: le point sera sur une droite donnée de position. ”

“ Pour que la proposition fût un théorème proprement dit, comme ceux que l'on trouve dans les Eléments d'Euclide, dans les Coniques d'Apollonius et dans les ouvrages d'Archimède, il faudrait faire connaître dans l'énoncé même la valeur de ce rapport constant et dire qu'il est égal au rapport des distances des deux points à l'une des extrémités du diamètre sur lequel ces points sont situés (I) .
Dans un cercle, l'angle sous lequel on voit, du centre, la partie de chaque tangente comprise entre deux tan- gentes fixes, est constant. ”

“ Nous sommes donc amené à conclure que les Lieux sont des Porismes, lors même que nous ne saurions pas que Pappus le dit formellement.
Origine des Porismes. — Il y a encore sur un autre point une identité parfaite entre les Porismes et les Lieux : nous voulons parler de l'origine même des uns et des autres. En effet, ce que nous avons dit précédemment de l'origine des Lieux s'applique de soi-même aux Porismes. Un Porisme est la conséquence d'un théorème ou de la solution dun problème, qui elle-même constitue un théorème. ”

“ PORISME CLXXXIX. — Si autour de deux points P, Q
d'un cercle, on fait tourner deux droites qui se coupent en M sur la circonférence, et rencontrent une droite fixe LA en m et m'; le point A étant donné, ainsi qu'une ligne ∝ : on pourra trouver
deux autres points, A' et J' sur LA, tels, que le rapport des rectangles A m. J' m' et A'm'. ∝ sera constant.
Qu'on mène PA qui coupe le cercle en a; Qa. détermine le point demandé A'. Soient Pj, Qi parallèles à LA; les droites Qj, Pi coupent LA en J' et I. J' est le deuxième point demandé ”

“ Proposition XXI. Lorsque deux cercles connus sont tangents et que l'un des deux est dans l'intérieur de l'autre, si l'on mène du point de tangence le diamètre com- mun aux deux cercles, et que par le point où ce diamètre coupe le petit on mène une droite qui coupe le petit cercle en un second point, cette droite (terminée au grand cercle) sera divisée, en ce points en deux parties telles, que le produit de ces deux parties plus un carré (connu) sera au carré de la partie comprise dans le petit cercle, dans un rapport connu. ”

“ Il s'agit d'une droite qui n'est pas considérée comme lieu d'un point, et qui satisfait à certaines conditions concernant des choses variables. Par exemple, ce sera une droite sur laquelle Certains angles intercepteront des segments égaux, ou une droite avec laquelle coïncideront les diagonales de certaines figures, etc. ”

“ Il revient plus loin sur la même idée en ajoutant que les Porismes tiennent, en quelque sorte, le milieu entre les problèmes et les théorèmes ; qu'en effet il ne s'agit pas, dans ces propositions, de choses que l'on ait à construire ou à considérer théoriquement, mais de choses qu'il faut prendre et montrer aux yeux ; c'est-à-dire dont il faut déterminer la manière d'être, telle que la position ou la grandeur. ”

“ Cette forme de nos propositions, que nous pouvons dite non complètes, eu égard aux théorèmes des Anciens, et qui se trouvent ainsi débarrassées de déterminations parfois compliquées et sans utilité, nous paraît être un progrès réel : car la science y trouve un degré de simplicité et d'abstraction qui facilite le raisonnement et la combinaison des vérités mathématiques entre elles. ”

“ En d'autres termes, la forme d'énoncé qui caractérise le Porisme n'est pas la conséquence immédiate ni nécessaire de la discussion d'un problème.
Il semble donc que la manière de concevoir l'origine du Porisme proposée par Playfair n'est pas fondée.
Assurément Euclide n'a pas eu besoin de résoudre des problèmes pour former ses 171 Porismes; il lui a suffi de prendre des théorèmes et d'en changer la forme. Ce qu'il a fait dans une vue tout autre que celle d'exprimer les con- ditions qui rendent un problème indéterminé. ”