Tangente

“ Il est aisé de voir que, lorsque deux cercles se touchent ou se coupent, leur axe radical n’est autre chose que leur tangente ou leur corde commune. Nous verrons bientôt comment on peut facilement déterminer cette droite dans les autres cas.
20. THÉORÈME. Les tangentes menées à deux cercles de tous les points et des seuls points de leur axe radical, terminées à leurs points de contact, sont égales entre elles. ”

“ Toute droite tracée sur le plan tangent, par le point de contact, est tangente à la surface sphérique et à toutes les circonférences qui contiennent ce point, car elle n'a que ce même point de commun avec ces courbes, comme avec la surface. ”

“ Par et soient menées des parallèles respectives à et concourant en en menant cette droite (Théor. 6) coupera au point cherché
Ce lemme, qui n’exige pas l’intervention du compas, n’admet, comme l’on voit, qu’une solution.
LEMME 9. Étant donnés trois points du périmètre d’une parabole avec la tangente par l’un d’entre eux ; mener, par l’un quelconque des deux autres, une nouvelle tangente à la courbe ?
Solution. Soient (fig. 13) les trois points donnés ; soit la tangente par le premier ; et proposons-nous de mener une nouvelle tangente par le dernier. ”

“ Or si l'on fait tourner le plan tangent T'V'X' autour de sa trace verticale O'K la tangente XX' vient s'appliquer sur sa projection X' et le point de tangence W, sommet de l'angle cherché, se rabat en V", à une distance de O'K, égale à la longueur V"K de la partie de la tangente XX' qui est comprise entre le point de tangence VV', et le plan de section droite P sur lequel a lieu le rabattement. ”

“ Pour les surfaces de révolution, tout parallèle, passant par un point donné est une section circulaire, dont là tangente, jointe à la tangente au méridien du même point, détermine le plan tangent.
10. Quant au plan tangent aux surfaces gauches, en général on substitue à ces surfaces d'autres surfaces gauches plus simples, qui donnent en chaque point deux génératrices rectilignes appartenant à deux systèmes différents; chaque génératrice étant sa propre tangente, par conséquent leur plan est le plan tangent demandé. ”

“ Tangente. Pour construire la tangente au point u de la projection horizontale de la courbe, on construira d'abord la droite I-v, tangente à la base du cône et passant par le pied de la génératrice s-1. La droite 1—v, trace horizontale du plan tangent, rencontrera la trace horizontale v'v du plan coupant en un point v et la droite vu, intersection de ces deux plans sera la tangente demandée. La projection verticale de la tangente se confond ici avec la trace verticale v'p du plan coupant. ”

“ De la tangente à l'ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués.
211. TANGENTE MENÉE PAR UN POINT PRIS SUR LA COURBE ET SOUS-TANGENTE. — On reconnaît facilement que les méthodes établies précédemment pour obtenir l'équation de la tangente à une courbe (fig. 107) sont tout à fait indépendantes de l'inclinaison des axes. ”

“ Nous venons de voir de quelle manière les sections planes obliques sont liées entre elles et à la section normale, lorsque les plans coupant passent par une même tangente. Examinons présentement la relation qui existe entre les diverses sections normales.
Nous pouvons, dans cette nouvelle recherche, admettre une simplification de plus : nous pouvons supposer qu’on a pris pour plan des le plan tangent lui-même, en prenant son point de contact pour origine ”

“ Tangente et normale. — Sous-tangente et sous-normale.
Elles fournissent des moyens de mener la tangente en un point de la courbe.
La tangente fait des angles égaux avec l'axe et avec le rayon vecteur mené au point de contact. — Mener, au moyen de cette propriété, une tangente à la parabole : 1° par un point situé sur la courbe ; 2° par un point extérieur, Diamètres. — Les cordes qu'un diamètre divise en deux
parties égales sont parallèles à la tangente menée à l'exemité de ce diamètre. ”

“ C’est cette moitié du vrai que M. Newton a prise pour le vrai entier ; & voici ce qui peut avoir occasionné cette méprise. Le véritable se trouve par le moyen de la tangente considérée comme sécante dans la courbe rigoureuse ”

“ N. B. — Comme du point K il est toujours possible de mener deux tangentes KD, KD', il s'ensuit que l'on a deux points M et M' qui satisfont à la question. Ainsi, le problème admet, en général, deux solutions.
Ce résultat s'accorde avec celui de la première méthode employée pour résoudre le problème, puisque l'on est parvenu à une équation du second degré.
22. Remarque. — La construction de la tangente DK, qui a conduit d'une manière si simple à la résolution du problème, est une de ces idées qui s'offrent rarement à l'esprit de ceux qui n'ont pas déjà une grande habitude. ”

“ Les tangentes artificielles sont les logarithmes des tangentes des arcs. Voyez Logarithme.
La ligne des tangentes est une ligne que l’on met ordinairement sur le compas de proportion. Voyez-en la description & l’usage à l’article Compas de proportion. ”

“ Tangente a = f.
(a est l'angle du plan incliné avec l'horizon; la tangente exprime le rapport de la hauteur du plan incliné avec sa base.)
2° Le corps monte sur un plan incliné s'il est sollicité par une force verticale (P) . ”

“ Conséquemment, tout déplacement d'une figure dans son plan n'est autre qu'une rotation autour d'un point qui reste fixe.
Méthode des tangentes. — Si l'on suppose le déplacement infiniment petit, il en résulte une méthode pour mener les normales, et conséquemment les tangentes, aux points d'une courbe, quand on peut considérer celle-ci comme décrite par quelque point d'une figure en mouvement, ce. dont il existe beaucoup d'exemples. ”

“ Voyez aussi sa Géométrie descriptive, page 130. ↑ Comme on peut varier, à l’infini, la direction de la droite , il s’ensuit qu’au moyen de la solution de ce problème, on peut déterminer tant de points qu’on voudra de la trace de la surface gauche sur le plan et construire, pour chacun de ces points, la tangente à cette trace. ”

“ Le problème aura deux solutions au plus.
PROBLÈME II. Étant données quatre tangentes à une parabole, déterminer tant d’autres tangentes à cette courbe et tant de points de son périmètre qu’on voudra ?
Solution. Par le Lemme 12, on trouvera tant d’autres tangentes à la courbe qu’on voudra ; et, par le Lemme 8, on déterminera le point de contact de chacune d’elles.
Le problème n’aura qu’une solution, et pourra se résoudre avec la règle et l’équerre à angle quelconque seulement, sans l’intervention du compas. ”

“ Du foyer à la tangente tirez la perpendiculaire , la vîtesse du corps sera réciproquement en raison sousdoublée de Fig 26 la quantité ; car cette vîtesse est comme le petit arc décrit dans une particule de temps donnée, c’est-à-dire, par le Lemme 7. comme la tangente , ou ce qui revient au même, (à cause que ) comme , c’est-à-dire, comme réciproquement & directement ; or est comme l’aire décrite en un temps donné, c’est-à-dire par la Prop. 14. en raison sousdoublée du parametre. C.Q.F.D.
Cor. ”

“ Théorème. Le produit des distances des foyers à une tangente quelconque est constant.
Les points M et M', projections des foyers, sont sur le cercle principal (G., n° 626) ; prolongeons M'F'. Puisque OF = OF', et que les lignes FM et F'M' sont parallèles, on a MF = NF' Or NF'. F'M'= A'F'.F'A Donc FM. F'M' = A'F'. F'A = = (a — c) (a + c) = a2 - c2 ou FM. F'M'= 62
Fig. 1280.
Remarque. La somme des distances de chaque foyer d'une ellipse à une tangente quelconque peut varier de 2b à 2b. Elle égale 2b lorsque la tangente est parallèle au grand axe ”

“ PORISME CCVIII. — De chaque point M d'une tan-
gente à un cercle, on mène une seconde tangente et une droite passant par un point donné P; cette tangente et cette droite rencontrent une autre tangente HG en deux points m, m' : on peut trou- ver deux points I, J'sur HG,
et un espace ~, tels, que le rectangle Im. J' m' sera toujours égal à En effet, concevons les points M, A, B, C de la droite EF. Les tangentes menées par ces points rencontrent la tangente HG, en m, a, b, c, et les droites menées des mêmes points au point P rencontrent cette même tangente en m', a', b', c'. ”

“ On voit par là que deux tangentes conjuguées quelconques passent dans les quatre angles formés par les tangentes principales, ou dans deux seulement, suivant que et sont de mêmes signes ou de signes contraires. ”

“ Fin; sur la mise au net, le titre : Sur la méthode des tangentes, par Fermat. Il a déjà été publié par M. Charles Henry (Recherches, pp. 183-184) d'après le brouillon d'Arbogast (Bibl. Nat. fr. n. a. 3280, f° 137) , lequel n'a d'ailleurs eu entre les mains qu'une copie de Mersenne en partie indéchiffrable.
(2) Probablement la pièce insérée Tome I, pages 136- 139. Voir Lettre XXV bis, 4.
ligne courbe est convexe ou concave, si la tangente est parallèle à l'axe ou diamètre, et de quel côté elle fait son concours lorsqu'elle n'est pas parallèle ”

“ Au reste je me suis diverti souvent à des pensées abstraites de métaphysique ou de géométrie. J’ai découvert une nouvelle méthode des tangentes, que j’ai fait imprimer dans le journal de Leipzig. Vous savez, Monsieur, que MM. Hulde et depuis Slusius ont porté la chose assez loin. Mais il manquait deux choses : l’une que, lorsque l’inconnue ou l’indéterminée est embarrassée dans des fractions et irrationnelles, il faut l’en tirer pour user de leurs méthodes, ce qui fait monter le calcul à une hauteur ou prolixité tout à fait incommode et souvent intractable ”

“ TANGENTE NORMALE. , Page 67 Cercle principal. - Cercle directeur. 70 ASYMPTOTES. 71 Hyperboles conj uguées. - Hyperbole équilatère. 72 Tracé des tangentes. 73 Tracé des normales. , 75 AIRE D'UNE PORTION D'HYPERBOLE. — HYPERBOLOïDE. — VOLUME D'UNE PORTION D'HYPERbOLOï;,E. 75 ApPLICA TI':INS. 76 Cheminees. 76 Miroirs hyperboliques.,.,. 79 Réverbères. - Caissons. 80 CHAPITRE III. - PARABOLE 82 Définition. - Trace continu. .,. 82 Tracé par points. 83 NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. 84 Axe. — Sommet. — PARAMÈTRE. 85 TANGENTE. — NORMALE. 86 Sous-tangente. - Sous-normale. ”

“ II. Deux surfaces du second ordre existant ensemble dans l’espace, on demande, 1.o la nature et la situation du lieu géométrique des pôles des tangentes à l’une d’elles, déterminés par rapport à l’autre ”

“ Géométrie pure. De l'osculation des surfaces. De la courbure des surfaces, et de celle de leurs sections. Théorie des tangentes conjuguées. — 2e Mémoire. Géométrie analytique spécialement consacrée à la théorie des tangentes conjuguées. — 3e Mémoire. Géométrie analytique. Suite de la théorie des tangentes conjuguées. De l'indicatrice. ”

“ N° H. NOTE sur les changements des plans de projection. 78 N° 2. NOTE sur la démonstration de la propriété dont jouit le plan tangent, savoir : que le plan tangent en un point d'une surface, quel que soit le mode de génération de cette surface, contient les tangentes à toutes les courbes qui, tracées sur la surface, se croisent au poinlûecontacl. 74
Pages. ”

“ On peut se représenter une droite par l’imagination, et on peut la concevoir aussi par la raison. On peut considérer son image ou sa définition. On peut l’étudier en elle-même ou dans les élémens générateurs. Je puis me représenter une droite toute faite, mais je puis aussi la résoudre en ses facteurs. Je puis assister à sa formation, et dégager les élémens abstraits qui l’engendrent, comme j’ai assisté à la formation du cylindre et dégagé le rectangle en révolution qui l’a engendré. ”

“ Or l’expérience nous apprend que, dans un pareil mouvement circulaire, les corps les plus denses se portent au centre, les plus légers à la circonférence, ce qui concorde avec ce fait que la terre où nous sommes et l’eau qui l’entoure nous apparaissent comme au centre, dans la partie qui échappe à l’infatigable tour-billon, tandis que les feux célestes brillent au delà de l’air que nous respirons. ”

“ Dès lors vous avez l’idée de l’espace infini, puisque vous avez l’idée d’une étendue abstraite et purement possible, c’est-à-dire de l’espace, et que vous avez découvert en elle la loi génératrice de l’infinitude, et dans cette loi l’impossibilité de la limitation. Comptez vos pas. Vous avez employé l’expérience des sens ou de la conscience pour former l’idée d’un objet réel étendu. Vous avez employé l’abstraction pour isoler cette étendue et la considérer pure. ”

“ Même retentissement de la sensation sur l’être profond, même énergique réaction, qui, pour la rendre, suscite le signe le plus juste et le plus dense, l’image la plus chargée de sens émouvant et précis ”

“ Quittez ces abstractions, faites un premier pas vers la nature, la grandeur se détermine vous rencontrez l’étendue et bientôt le mouvement. L’étendue, dans ses déterminations et ses lois universelles, voilà l’objet de la géométrie ; le mouvement, considéré d’une manière abstraite, voilà l’objet de la mécanique rationnelle. ”

“ Que vous soyez de mon avis ou que nous couchions sur nos positions au sujet de la conscience épiphénomène, du moins aurai-je fait mon possible pour mettre en évidence le point qui reste litigieux ; et j’accepterai de dire avec vous que « la nature est en vous », pourvu que cette manière de parler représente seulement l’équivalent poétique de ma formule symbolique de tout à l’heure. ”

“ Tous les personnages sont à leur action et bien dans leur esprit et dans leur pose ; la partie sacrée, noble, pathétique ; la partie officielle, populaire, active ; chacune dans leur expression et leur beauté. Le mouvement, la clarté des groupes, l'harmonie, la lumière qui vient frapper sur la croix qu'on élève et qui éclaire le groupe de l'auto-
rité, laissant dans l'ombre le groupe de douleur, tout cela est superbe dans cette esquisse. ”

“ Si l’on vous plongeait un couteau dans le cœur, pendant que je suis tout près de vous, je ne le sentirais pas ; ce qui se sent en vous, se sent en vous seul ; je puis seulement sentir, à votre sujet, ce qui se passe en moi sous l’influence du rayonnement de ce qui se passe en vous ; que votre rayonnement soit phonétique, visuel ou même télépathique, je ne sentirai jamais que ce qui se passe en moi ; je connaîtrai, dans le langage particulier de ma conscience, une partie des phénomènes compris dans la formule symbolique : (Le Dantec1 B1) , avec un B1 dans lequel il y a Tannery1 ”