Plan incliné

“ Trouver l'intersection d'un plan et d'une ligne droite, 20 Problème. Connaissant les communes sections d'un plan avec chacun des plans coordonnés, construire ce plan, c'esi-à-dire, trouver pour chaque point du plan horizontal, la hauteur de celui qui lui correspond dans le plan incliné, 21 On détermine l'angle que font ces deux plans, n Remarques. Construction d'un plan incliné, lorsqu'on connaît l'angle qu'il fait avec le plan horizontal, et son intersection avec ce dernier, ibid.
Problème. Mener par un point donne, un plan parallèle à un plan domié, - -23
Théorème. ”

“ Lorsque l'angle est négatif, cela veut dire, au contraire, que ce plan est incliné en haut et en avant, puisqu'il a fallu, pour le rendre horizontal, abaisser la tête et diriger les axes orbitaires vers le sol. ”

“ Fig. 4.
de la surface de l'eau n'est incliné d'aucun côté sur la verticale, c'est un plan horizontal; une ligne droite appliquée sur un pareil plan s'appelle une horizontale. Plongez la planchette en partie dans l'eau (fig. 4) ; quand l'agitation produite a cessé, la ligne AB qui sépare la partie immergée de la partie restante est une
ligne droite horizontale. Cette ligne s'appelle la ligne d'intersection du plan de la planchette et du plan de la surface de
l'eau. ”

“ Si l'axe de la surface de révolution est vertical, tous les parallèles se projettent horizontalement en véritable grandeur, et le plan méridien parallèle au plan vertical se projettera aussi verticalement en véritable grandeur. ”

“ Mais comment détermine-t-on la place des points de concours en général; comment apprécier à vue leur position dans le dessin d'après nature ?
Il suffit d'imaginer par l'œil une droite parallèle géométrale à la ligne ou aux lignes dont on cherche le point de concours. Cette droite qui n'est autre chose qu'un rayon visuel ira rencontrer le tableau ou son prolongement au point cherché sur la ligne d'horizon.
Qu'entend-on par parallèle géométrale? C'est une ligne réelle ou imaginaire qui, étant située dans un même plan qu'une autre droite, conserve constamment avec elle la même distance. ”

“ Solution. Soient (fig. 2.) la section du plan vertical avec le corps ; cette section dans la position d’équilibre ; position où l’axe , qui est alors , est supposé vertical ; deux axes rectangulaires, pris dans le plan de la section , tels que représente la projection du plan horizontal ; le centre de gravité du corps ; le point de contact de la section avec le plan horizontal. Soient de plus deux axes rectangulaires, auxquels nous rapportons l’équation de la section ; la masse du corps, la gravité, à la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan horizontal, dans sa position d’équilibre ”

“ Lorsque deux angles droits à son pied l'on repaire:
Et si par elle était un nouveau plan conduit,
Droit serait l'angle plan que l'on aurait produit.
Par-là nous découvrons les moyens nécessaires
Pour faire que les plans soient perpendiculaires.
Quant aux angles divers, par leur concours formés,
C'est sur la section qu'ils seront estimés.
Lorsqu'un tiers plan survient sur deux plans parallèles,
Il fait deux sections parallèles entre elles;
Et l'on retrouve ici les angles différens
Que l'on démontre égaux par les correspondans. SOLIDES.
Les plans incessamment sont liés aux solides. ”

“ Dans tonte construction les plans doivent être regardes comme indéfinis, et une droite peut rencontrer le plan horizontal derrière le plan vertical, ou le plan vertical au-dessous du plan horizontal, page il Problème. ”

“ Supposez une face plane et de niveau , un plancher, par exemple, au-dessous de ce corps tombant; n'est-il pas vrai que toutes les parallèles engendrées par les différens points du corps, viendront percer la face ou le plan chacune en un point ? Hé bien ! l'ensemble de tous ces points est ce qu'on nomme la projection horizontale du corps, et les parallèles qui unissent ces points à ceux du corps remis dans sa première position, sont appelées lignes projetantes. ”

“ Le plan des montagnes étant vertical devient une échelle toujours dressée où l’œil rapporte et compare les objets qu’il embrasse ; et ces objets accusent tour à tour leur petitesse sur cette énorme mesure. ”

“ On appelle ainsi toute surface engendrée par le mouvement d'une droite qui, sans cesser d'être parallèle à un plan donné, glisse à la fois le long d'une droite fixe de position dans l'espace et appelée PREMIÈRE DIRECTRICE, puis le long d'une courbe aussi donnée, et appelée SECONDE DIRECTRICE.
Pour faire concevoir une semblable génération, supposons que l'on ait mené dans l'espace une infinité de plans parallèles au plan donné ; chacun d'eux coupe la droite fixe en un point, et la courbe en un ou plusieurs points. ”

“ Sous ce nouveau rapport, la perpendicularité de ces deux plans détermine au contraire l'absence d'action, soit attractive, soit répulsive: il y a attraction tant que l'angle est aigu, et elle augmente à mesure qu'il diminue, son maximum ayant lieu au moment de la coïncidence; quand l'angle est obtus, l'action devient répulsive et présente une intensité d'autant plus grande que chaque plan s'approche davantage du prolongement de l'autre, situation qui produit le maximum de répulsion. ”

“ De tout ce qui précède nous pouvons conclure qu'un plan est toujours déterminé par une droite et par un point, tandis que ses traces ne sont pas suffisantes dans un cas particulier, celui où il passe par la ligne de terre. ”

“ Et par consequent ces Rectangles termineront tous les uns dessus, et les autres dessous le Plan de la Figure, à un Plan qui passera, par la Ligne , et qui fera avec le Plan de la Figure même un Angle de 45 Degrez. ”

“ Au lieu de demander que les angles coniques au sommet soient équivalens à un angle polyèdre donné ; on pourrait demander que l’angle plan formé par le développement de chaque surface conique, fût égal à un angle plan donné ? ”

“ A mesure que l'on approche de J'équa teur, le plan de l'horizon prend sur l'axe de la terre une position de plus en plus oblique, et la verticale, au lieu de tourner sur ellemême comme au pôle, décrit un cône de plus en plus ouvert; il en résulte un ralentissement dans le mouvement apparent du plan. d'oscillation, mouvement qui s'annule à l'équateur pour changer de sens dans l'autre hémisphère. ”

“ Mais à toutesles raisons que j'ai données, je crois devoir en ajouter une qui me paraît décisive : c'est que la droite, que certaines personnes désignent par le nom de ligne de terre, n'indique jamais dans les épures la surface du terrain, mais la trace du plan vertical de projection. ”

“ Dans le cas linéaire, les géomètres ont supposé que le mouvement s’exécute tout entier dans une direction perpendiculaire au plan de la lame en repos : j’admis la même chose par rapport aux surfaces planes. Guidée ensuite par l’analogie seule, je crus pouvoir supposer que le mouvement des divers points d’une surface courbe s’exécute tout entier dans des directions perpendiculaires aux plans tangents à chacun des mêmes points, considérés sur la surface en repos. ”

“ Tout le monde comprend ce que l'on entend par des directions parallèles sur un plan ; mais quelles sont les conditions géométriques qui répondent sur une surface sphérique à la condition du parallélisme sur un plan? La simple proposition que nous avons énoncée tout à l'heure, en disant que les accidents s'alignent parallèlement à un grand cercle, exigerait des développements pour que le sens en fût bien fixé. Comment a-t-on pu établir et l'énoncé et la démonstration? Comment est-on ensuite arrivé à déterminer la direction, puis l'âge relatif des différents systèmes de fractures? ”

“ Pour faciliter la solution d'un grand nombre de questions de Géométrie descriptive, on peut faire un changement de plan vertical ou de plan horizontal de projections. Le nouveau plan auxiliaire employé est perpendiculaire au plan conservé; la nouvelle ligne de terre fait avec l'ancienne un angle égal à celui que fait le nouveau plan avec l'ancien de même nom. ”

“ Il résulte de là que si l'on veut considérer la ligne AB comme la base du tableau, la ligne X' Y' comme la ligne d'horizon, les points S, T et T', comme le point de vue et les deux points de distance, les opérations nécessaires pour mettre en perspective une figure quelconque tracée sur le
plan vertical BAS seront absolument les mêmes que pour mettre en perspective les figures tracées sur le plan horizontal ”

“ Nous dirons, en conséquence, qu’une droite tracée sur un plan le divise en deux parties égales, qu’un plan tracé dans l’espace le divise aussi en deux parties égales, que tout plan vaut quatre angles droits plans, et que l’espace vaut quatre angles droits dièdres ou huit angles droits trièdres. ”

“ De la ligne droite et dù plan.
i. Toute la science de la Perspective repose, comme on sait, sur le principe (*) , que les lignes parallèles représentées sur le tableau concourent en un point ; et ce point n'est autre chose que l'intersection avec le tableau d'une droite menée par
(*) Voyez les notes.
Vœil y parallèlement au sysèine des lignes représentées.
2. On peut généraliser le principe, et en tirer - des conséquences utiles pour la pratique : Tous les plans parallèles mis en perspective ont une ligne de concours. ”

“ En effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1, et un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée. ”

“ Le plan vertical, passant par la mire terrestre, dont nous avons fixé la position, le plan vertical qui coupe l’horizon suivant une droite partageant en deux parties égales l’angle formé par les deux lignes aboutissant aux points de lever et de coucher de chaque étoile ; le plan vertical contenant les points les plus élevés des courbes décrites par les étoiles australes, les points les plus hauts et les plus bas des courbes décrites par les étoiles boréales, s’appelle le plan méridien. ”

“ PROGRAMME. — Ligne droite et plan. — Ligne brisée. — Ligne courbe.
Lorsque deux droites partent d'un même point suivant des directions différentes, elles forment une figure qu'on appelle angle. -Génération des angles par la rotation d'une droite autour d'un de ses points.
Angles droit, aigu, obtus.—Par un point pris sur une droite, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite.
DÉFINITIONS.
1. On appelle corps une portion limitée de l'étendue.
Tout corps a trois dimensions : la longueur, la largeur et la profondeur ou la hauteur. ”

“ La surface cylindrique de révolution est engendrée par une droite parallèle à l'axe de rotation.
THÉORÈlME I.
Le lieu des tangentes, menées par un point A d'une surface aux différentes courbes tracées par ce point sur la surface, est un plan. ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”

“ La situation d’un plan quelconque peut être représentée par le grand cercle de la sphère, dont le plan lui est parallèle.
3. L’angle entre deux plans est égal à l’angle sphérique compris entre les deux grands cercles qui les représentent, et, par conséquent, a pour mesure l’arc intercepté entre les pôles de ces grands cercles. Par suite, l’inclinaison d’une droite sur un plan a pour mesure l’arc mené normalement du point qui répond à la direction de la droite, au grand cercle qui représente la situation du plan. ”

“ Il suffira de maintenir à vue d'œil le plan de chaque cerce perpendiculaire à la surface de la sphère que l'on voudra tailler, et de faire passer la courbe génératrice par les points de repères déterminés sur les courbes directrices par les plans qui contiennent l'axe commun des deux cônes. ”

“ Réciproquement, tout plan passant par une droite de la surface sera un plan tangent, car il coupera la surface suivant une courbe se composant de deux droites, dont le point de rencontre sera le point de contact du plan. ”

“ En effet, l’intersection du niveau de la mer ancien et du niveau de la mer nouveau ­ deux surfaces de révolution égales dont les axes se rencontrent ­ se composera de deux courbes planes, dont les deux plans passeront par une perpendiculaire au plan des deux axes polaires, et respectivement par les deux bissectrices de l’angle des deux axes polaires. (Texte même relevé sur le carnet du calculateur.) ”

“ On appelle plan ou surface plane, une surface telle, que si on prend deux de ses points à volonté, et qu'on les joigne par une ligne droite, cette ligne droite est comprise tout entière dans le plan.
On trace les lignes droites avec la règle et le crayon. Je ne m'arrêterai pas à décrire ce procédé si simple. Une bonne règle est un instrument délicat qui doit être confectionné avec soin, sans
quoi le crayon trace des lignes plus ou moins cour-bes au lieu de lignes droites. ”

“ Usage des rotations ou des changements de plan. — Amener un plan à être perpendiculaire au mur, c'est-à-dire à être défini par sa ligne de plus grande pente : 1° par changement de mur ; 2° par rotation autour d'un axe vertical. — Un plan est perpendiculaire au mur : l'amener, par rotation, à être parallèle au sol (c'est le problème du rabattement) . — Un plan est perpendiculaire au sol, le rabattre sur le mur. — Rabattement horizontal ou mise de niveau d'un plan quel conque, c'est-à-dire changement de mur suivi d'une rotation. ”

“ Plan coupant dans un solide. — A ce sujet, nous dirons pour fixer les idées plus exactement sur le sens du mot plan, que cette expression, en géométrie, veut dire une superficie plate terminée par une ou plusieurs lignes; ainsi l'étendue renfermée parla circonférence d'un cercle est un plan aussi bien que toute portion de mon papier figurant l'espace compris sous trois, quatre ou un nombre quelconque de lignes droites ou courbes. On appelle également plan une superficie mathématique, qu'on imagine couper les solides de la géométrie, comme le ferait une lame de couteau. ”