Hippolyte Véron Vernier

“ On nomme division sexagésimale, celle d'après laquelle on partage le cercle entier en 360°, le degré en 60', et la minute en 60".
On emploie aussi la division dite centésimale, d'après laquelle on divise le demi-cercle en 200 parties égales, appelées grades, de sorte qu'il y a 400 grades dans le cercle entier, et 100 grades dans le cadran. Dans cette division, le grade se partage en 100 minutes, et la minute en 100 secondes; ainsi
on peut toujours représenter par un nombre décimal la grandeur d'un angle quelconque. ”

“ On appelle équivalentes les figures qui ont même surface ; et puisqu'on peut sans changer la surface d'une figure en déplacer les parties de toutes les manières possibles, les figures les plus dissemblables pourront être équivalentes. Ainsi un triangle, un cercle, etc., peuvent être équivalens à un carré, et ou peut se proposer d'apprécier la grandeur d'une surface quelconque, en cherchant combien de fois elle contient une surface déterminée prise pour unité. ”

“ Le corps humain est composé de deux parties symétriques. Par exemple, les deux mains d'un homme ont là même structure, et pourtant si nous concevons que l'une d'elle pénètre dans l'espace occupé par l'autre, nous voyons que leur coïncidence est impossible. L'image d'un corps, réfléchie derrière une glace, est symétrique du corps qu'elle représente.
Pour former un polyèdre symétrique d'un polyèdre donné, la géométrie fournit cette règle bien simple. Abaissez de tous les sommets de ce polyèdre, sur un plan quelconque, des lignes perpendiculaires que vous prolongerez au-dessous de ce plan. ”

“ La surface d'un rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.
Quand on a évalué la base et la hauteur d'un rectangle avec une unité de mesure quelconque ; c'est-à-dire : quand on a cherché combien cette base et cette hauteur contiennent d'unités de longueur et de parties d'unité, si on multiplie entre eux les deux nombres ainsi obtenus, on aura la mesure du rectangle, c'est-à-dire le rapport de ce rectangle au carré qui a pour côté la mesure de longueur avec laquelle les côtés du rectangle ont été évalués. ”

“ La géométrie est la science des vérités qui ont rapport aux lignes, aux surfaces et aux volumes. La connaissance des propositions de la géométrie et des règles qu'elle fournit est utile aux hommes de toutes les classes et leur est souvent indispensable : à l'artisan, pour façonner les matières diverses ; au géographe et au marin, pour mesurer les distances et fixer là position des lieux; à l'architecte, pour construire les édifices ; à l'agriculteur, pour évaluer la surface des champs, etc. ”

“ On appelle plan ou surface plane, une surface telle, que si on prend deux de ses points à volonté, et qu'on les joigne par une ligne droite, cette ligne droite est comprise tout entière dans le plan.
On trace les lignes droites avec la règle et le crayon. Je ne m'arrêterai pas à décrire ce procédé si simple. Une bonne règle est un instrument délicat qui doit être confectionné avec soin, sans
quoi le crayon trace des lignes plus ou moins cour-bes au lieu de lignes droites. ”

“ Par un point situé hors d'une ligne droite, on ne peut pas mener plus de deux obliques égales; car, si on pouvait en mener plus de deux, il y aurait au moins deux de ces lignes qui seraient situées d'un même côté par rapport à la perpendiculaire qu'on peut abaisser du point sur la ligne, et qui par conséquent ne pourraient être égales sans se confondre. ”

“ Cependant il n'est pas toujours nécessaire d'évaluer dans un corps trois dimensions principales pour estimer son volume. Ainsi le volume d'une boule bien ronde ne dépend que de son épaisseur ; et de même, pour estimer celui d'une bûche bien droite et bien arrondie, il suffit de connaître son épaisseur et sa longueur. Toutefois, comme on peut toujours diviser par la pensée un corps de forme quelconque en morceaux qui aient distinctement longueur, largeur et épaisseur, on dit généralement que : tous les corps de la nature sont étendus en trois dimensions. ”

“ Or, on peut considérer la surface latérale du cône droit, dont BC (fig. 167) est le rayon de la base, et AB la hauteur, comme celle d'une pyramide régulière dont la base serait un polygone régulier d'un nombre infini de côtés ; et si on développe le cône sur un plan, à l'instar d'une pyramide régulière, le contour de sa base s'étendra en un arc de cercle PQ dont le rayon AP sera égal au côté AC du cône ; tandis que la surface du cône se développera en un secteur circulaire PAQ, ayant cet arc pour base. ”

“ Il y a un moyen facile de reconnaître si une régie est bien droite, sans faire usage d'une seconde règle ; car si, d'un point A (fig. 2) appartenant à une surface plane, jusqu'à un second point B, on trace deux fois de suite la même ligne droite AB, en plaçant la règle d'abord dans la position ACDB, ensuite dans la position APQB, les deux droites ainsi tracées doivent se recouvrir parfaitement et les deux traits n'en doivent faire qu'un, lorsque la règle est juste.
6.
Définition du cercle. Rayon, diamètre, corde et arc. ”

“ En effet, on démontre par les premiers principes de la mécanique, que : lorsque le fil à plomb aura cessé d'osciller, et se tiendra en équilibre, sa direction sera parallèle à celle de la force qui attire vers la terre toutes les parties matérielles de la masse pesante.
La direction du fil à plomb dans les différents lieux de la terre, se nomme verticale. On appelle plan horizontal tout plan mené perpendiculairement à une ligne verticale, et on nomme ligne horizontale toute ligne perpendiculaire à la verticale. ”

“ Tout plan qui passe par le centre coupe la sphère en deux parties égales , et l'intersection de ce plan et de la surface sphérique, c'est-à-dire la série des points qui sont à la fois sur ce plan et sur la surface sphérique, est un cercle appelé grand cercle, parce que son rayon
est égal à celui de la sphère. ”

“ La perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon est tangente au cercle.
On nomme tangente au cercle une droite qui n'a qu'un seul point commun avec la circonférence. Toute droite AB (fig. 32) , perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon CO, est une tangente au cercle ; car, si je prends sur AB un point quelconque I, différent du point C, et si je tire la ligne OI, cette ligne sera une oblique plus grande que le rayon perpendiculaire OC ; donc tout point de la droite AB différent du point C est extérieur au cercle ; donc AB est une tangente. ”

“ La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits.
La considération des lignes parallèles sert à établir une proposition remarquable commune à tous les triangles, et qui est d'un usage continuel dans la géométrie.
Si nous prolongeons le côté AC (fig. 23) du triangle ABC dans la direction CI, et si nous menons par le point C la ligne CD parallèle à AB, nous aurons l'angle DCI = BAC comme correspondans, et l'angle BCD = CBA comme alternes internes. Ainsi les trois angles formés autour du point C sont les trois angles du
triangle. ”

“ Si on veut la calculer à moins d'une fraction quelconque près, par exemple, si on demande la racine carrée de 8 à moins de 1/25 près, on peut appliquer la méthode du n° 14. On convertit 8 en une fraction dont le dénominateur soit le carré de 25, ou 625. Pour cela on multiplie 8 par 625, et 8 est remplacé par le nombre fractionnaire on prend la racine de 5000 à moins d'une unité près ; cette racine est 70,
et la racine carrée de 8 à moins de 1/28 près sera ou on 2 unités et g d'unité. ”

“ En effet, à mesure qu'on divise la circonférence en plus de parties égales, l'angle de deux cordes consécutives a pour mesure la moitié d'un plus grand arc. Donc l'angle d'un polygone régulier, qui a plus de six côtés, est plus grand que l'angle de l'hexagone régulier, ou que le tiers de quatre angles droits ; il faudrait donc assembler moins de trois carreaux autour du point A, s'ils avaient plus de six côtés ; or on ne peut pas en assembler moins de trois. ”

“ Pour construire une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites A et B, c'est-à-dire pour obtenir une droite X telle que l'on ait la proportion A : X : : X : B, tracez une droite AB (fig. 111) , égale à A, prolongez-la de la quantité BC égale à B, décrivez sur AC, comme diamètre, une demi-circonférence , et élevez au point B, sur AC, une perpendiculaire qui rencontrera la demi-circonférence au point S. La droite BS est la moyenne proportionnelle demandée; car si on tire les droites AS et SC, l'angle ASC inscrit dans une demi-circonférence est un angle droit ”

“ Les jeunes gens qui étudient avec zèle et intelligence se plaisent à en chercher la solution , et acquièrent ainsi l'habitude de faire usage des principes qui leur sont enseignés. Ces questions sont de deux sortes, suivant qu'il s'agit d'établir par le raisonnement une proposition qui ne se trouve pas démontrée dans les ouvrages élémentaires, ou d'indiquer une règle pour déterminer soit une ligne, soit une surface , soit un volume qui satisfasse à des conditions déterminées. ”

“ Chaque corps occupe une portion de l'espace plus ou moins grande, qu'on appelle son volume. La manière dont le volume est circonscrit constitue la figure du corps , et on nomme sa surface ce qui le termine de toutes parts. ”

“ On appelle angle solide polyèdr l' espace renfermé entre un nombre quelconque de plans, qui passent par un même point A (fig. 71) . Si on mène un plan qui coupe aux points B, C, D, E, F, les arêtes AP, AQ, AR, etc.,
de l'angle solide polyèdre dont le sommet est au point A, on aura une pyramide à base polygonale.
Généralement on nomme polyèdre un corps solide, terminé par des faces planes en nombre quelconque. Les points A, B, C, D, etc. (fig. 72) , où viennent concourir plusieurs plans, sont les sommets du polyèdre.
PARALLELIPIPÈDE RECTANGLE.
91. ”

“ Calcul du contour d'un carré inscrit dans le cercle.
Le polygone régulier de quatre côtés qu'on forme en joignant , par des cordes, les extrémités de deux diamètres AC et BD (fig. 44) qui se coupent à angle droit, est un carré, puisque ses quatre côtés sont égaux , et ses quatre angles étant inscrits dans le demi-cercle sont droits. Le triangle BAO étant rectangle en O, et de plus isoscèle, le carré de BA sera double de celui de AO, et on a AB 2 : AO 2 :: 2 : 1, on AB : AO :: V2 : 1 ; car lorsque quatre nombres sont en proportion, leurs racines carrés sont aussi en proportion. ”

“ Lorsque l'angle donné A est aigu, il faut que le côté qui doit lui être opposé soit plus grand que la perpendiculaire BS, abaissée du point B sur AI, pour que l'arc de cercle décrit du point B comme centre puisse couper la ligne AI. Si ce côté, étant plus grand que BS, se trouve en même temps plus petit que BA, l'arc de cercle décrit du point B comme centre coupera la ligne AI en un second point H, situé à droite du point A, et les deux triangles ABH et ABC satisferont aux conditions proposées. ”

“ Le rayon AB peut donc être inscrit 6 fois de suite dans la circonférence ; une première fois de A en B, une seconde de B en C, puis de C en D, de D en E, de E en F et de F en A ; et le polygone ABCDEF est l'hexagone 1 régulier inscrit, car les 6 côtés sont égaux ; et les 6 angles ayant pour mesure des moitiés d'arcs égaux (n° 51) sont aussi égaux. ”

“ Je me contenterai d'indiquer comment on partage le cercle en dix parties égalés. La démonstration repose sur des principes qu ne seront exposés que plus loin. Il faut mener un rayon quelconque, élever à son extrémité une perpendiculaire égale à la moitié du rayon, joindre au centre l'extrémité de cette perpendiculaire par une ligne droite, dont on retranchera ensuite la moitié du rayon. La ligne qui restera sera la corde d'un arc compris dix fois dans la circonférence. ”