Parallélépipède rectangle

“ Il en est de même pour le cône minimum circonscrit à un cylindre donné.
Exercice.
388. Problème. Inscrire dans une sphère le parallélépipède, de volume maximum.
Soient x, y., z les trois dimensions du parallélépipède, et d le diamètre de la sphère. Admettons que z ne varie point; la face xy est inscrite dans un cercle obtenu en coupant la sphère par un plan éloigné du centre de la longueur i. Mais, pour une hauteur constante, le solide est maximum lorsque la face xy est maxima; or le carré est le plus grand rectangle qu'on puisse inscrire dans un cercle; donc la face xy est carrée. ”

“ Le solide, dont la mesure présente le plus de facilité après le cube, est le parallélipipède rectangle droit. On entend en général par parallélipi" pède, un prisme, dont la base est un parallélogramme quelconque, et il prend les noms de parallélipipède rectangle, de parallélipipède carré, selon que sa base est un rectangle ou un carré; le parallélipipède rectangle droit sera donc un parallélipipède rectangle, dont les arêtes seront perpendiculaires à la base ”

“ Soient, en effet, un rectangle et un carré équivalent ; et supposons, s’il est possible, que ce carré n’ait pas un moindre périmètre ; en construisant un rectangle semblable à et de même périmètre que ne serait pas moindre que ni conséquemment moindre que contrairement à ce qui vient d’être démontré.
THÉORÈME II. Parmi tous les parallélipipèdes rectangles de même surface, le cube est celui de plus grand volume. ”

“ Le rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits.
Le carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux, ou un losange dont tous les angles sont droits.
THÉORÈME I.
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux, les angles opposés le sont aussi.
Je trace la diagonale AC du parallélogramme ABCD; cette droite partage le parallélogramme en deux triangles ABC, ADC, égaux entre eux (3, II) , car le côté AC leur est commun,, les angles BAC,
ACD, sont égaux comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB, CD, et à la sécante AC (7, IV) ”

“ Comme, sur un plan, l'ensemble de facettes rectangulaires qui ont deux à deux un côté commun, doit former un rectangle, il est clair que le développement d'une surface cylindrique droite est un rectangle dont la base égale en longueur celle de la surface, et dont la hauteur égale une des génératrices droites. ”

“ Substituons d’abord à notre droite sa parallèle passant par l’origine, et dont les équations seront conséquemment
(r) et supposons, pour un moment, que les coordonnées soient rectangulaires ; sera alors la diagonale du parallélipipède rectangle construit sur d’où il suit qu’on aura
c’est-à-dire, en substituant et divisant par
Soit ensuite une autre droite
rapportée aux mêmes axes ”

“ Le rectangle dont il faut étudier les variations a donc pour côté une parallèle EF à la base d'un triangle équilatéral ACB, et pour hauteur la parallèle IJ, située à la même distance du sommet C que EF l'est de la base.
Donc la somme pies côtés du rectangle est constante : elle égale deux fois la ligne MN qui joint les milieux des côtés; elle égale, en un mot, l'arête AB.
Le rectangle sera maximum lorsque les deux facteurs seront égaux entre eux. Ainsi le maximum est donné par la section équidistante des arêtes opposées. Cette section est un carré. ”

“ Dans le rectangle les côtés opposés sont aussi parallèles et égaux, en sorte qu'un rectangle est encore un parallélogramme, mais il n'est pas un losange parce que deux côtés
quelconques ne sont pas égaux. Les deux diagonales s'y coupent en deux parties égales comme dans le carré, mais ne sont pas perpendiculaires l'une sur l'autre ( fig. 75 ) .
142. Le parallélogramme a ses côtés opposés égaux et ses deux diagonales se coupent réciproquement en deux parties égales, mais non à angles droits (fig. 76 ) . ”

“ J’aurai donc dessiné ainsi sur le sol toutes les parallèles, et j’aurai la preuve qu’elles seront faites régulièrement, si une ligne continuée, tracée sur ce sol, sert de diamètre aux rectangles juxtaposés. Les mathématiciens nomment diamètre d’un rectangle cette ligne droite qui, allant d’un angle à celui qui lui est opposé, divise le rectangle en deux parties, de façon à en faire deux triangles. ”

“ THÉORÈME VII. :
Les volumes de deux parallélipipèdes rectangles P et P' qui ont â la même hauteur sont proportionnels aux produits des deux j autres dimensions. j Soient a, b, c, les trois dimensions du parallélipipède P et j a, b', c', celles de pl; si l'on construit un parallélipipède 1 rectangle P" ayant pour dimensions les lignes a, b, c', et 1 qu'on le compare au parallélipipède rectangle P, on voit que
ces polyèdres ont une base égale dont les dimensions sont a et 6. ”

“ Pour tailler la partie de courbe comprise dans l'angle g'Sg' , fig. 7, on pourra opérer de plusieurs manières.
Première méthode. On pourrait déduire la pièce demandée d'un parallélipipède qui aurait pour projection verticale le parallélogramme Sg'sg', et pour proj ection horizontale le rectangle gggg.
Dans ce cas, les directrices du débillardement feraient partie des deux ellipses Cil/ et D'" du rectangle a'a/c'lIe"
701. Deuxième méthode. On peut remplacer le parallélogramme Sg'sg', fig. ”

“ Mesure du triangle, du parallélogramme et du trapèze.
I° Un triangle est équivalent à la moitié du rectangle de même base et de même hauteur (voyez n°65) . Donc il aura pour mesure le produit de sa base par la moitié de sa hauteur. Par exemple, si la base est de 15m,6 et la hauteur de 3m,6, la surface du triangle sera le produit de 15,6 par 1,8, c est—à-dire
2°. Un parallélogramme est équivalent à un rectangle de même base et de même hauteur
(voyez n° 66) . Il aura donc pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. ”

“ Opérez comme pour faire un rectangle dont la base et la hauteur seraient égales à L (254) ; ou bien , tracez deux droites AC, BD, qui se coupent à angles droits (54) ; décrivez de leur intersection E, avec un rayon quelconque, un arc qui les rencontre aux points F, G; portez L sur la droite FG, de F en H; menez par H une parallèle à BD, jusqu'à EG, pour déterminer le point A; portez EA de E en B, en C, en D, et tirez les droites AB, BC, CD, DA.
Le quadrilatère ABCD est en effet un carré, car ses diagonales AC, BD sont égales et se coupent d'équerre par le milieu. ”

“ Ensuite se présente la question plus générale de savoir si deux rectangles égaux par soustraction et ayant un côté commun ont aussi leurs autres côtés congruents, c’est-à-dire, si un rectangle est déterminé d’une manière univoque par un de ses côtés et par son aire.
Comme une considération plus attentive le fait voir, pour répondre aux questions ainsi soulevées, l’on a besoin de la réciproque du théorème XXVII, qui s’énonce ainsi :
Théorème XXVIII. — Lorsque deux triangles égaux par soustraction ont même base, ils ont nécessairement même hauteur. ”

“ Supposant le plan vertical de projection relevé rectangulairement sur le plan horizontal, nous pouvons considérer un triangle rectangle formé 1° par la ligne qui joint le point A et le point P comme hypoténuse, 2° par la projection horizontale Ap de cette ligne, et 3° par la projetante Pp.
Nous pouvons rabattre ce triangle rectangle, soit
autour de son côté horizontal, sur le plan horizontal, soit sur le plan vertical autour de son côté vertical. ”

“ Pour comparer les rectangles, il faut savoir changer un rectangle quelconque en un autre qui lui soit équivalent, mais dont la hauteur soit différente ; car lorsque deux rectangles seront changés en deux autres de même hauteur, ils ne différeront plus que par leurs bases. Le plus grand sera celui qui aura la plus grande base, et il contiendra le plus petit autant de fois que sa base contiendra celle du plus petit rectangle ”

“ Ce principe nous permet de varier à l'infini la forme de nos trente-deux modèles, sans altérer la mesure de leurs surfaces rectangulaires ; par la règle nous aurons la largeur et nous obtiendrons la hauteur au moyen du problème suivant : Trouver la hauteur d'un rectangle dont on connaît la base et la surface. ”

“ Prenons BE = 2a et décrivons sur ABF une demi-circonférence passant par A, E.
Puis, portant BF sur la perpendiculaire élevée en B, à la droite AF, on mène par l'extrémité de cette perpendiculaire une parallèle à AB, et l'on obtient le point C, puis le point D.
1640. Problème. Dans un demi-cercle, inscrire un rectangle d'une surface donnée 2k2.
On a recours à la première solution (n° 100, d) .
Exercice 570
1641. Problème. Dans un triangle quelconque, inscrire un rectangle dont la surface soit équivalente à un carré donné k2. ”

“ Exercice.
339. Problème. Dans un cercle, inscrire le rectangle du périmètre
maximum, ou même : Dans une ellipse, mener deux parallèles équidistantes d'un diamètre donné, de manière que le parallélogramme inscrit ait un périmètre maximum.
On sait que les côtés d'un parallélogramme inscrit sont parallèles à deux diamètres conj ugués; menons donc le conjugué DC du diamètre donné AB et une tangente EMF qui détermine un triangle isocèle; le point M est le sommet demandé. ”

“ Lorsque la hauteur et la base d'un triangle sont égales entre elles, tout rectangle inscrit a un périmètre constant (n° 257) .
2. Le rectangle inscrit dans un carré, et dont les côtés sont parallèles aux diagonales du carré, a un périmètre constant (n° 19) .
3. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante (n° 20) . ”

“ Le rectangle est la figure qu'on donne ordinairement aux faces des pierres taillées, des briques, des pièces de charpenterie, d'une foule de produits en fer, en bois, en verre, en carton, en tissu, etc., etc. Une maison régulière ou chacune de ses parties principales, présente presque toujours un rectangle pour projection horizontale, pour son plan par terre. Une route bien droite, une portion rectiligne de canal sont de grands rectangles. Il est donc très-nécessaire d'étudier les propriétés dont nous venons de nous occuper. ”

“ Si les dimensions de la pièce que l'on veut obtenir sont assez peu considérables pour que l'on puisse trouver un bloc de bois qui contienne la courbe tout entière, on pourra la construire d'un seul morceau, et dans ce cas, il faudra opérer de la manière suivante : On construira ( fig. 7) le parallélogramme a'a'p'p' circonscrit à la projection verticale de la pièce demandée, et le rectangle aacc circonscrit à la projection horizontale de la même pièce. ”

“ Considérons maintenant un rectangle : voilà un fait idéal, abstrait, universel. Des lignes identiques à elles-mêmes dans toutes leurs parties enferment, dans des conditions déterminées, une surface dont toutes les parties sont superposables les unes aux autres, ou, si l’on veut, dont on peut transposer n’importe comment les parties sans que la nature du rectangle soit modifiée. ”

“ Que ce point d’intersection soit Z. Alors Z sera connu de position, parce que le cercle et la conique sont connus de position. Abaissons de Z deux perpendiculaires ZT, ZA sur EK, EA. Le rectangle ZE sera égal au rectangle BK. En retranchant EL commun à tous les deus, il reste le rectangle ZB égal au rectangle LK. Conséquemment ZL sera à LC, comme EB à BL, parce que EB est égale à TL, et les carrés de ces côtés seront de même proportionnels. ”

“ En élevant la perpendiculaire à tout autre point qu'au milieu de la base, on aurait un triangle rectangle scaléne.
56. Indiques la construction du carré.
Elevez une perpendiculaire BC à une des extrémités de la base AB (40) , en lui donnant la même longueur ; puis de l'extrémité C de la perpendiculaire , et de l'autre extrémité A de la base , et avec une ouverture de compas égale à l'une de ces lignes , décrivez deux arcs de cercle ; enfin , de leur intersection , menez deux lignes qui fermeront votre carré (Voy. pl. 3, carré.) 57. Indiquez la construction du reotangle. ”

“ Voici maintenant, mes enfants, un rectangle dont la surface n'est pas divisée par petits carrés; seulement le long des deux côtés de ce rectangle qui se joignent, sont tracées de petites marques divisant ces deux côtés en centimètres ; vous voyez que le grand côté dans le sens de la largeur a 7 centimètres.
Remarquez, mes enfants, que ces marques suffisent pour que vous puissiez vous-mêmes diviser la surface en carrés. Vous n'avez pour cela qu'à tracer, par chaque marque du grand
côté, une ligne droite parallèle au petit côté, ce qui divisera votre rectangle en 7 bandes. ”

“ Le parallélogramme AB C D étant donné, le transformer en cinq carrés égaux, n06 1, 2, 3, k, 5.
Le paralléllisme des côtés d'une figure à quatre lignes droites les a fait appeler quadrilatères parallélogrammes. Une figure de quatre côtés qui n'a que deux côtés parallèles est un trapèze. Il y a trapèze scalène, trapèze isocèle et rectangle. Un parallélo gramme qui a tous ses angles droits et ses côtés opposés égaux est un rectangle.
Quand un trapèze a un angle droit il est dit trapèze rectangle ”

“ Il suffit de considérer une droite auxiliaire BF parallèle à CD pour reconnaître que le problème est ramené à construire un triangle rectangle AFB dont on connaît l'hypoténuse AB et la longueur l d'un côté BF de l'angle droit. On
est donc amené à faire la construction suivante : Sur AB comme diamètre, il faut décrire une demi-circonférence; du point B comme centre, avec un rayon BL égal à l décrire un arc LF, enfin mener une droite CED parallèle à BF.
Remarque. La longueur donnée 2l peut au plus être égale à 2AB; ainsi la sécante maxima est parallèle à la ligne des centres.
Exercice. ”

“ IE2 + IJ2 = R2 = MP2 + MQ2
donc le maximum a lieu quand les facteurs sont égaux (IIIe Principe, n° 345) .
Remarque. Le rectangle inscrit maximum est un carré, soit pour le triangle rectangle isocèle, soit pour le cercle.
Exercice.
349. Problème. Par le sommet M d'un parallélogramme APMQ,
Fig. 224.
mener une droite BMC de manière que le triangle BAC soit minimum.
Considérons deux sécantes: l'une quelconque DME, et l'autre BMC, dont le point M est le milieu; cette dernière donne le minimum.
En effet, menons CF parallèle à BD.
A cause de BM = MC, les deux triangles MBD, MCF sont égaux. ”