Marie Pape-Carpantier

“ Il faut d'abord remarquer que la division est exactement le contraire de la multiplication. En multipliant, nous réunissons plusieurs groupes égaux d'unités en un seul; en divisant, nous partageons un seul groupe d'unités en plusieurs groupes égaux. Par exemple, si nous multiplions 4 par 5, nous trouvons au produit le nombre 20; et si nous divisons 20 par 5, nous retrouvons le nombre 4 que nous avions avant la multiplication ; ce que la multiplication a fait, la division le défait. ”

“ Chacune de ces choses, quelles qu'elles soient, est, dans notre compte, une unité; et ces unités réunies forment un nombre, plus ou moins grand, selon qu'il y a plus ou moins d'unités. C'est ce que nous exprimons en disant : Un nombre est un groupe d'unités.
Quand nous énonçons le nom des unités dont se compose un nombre, ce nombre est appelé communément : nombre concret. Quand nous disons 6 pommes, 4 pas, 8 jours, 100 mètres, nous exprimons des nombres concrets, puisque
nous disons de quelle espèce d'unités ils se composent. ”

“ Remarquez maintenant, mes enfants, qu'il n'est pas nécessaire, pour qu'un solide soit un prisme, que les deux bases soient carrées : il suffit qu'elles soient égales. Voici, par exemple, un dessin qui vous représente un prisme dont les bases sont deux triangles; le pourtour de ce prisme n'a que trois faces planes, tandis
que notre règle en a quatre; mais peu importe; les arêtes sont parallèles, les bases égales, c'est tout ce qu'il faut. ”

“ Quand on augmente le terme inférieur d'une soustraction, le reste devient plus petit d'autant d'unités qu'on en a ajouté au terme inférieur.
En augmentant le terme supérieur d'une soustraction, nous augmentons d'autant le reste; en augmentant le terme inférieur d'une soustraction, nous diminuons le reste d'une quantité égale : mais si nous ajoutions la même quantité aux deux termes, qu'arriverait-il? ”

“ Ainsi, quand vous avez un problème de multiplication, commencez toujours par reconnaître quel est le multiplicande. Cela fait, vous pourrez, pour rendre l'opération plus prompte, mettre le multiplicande à la place du multiplicateur, et réciproquement; mais vous vous souviendrez que ce changement de place n'est fait que pour faciliter l'opération : le produit est toujours de même nature que le véritable multiplicande, celui que votre raisonnement a reconnu d'abord, et qui exprime réellement les unités contenues dans chaque groupe. ”

“ En faisant une multiplication nous dirons : il y a 5 centimètres dans chaque rangée ou groupe ; 5 est le multiplicande ; il y a, par exemple, 4 rangées, 4 est le multiplicateur, puisqu'il exprime le nombre de groupes à réunir. Le produit 20 exprimera le nombre total de centimètres cubes.
Ce n'est pas tout : en posant ainsi l'un près de
l'autre sur la table plusieurs rangées égales de petits cubes, nous en avons formé une couche, c'est comme la première assise d'un petit édifice que nous voudrions élever. ”

“ Dans un dixième combien y a-t-il de centièmes? 10. Un dixième vaut donc 10 centièmes; de même 2 dixièmes valent 20 centièmes; 3 dixièmes 30 centièmes, et ainsi de suite. Si nous avons la fraction 0,24, au lieu de dire 2 dixièmes 4 centièmes, nous pouvons dire : 24 centièmes. En effet, les 2 dixièmes valent 20 centièmes, qui, réunis aux 4 autres, font 24 centièmes.
Ainsi, quand on a dans une fraction décimale
des dixièmes et des centièmes, au lieu de les énoncer séparément, on les énonce ensemble, en lisant le nombre comme un nombre ordinaire de deux chiffres, mais exprimant des centièmes. ”

“ Quand vous voyez un objet, vous jugez, par comparaison, si cet objet est grand ou petit; et si vous voyez deux objets l'un près de l'autre, vous savez distinguer lequel des deux est le plus grand, ou si tous deux sont à peu près d'égale grandeur.
Plus un objet est grand, plus il tient de place, plus il occupe d'espace, comme vous le savez fort bien. L'espace plus ou moins grand que tient un objet, est ce qu'on appelle le volume de cet objet. Ainsi, un grain de sable est une chose d'un très-petit volume, parce qu'il occupe très-peu d'espace ; une vaste maison est une chose d'un grand volume. ”

“ Puisqu'une dizaine de mille vaut 10 fois mille, et qu'un mille vaut 100 dizaines, une dizaine de mille vaut donc 10 fois 100 dizaines, c'est-à dire 1000 dizaines.
En faisant le même raisonnement pour les
centaines de mille et les millions, vous verrez facilement qu'une unité d'un ordre quelconque vaut mille unités de l'ordre qui est de trois rangs plus loin à sa droite. ”

“ Enfin, mes enfants, remarquez encore que les arêtes qui vont d'une base à l'autre, peuvent être longues ou courtes ; elles peuvent être même plus courtes que les côtés des bases, le solide n'en est pas moins un prisme; comme un pion de damier n'est pas moins un cylindre, quoique ses deux bases soient larges et sa surface courbe étroite. ”

“ Plus le nombre dont on soustrait est grand, plus grand aussi est le reste. Ainsi, mes enfants, quand nous ajoutons un certain nombre d'unités au terme supérieur d'une soustraction, c'est autant d'unités qui resteront en plus. ”

“ Tandis que dans la multiplication tous les groupes d'unités que nous avons à réunir sont égaux, c'est pourquoi un seul nombre suffit pour exprimer combien il y a d'unités dans chacun.
Le nombre qui exprime combien il y a d'unités dans chaque groupe, est le multiplicande. ”

“ Puis, vous écrivez à la suite du nombre le mot : mètre, soit tout entier, soit en abrégé par un petit m placé en haut 3622 mètres, ou 3622m.
Mais s'il y a en outre des décimètres, des centimètres, des millimètres, que ferez-vous?
Réfléchissez, mes enfants. Ces quantités sont des fractions du mètre; ce sont des dixièmes,des centièmes, des millièmes : ce sont des fractions décimales. Or, quand on a des fractions décimales à exprimer, on écrit successivement, après
la virgule qui suit l'ordre des unités, le chiffre des dixièmes, celui des centièmes,
enfin celui des millièmes. ”

“ S'il n'est pas nécessaire que les unités d'un nombre soient semblables en toute chose pour qu'on puisse les désigner par un même nom, il faut néanmoins qu'elles, aient quelque chose de commun. Ainsi nous pouvons former un nombre en comptant ensemble un bœuf, une vache, une brebis et une chèvre, parce que tous ces êtres, quoique différents, ont pourtant quelque chose de commun : ce sont des animaux. ”

“ Pour multiplier par un nombre d'un seul chiffre un nombre qui a plusieurs ordres d'unités, il faut multiplier successivement tous les ordres du multiplicande par le multiplicateur, en commençant par la droite. Les unités simples, les dizaines, les centaines, les mille, les dizaines de mille, les centaines de mille s'il y en a, étant multipliés successivement, le nombre lui-même se trouve multiplié tout entier. ”

“ Nous vous avons déjà dit plusieurs fois, mes enfants, qu'on ne doit réunir en un même groupe que des êtres ou des choses de même espèce, qu'on ne doit exprimer par un même nombre que des unités de même nature. ”

“ La matière n'y fait rien, la forme non plus : ce qui importe seulement, c'est que ces poids pèsent juste le nombre de grammes qu'on a marqué dessus.
Il est du reste, facile de comprendre comment on a pu faire ces poids, pesant juste 10 ou 100 ou 1000 grammes. Pour le décagramme, par exemple, on n'a qu'à mettre dix poids de 1 gramme dans l'un des plateaux de la balance, dans l'autre le poids de cuivre marqué
un décagramme. ”

“ Le poids des objets se mesure à l'aide du gramme, qui est lui-même un petit objet pesant un certain poids. Il en est toujours de même, comme vous le verrez : on mesure chaque chose en la comparant avec vnp chose semblable.
La chose à laquelle on compare celle qu'on veut mesurer, s'appelle l'unité de mesure.
Ainsi : le mètre est l'unité de mesure de la longueur des lignes; le litre est l'unité de mesure de la capacité des vases et des quantités qu'ils contiennent; le gramme est l'unité de mesure du poids des objets ; le franc l'unité de mesure de leur valeur. ”

“ En d'autres termes : en ajoutant le reste d'une soustraction au terme inférieur, on reproduit le terme supérieur.
Le reste est donc : ce qu'il faudrait ajouter au nombre inférieur pour trouver le nombre supérieur; ou : ce qui manque au plus petit pour être égal au plus grand. ”

“ Nous divisons ce nombre nouveau par le diviseur; s'il n'y a pas de reste, nous passons à l'ordre suivant du dividende. S'il y a un reste, nous abaissons le chiffre suivant comme nous venons de le faire.
Et nous continuons ainsi tant qu'il y a des chiffres au dividende. Si après avoir divisé les - unités simples il n'y a pas de reste, c'est que la division peut se faire exactement ; s'il y a un reste, c'est que la division ne peut se faire exactement, et le dernier reste est celui de toute la division. ”

“ Nous allons maintenant donner un nom à cette espèce de solide. Un solide qui, comme notre règle, a dans le sens de la longueur des arêtes parallèles; dont, par conséquent, les faces sont des surfaces planes ayant leurs côtés parallèles; et qui est terminé à ses deux extrémités par deux bases égales, s'appelle un prisme : retenez bien ce mot.
QUESTIONNAIRE
Citez un solide terminé par une seule surface courbe.
Citez des solides ayant une surface courbe et des faces planes. ”

“ Seulement les 12 arêtes du grand cube sont plus grandes que les 12 arêtes du petit.
Des deux cubes, celui qui a les arêtes les plus longues est celui qui a le plus de volume.
Plus les arêtes sont longues, plus le cube est grand; plus les arêtes sont courtes, plus le cube est petit. ”

“ Le nom qui convien-
drait à une pierre, qui est un minéral, ne pourrait pas convenir à un litre, qui est une mesure de capacité; et le nom qui conviendrait à un jour, qui est un espace de temps, ne conviendrait pas à des lieues, qui sont des mesures de longueur. Puisqu'il est impossible de donner un même nom aux unités de ce nombre, nous ne devons raisonnablement pas le former, en groupant ensemble des choses de nature tout à fait différente. ”

“ Quelle est la surface d'un carré dontl'un des c'tés a cinq centimètres?
Que faut-il faire pour mesurer la surface d'un rectangle ou d'un carré?
Y a-t-il également des moyens pour mesurer les surfaces qui n'ont pas la forme de rectangles ou de carrés ? Est-ce plus difficile?
LES SOLI DES.
I. Le prisme.
Vous savez, mes enfants, qu'en géométrie on appelle solide, non pas seulement une chose qui
est stable et résistante, mais tout ce qui a une épaisseur : par conséquent, tous les objets. Nous avons déjà étudié la forme de quelques solides : vous connaissez la sphère, le cylindre et le cône. ”

“ Cela fait, mes enfants, remarquez que cha-
cune des moitiés de notre circonférence est un arc de cercle. Le diamètre, qui joint les deux extrémités de ces arcs, est donc une corde : c'est même la plus grande corde qu'on puisse tracer dans un cercle. Toutes les autres cordes que vous tracerez dans un cercle seront plus petites que le diamètre, puisque la longueur du diamètre est la distance des deux points opposés/ les plus éloignés possible l'un de l'autre. Si vous voulez tracer un rayon dans un cercle, marquez un point sur la circonférence,
et menez-y une ligne partant du centre. ”

“ Remarquez, mes enfants, combien ceci ressemble à une opération de mesurage : si vous vouliez tracer sur le sol une ligne ayant un certain nombre de mètres ou de décimètres, c'est de cette manière que vous devriez vous y prendre; seulement, au lieu d'une bûchette ou d'un ruban de papier, ce serait le mètre de bois, ou le mètre de ruban que vous appliqueriez plusieurs fois sur votre ligne.
QUESTIONNAIRE.
Comment peut-on marquer sur une ligne tracée une longueur égale à deux fois, trois fois, quatre fois la longueur d'une ligne donnée ? (sans employer le compas) . ”

“ Du nombre 32 pouvez-vous ôter 18? Certainement, dites-vous, puisque 18 est plus petit
que 32 : on peut toujours soustraire un plus petit nombre d'un plus grand. C'est juste. Posons donc les chiffres et faisons l'opération.
32 - 18
Nous devons, vous le savez, retrancher les unités des unités, les dizaines des dizaines.
Disons donc : 8 ôtés de 2. Comment?. cela n'est pas possible ! De 2 on ne peut pas ôter 8, puisque 8 est plus grand que 2. Pourtant nous avons dit que notre soustraction est possible; il faut qu'il y ait un moyen de s'y prendre. ”

“ Tracez un dessin en joignant par des cordes des points marqués sur une circonférence donnée, à égale distance ,es uns des autres Montrez les cordes, les arcs, les angles formés par les cordes ?
XIX. Tracé des arcs, diamètres, rayons.
Il n'est pas besoin de vous indiquer comment vous pouvez tracer un arc, puisqu'un arc n'est autre chose qu'une partie d'un cercle qu'on n'achève pas, ou dont on marque les extrémités sur un cercle déjà tracé. Pour tracer une corde dans un cercle, il suffit de tirer une ligne droite qui coupe le cercle, en allant d'un des points marqués à l'autre. ”