Arc de cercle

“ Ainsi, le lieu des points d'un plan desquels on voit sous un angle constant une droite de longueur donnée est un arc de cercle, et le lieu des points de l'espace jouissant de la même propriété est la surface de révolution engendrée par cet arc de cercle tournant autour de sa corde. Mais cette surface de révolution n'est sphérique que si l'angle donné est droit. ”

“ Le plus court chemin d'un point à un autre, sur la surface de la terre, est l'arc de grand cercle qui les joint. On appelle arc d'un degré un arc de grand cercle tel que les verticales menées à ses deux extrémités font entre elles un angle d'un degré. Si la terre était parfaitement sphérique, sa mesure reviendrait à celle d'un arc d'un degré ”

“ Un arc est à sa corde comme son rayon est à la distance de son centre de figure à son centre de gravité ; ce qui est conforme aux théories connues.
PROBLÈME II. Déterminer l’intensité et la direction de la force attractive exercée par la circonférence d’un petit cercle sur le centre de la sphère ? ”

“ Dans l'exemple relatif à un triangle ABC, Le point de concours des médianes donne un arc de cercle (livre III) ; Le point de concours des hauteurs donne un segment capable d'un angle constant; Il en est de même du centre du cercle inscrit et des centres des cercles ex-inscrits, le livre Il suffit; Le centre du cercle circonscrit est fixe; Le centre du cercle des neuf points décrit un arc de cercle (livre III) .
On peut encore proposer d'autres lieux : Les pieds des hauteurs abaissées des sommets B et C se trouvent sur la demi-circonférence décrite sur le diamètre BC ”

“ Il est démontré qu’un arc infiniment petit d’une courbe quelconque, peut être pris pour un arc de cercle, dont le rayon seroit égal au rayon de la développée de cet arc de la courbe. On réduit par ce moyen le mouvement d’un corps sur une courbe quelconque, au mouvement de ce même corps sur un cercle dont le rayon change à chaque instant. ”

“ Le tracé des angles n'offre par lui-même d'autre difficulté que de bien donner aux lignes qui en forment les deux côtés l'obliquité qui leur convient, selon le rapport entre l'arc de cercle compris entre ces côtés et la circonférence entière d'un cercle
décrit du même rayon. ”

“ La demi-circonférence de cercle est, pour ainsi dire, la seule directrice employée pour les pleins-cintres. Pour les voûtes surbaissées, on a recours à l'arc de cercle, à la demi-ellipse prise sur le grand axe, ou à l'anse de panier, courbe de forme ovale, qui résulte de la réunion de plusieurs arcs de cercle, dont les centres, les rayons et les
amplitudes sont déterminés par la condition qu'elle ne présente ni jarrets, ni changements brusques de courbure, et qu'elle produise un effet satisfaisant. ”

“ Dans les arts, on emploie presque toujours des cordes égales pour faire des arcs égaux. Exemple: le tailleur de pierre qui façonne des voussoirs, qui veut tracer sur un parement un arc de cercle d'une grandeur donnée, etc., etc. (26) . - Prendi-e, soit sur la même circonférence, soit sur une circonférence de même rayon, un arc égal à un arc donné (26) . ”

“ Il est évident que l'on sera beaucoup plus près de la vérité, si l'on remplace chacun des côtés du polygone inscrit par un arc de cercle, dont la différence avec la partie correspondante de la courbe donnée pourra toujours être aussi petite que l'on voudra. ”

“ BE est un arc taraudé (2) que l'on peut faire
(1) Excepté quand l'angle à mesurer est compris dans un plan vertical, comme la hauteur d'un objet au-dessusde l'horizon , pour laquelle on est obligé de prendre certaines précautions indiquées ci-après.
(2) Cet arc taraudé ainsi que ceux dont nous parlerons encore, sont formés de portions d'hélices, tracées dans un
mouvoir à la main ou en se servant de la vis V (I) fixée à l'extrémité B de AB, pour incliner la tige CD, et par conséquent le cercle placé sur l'écron H' , dans le sens perpendiculaire à l'axe de rotation FF'. ”

“ Un arc de grand cercle, appartenant à une sphère dont le centre est à l’origine des coordonnées rectangulaires, et dont le rayon est l’unité, fait autour de l’une de ses extrémités, et sans quitter la sphère, un mouvement angulaire assez petit pour que le cosinus de l’angle sphérique décrit puisse sensiblement se confondre avec l’unité, et son sinus avec cet angle lui-même. ”

“ Un cercle ou un arc étant donné, en trouver le
-centire. -Prenez trois points -quelconques A,B,G, sur l'arc. ou la circonférence; menez les cordes AB et BC, il ne s'agit plus que de mener deux perpendiculaires, l'une à AB et l'autre à BC, passant chacune par le milieu de la corde à lacpielle elle est perpendiculaire. Ces lignes devant passer toutes deux par
Fig. 5D.
le centre, le centre n'est autre que leur point de rencontre 0. ”

“ Le cercle A, dont le rayon est parcouru pendant une révolution, est appelé cercle régulateur, et l'on donne le nom de spire à chaque arc, tel que ADEGB, obtenu par une révolution complète.
Pour tracer la spirale d'Archimède, on divisera le rayon AB et la circonférence du cercle régulateur en un même nombre de parties égales, on joindra le centre A à tous les points de division de la circonférence, et Ion décrira avec les rayons Ai, A2, A3. des arcs de cercle, dont les intersections avec les rayons A. I, A. II, A. III. portant les mêmes numéros, serviront
à déterminer un premier tour de spire ”

“ PROBL. Cb) : Tracer par trois points donnés A, B, C, un arc , de cercle, sans employer le centre (P. IV, F. I3) .
Il arrive parfois qu'on ne peut se servir du procédé décrit p. III , probl. (c) , pour faire passer un arc de cercle par trois points donnés : un obstacle empêche de marquer le centre, ou bien le rayon est tellement grand qu'on ne saurait songer à employer ni perche, ni cordeau. Voici comment il faut opérer dans un tel cas.
Tirez une droite quelconque AD, au-dessous de AB, par exempie ”

“ III. Que l’angle soit différent d’un droit, et que l’arc soit un quadrans. Par soit mené l’arc de grand cercle perpendiculaire à rencontrant en et la circonférence dont fait partie.
L’arc est déterminé à être plus que le plus des arcs et , dont l’un est plus petit et l’autre plus grand qu’un quadrans. ”

“ Le cercle est un plan terminé par une seule ligne appellée circonférence, dont le point B se nomme centre.
La ligne A F se nomme diametre, A B, demi-diametre, B E, corde, DE F, arc ou portion du cercle, DB E, secteur du cercle, idem A B C, l'un grand, l'autre petit, A B, rayon ou demi-diametre, toutes les fois qu'ils tendent au centre. ”

“ Tracez un dessin en joignant par des cordes des points marqués sur une circonférence donnée, à égale distance ,es uns des autres Montrez les cordes, les arcs, les angles formés par les cordes ?
XIX. Tracé des arcs, diamètres, rayons.
Il n'est pas besoin de vous indiquer comment vous pouvez tracer un arc, puisqu'un arc n'est autre chose qu'une partie d'un cercle qu'on n'achève pas, ou dont on marque les extrémités sur un cercle déjà tracé. Pour tracer une corde dans un cercle, il suffit de tirer une ligne droite qui coupe le cercle, en allant d'un des points marqués à l'autre. ”

“ Il est visible d'ailleurs qu'à cause de l'égalité de ses génératrices droites, une surface conique de révolution a pour développement un SECTEUR de cercle, c'est-à-dire une portion de cercle renfermée entre un arc et deux rayons : l'arc a même longueur que la base, et les rayons sont égaux aux génératrices droites. ”

“ La demi-circonférence ne peut être employée dans ce cas; aussi est-ce une espèce d'anse de panier, nommée arc rampant qui forme alors le cintre.
Tracer un arc rampant composé de deux arcs de cercle.
- Tirez une droite AB égale à la largeur que doit avoir l'arcade (P. I, F. 45) ; élevez au milieu une perpendiculaire CD ; par les extrémités A, B, menez des parallèles à ,CD ; portez sur l'une, de A en E, la distance du sol à l'extrémité la plus élevée de l'arc, et sur l'autre, de B en F, la distance du sol il l'extrémité la moins
élevée. ”

“ Le point n,n' décrira un arc de cercle horizontal. Cet arc étant parallèle au plan horizontal, aura pour sa projection sur ce plan l'arc nn", et sa projection verticale n'n sera parallèle à la ligne AZ. Or si nous arrêtons le mouvement de la droite (mn.tWn') au moment où sa projection horizontale aura pris la position mn", la projec tion verticale correspondante m'n'" sera la longueur cherchée, car la droite étant alors parallèle au plan vertical de projection, il est facile de concevoir qu'elle sera projetée sur ce plan suivant sa grandeur (16) . ”

“ Et de là il s'enfuit, que dans ces fortes d'angles, aussy bien que dans ceux qui font au centre du cercle, deux angles font égaux quand ils ont pour mesure des arcs égaux, ou absolument quand ce font des arcs du même cercle, ou de cercles égaux ; ou proportionellement quand ce font des arcs de cercles inégaux : l'arc du petit ayant la même raison à sa circonference, que l'arc du grand à la sienne: comme si l'un & l'autre estoit la dixiême partie de sa circonférence, c'estadire de 36. degrez. ”