Christian Kramp

“ On a simplement ici
la période entière ne consiste donc que dans une base unique. Les médiateurs sont
les valeurs de qui rendent un quarré parfait sont donc et les racines correspondantes sont
et ainsi des autres ; celles qui rendent, au contraire, un quarré parfait sont et les racines correspondantes sont
et ainsi des autres. ”

“ Sur quoi il est nécessaire d’observer que si, avant d’arriver a cette équation du degré zéro, on en rencontre une dont tous les coefficiens soient zéro, celle qui la précédera sera facteur commun aux deux proposées, indépendamment de toute détermination de leurs coefficiens. ”

“ Théorème IV. Si du médiateur on forme les trois médiateurs ; en supprimant pour l’un la première des bases, pour l’autre la seconde, et pour le troisième les deux bases extrêmes, à la fois ; la différence de produits sera constamment égale à l’unité ; et cette unité sera positive ou négative, suivant que le nombre des bases du médiateur proposé sera pair ou impair. ”

“ On peut désirer, comme moyen de vérification, de connaître, à l’avance, combien de termes de chaque sorte de dimensions un médiateur doit renfermer, ce nombre de termes est, pour bases et dimensions.
Le nombre total des termes d’un médiateur de bases, a donc pour expression
série qui se termine d’elle-même si, comme cela doit toujours être, est entier et positif, et dont la somme des termes peut d’ailleurs être mise sous cette forme finie :
(Note des éditeurs.) ”

“ Équations données :
Troisième équation : Cette équation identique, nous apprend donc que est le diviseur commun des deux polynômes proposés.
5. La recherche du facteur commun le plus élevé, entre deux polynômes proposés, conduit à la détermination des racines égales. Dans mon Arithmétique universelle (page 268) j’ai démontré le théorème général qui suit : Si l’on désigne par, le commun diviseur le plus élevé entre le polynôme et sa première dérivée ; par le commun diviseur le plus élevé entre et sa première dérivée ”

“ La première est remarquable : elle apprend à trouver l’angle de position, lorsqu’on connaît la longitude et l’ascension droite.
11. Appliquons de même au triangle les formules qui font trouver deux angles d’un triangle sphérique dont on connaît le troisième et les deux côtes qui le comprennent ; on parvient à la solution des problèmes qui suivent. ”

“ La suite de mon mémoire répandra du jour sur cette matière ; elle lèvera les doutes qui pourraient subsister ; elle donnera à ma méthode une généralité dont elle a été dépourvue jusqu’ici, aussi bien que la plupart des méthodes connues ; elles n’ont ordinairement donné que des séries fort incomplettes, et que cependant on avait regardé comme complettes. ”

“ Théorème I. Un médiateur ne change pas de valeur, lorsqu’on renverse l’ordre de ses bases ; ainsi, par exemple, les médiateurs et sont identiques entre eux.
5. Théorème II. Si la première ou la dernière base d’un médiateur s’évanouit, il perdra, à la fois, ses deux premières bases dans le premier cas, et ses deux dernières dans le second ; de sorte que le degré auquel il appartiendra, sera diminué de deux unités. Par exemple ; le médiateur étant égal à aussi bien qu’à , devient dans le cas de et dans le cas de
6. ”

“ Le côté ;
L’angle ;
L’angle ;
L’angle .
Ainsi, le triangle sera entièrement représentatif du quadrilatère bi-rectangle ; tous les angles et côtés de l’un se retrouveront dans les angles et côtés de l’autre. ”

“ De ces sept choses : les déclinaisons, les latitudes, la différence des ascensions droites, celle des longitudes, et la distance angulaire de deux étoiles, cinq quelconques étant connues, déterminer les deux autres ? ”

“ Comme le coefficient q est entièrement arbitraire, on fera bien de supposer et, dans cette supposition, l’indéterminée sera simplement égale à la fraction Développant donc cette fraction en fraction-continue qui, dans tous les cas, sera périodique, on connaîtra ainsi les bases, tant initiales que périodiques ; le coefficient fera connaître toutes les valeurs de ”

“ En conservant les mêmes notations que ci-dessus, pour rendre applicables au cas actuel les formules générales déjà trouvées, il faudra d’abord y faire , ce qui donnera :
Il faudra ensuite, à la place du côté a, introduire l’angle opposé ; c’est à quoi l’on parviendra au moyen de la formule : [2] ; mais, comme on s’est permis de supposer et il en résultera d’où on conclura ”

“ Si on fait ce qui donne l’équation on voit d’abord que et est toujours une des valeurs de ; on aura ensuite et ces valeurs, qui se déduisent immédiatement de la solution de l’équation sont les seules que le procédé employé dans mon dernier mémoire peut faire découvrir, tant qu’on se bornera à prendre des nombres entiers pour les valeurs de la quantité que dans ce mémoire j’ai désignée par . ”

“ On aura de plus et la racine correspondante de sera ou ou, enfin, Les exemples suivans éclairciront cette méthode ; et nous apprendrons aussi à rendre quarrée la fonction du moins lorsque cela est possible. ”

“ Corollaire III. Et si, dans cette même hypothèse, l’arc ou devait être égal à un quart de circonférence, on aurait, pour déterminer la position des deux points et éloignés de d’un arc ; les équations qui suivent :
8. Corollaire IV. L’arc étant toujours supposé donné de grandeur et de position ; si, en supposant que le troisième point du triangle est le pôle du côté opposé on demande les coordonnées , de ce pôle : on aura, dans ce cas, ; ainsi et ; d’où il résulte :
; ”

“ La suite de l’ouvrage apprendra à trouver la liste complette des autres ; et je me bornerai pour le moment à en donner quelques exemples.
Le coefficient donne d’ailleurs
Le nombre des termes initiaux, indépendans entre eux et des séries qui en dérivent, est encore beaucoup plus grand, lorsque n’est pas un nombre quarré. Dans l’équation je trouve les termes initiaux qui suivent ;
on a d’ailleurs ici
Agréez ”